中考专题三《动点问题题型方法归纳》

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中考专题三《动点问题题型方法归纳》
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点
1、（2009年齐齐哈尔市）直线y
3
x6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同4
运动，速度为每秒1个单位
时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S
48
时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第5
四个顶点M的坐标．
y
B
P

OQAx

提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（2009年衡阳市）
CCC
FF
E如图，AB是⊙ABAABDOEOBO
O的直径，弦BC=2cm，
图（1）图（2）图（3）∠ABC=60º．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s(0t2，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
注意：第（3）问按直角位置分类讨论
、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线ya(x1233(a0经过点A(2，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．y
D
注意：发现并充分当△OPQ面P
A
O
MC
运用特殊角∠DAB=60°
积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
QBx

二、特殊四边形边上动点4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，B60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点

同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平．．．．方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；
（2）点P、当△APQ是等边三角形时x的值是秒；Q从开始运动到停止的过程中，（3）求y与x之间的函数关系式．
CD
P

BAQ
提示：第(3问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类；提醒-----高相等的两个三角形面积比等于底边的比。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
y
yAHB
AHB
M
MxCO
xCO
图（1）
注意：第（2）问按点P到拐点所用时间分段分类；图（B2）
第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.


6、(2009年温州如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0，B(33，2，C（0，2．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．
(1求∠ABC的度数；
(2当t为何值时，AB∥DF；(3设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y=x+mx经过动点E，当S<23时，求m的取值范围(写出答案即可．
2

注意：
发现特殊性，DE∥OA

7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且
∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0t8秒后，直线PQ交OB于点D.（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
4
3时，求t的值及此时直线PQ的解析式；3
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB相似？当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.
（3）当a3,OD
y
B


PC
D
A

x
Q

O

8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角
0B(810，，C(0，4，坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，，点D为线段BC的中点，
动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的
2？7
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．y
B
D
yC
D
B
CO
PA
xO
A
（此题备用）
x

9、(09年黄冈市如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y
124
xx10与x轴的交点为189
点A,与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平
行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒(1求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3当0＜t＜
9
时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;2
(4当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．提示：第（3）问用相似比的代换，
得PF=OA（定值）。
第（4）问按哪两边相等分类讨论①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

三、直线上动点
8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(3，0、C(0，3，且当x4和x2时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
提示：
yP
CN
第（2）问发现
特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°
MOBAx
特殊图形四边形BNPM为菱形；
第(3问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC
相似的△BNQ，再判断是否在对称轴上。
9、（2009眉山）如图，已知直线y
1
x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2
y
12
xbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0。2
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、（2009年兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2求正方形边长及顶点C的坐标；
(3在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．


注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合
一”。
11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为
1
A6,0，B6,0，C0,43，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交
2

BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位
置的方法，但不要求证明）



提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；
第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。
12、(2009年上海市
DAADDA
PP
P

Q
CCBBCB（Q）
图1图2图3
Q

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
PQAD
（如图1所示）．PCAB
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图8中，联结AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，
3
2
S△APQS△PBC
y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数
解析式，并写出函数定义域；
（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小．注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值；当P与D重合时，x获得最大值。
第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。

13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC
的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

BB

RTRTSS
EE
PP
ACAFFC
(第13题(第13题

提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(2009年河北如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．．．
B

E
Q
D
ACP提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，
ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；
（４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

15、（2009年包头）已知二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点A(1，0，B(2，0，
C(0，2，直线xm（m2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．提示：
第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；
第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。
四、抛物线上动点
16、（2009年湖北十堰市）如图①，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A(1，0和点B(－3，0，与y轴交于点C．(1求抛物线的解析式；
(2设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。17、（2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，
D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE1，抛物线
yax2bx4过A、D、F三点．
（1）求抛物线的解析式；

（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQMS△FQN，则判断四边形AFQM的形状；
（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且APPH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．
y
B
EF
OAxC注意：第（2）问，发D现并利用好NM∥FA且NM＝FA;
第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。
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中考专题三《动点问题题型方法归纳》

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