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江苏省南通中学盐城中学2014届高三考前热身模拟考试

数学I 20140603

参考公式：

（1）样本数据的方差,其中

（2）直柱体的侧面积，其中为底面周长，是高

（3）柱体的体积公式，其中为底面面积，是高

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．

2.己知是虚数单位，则的虚部是 ．

3.执行如图所示算法流程图，如果输入，则输出的值为 ．

4.函数的最小正周期是___________．

5.为了了解名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为__________________．

6.从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得（为整数集）的概率为 ．

7.若，则的最小值为 .

8.已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则其公比为 ．

9.满足约束条件的目标函数的最小值为_______.

10.已知双曲线，且双曲线的一条渐近线截圆所得弦长为，则双曲线的离心率为 .

11.如果函数，，关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　．

12.已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第个是该数列的第 项．

13.如图所示，在边长为的正六边形中，动圆的半径为，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数），则的最大值为____________．

14.若实数，则的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分14分） 已知的三个内角对应的边长分别为，向量与向量夹角余弦值为。

（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）外接圆半径为，求范围．

16. （本小题满分14分）四棱锥底面是平行四边形，平面平面,

, ,分别为的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求三棱锥．

17. （本小题满分14分）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为（即=）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客的眼睛到地面的距离在区间内. 设支架高为㎝,㎝, 顾客可视的镜像范围为(如图所示), 记的长度为（）.

（Ⅰ） 当㎝时, 试求关于的函数关系式和的最大值；

（Ⅱ） 当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求的取值范围.

18. （本小题满分16分）如图，设椭圆两顶点，短轴长为，焦距为，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：点的横坐标为定值.

19. （本小题满分16分）已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在定义域内存在零点，求的最大值；

（Ⅲ）若，当时，不等式恒成立，求的取随范围．

20. （本小题满分16分）如果数列同时满足：（1）各项均不为，（2）存在常数k, 对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问：

（I）各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”？说明理由；

（Ⅱ）若数列为“类等比数列”，且(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例；

（Ⅲ）若数列为“类等比数列”，且， (a，b为常数)，求数列的前n项之和；数列的前n项之和记为，求

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数学II（附加题）

21.【选做题】本题包括四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，

若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（I）求AC的长；

（II）求证：BE ＝ EF．

B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵，点，点.

（Ⅰ）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度；

（Ⅱ）求矩阵的特征值与特征向量．

C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

极坐标方程为的直线与轴的交点为，与椭圆（为参数）交与，求．

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

设函数

（Ⅰ）当的最小值；

（Ⅱ）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22．（本小题满分10分）

袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可性相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作。

（Ⅰ）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；

（Ⅱ）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．

23．（本小题满分10分）

已知整数≥4,集合的所有3个元素的子集记为.

（Ⅰ）当时,求集合中所有元素之和；

（Ⅱ）设为中的最小元素,设=,试求.

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