等差数列教案

教学目标：

知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想

过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。

教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。

教学过程：

创设情境，课题导入

复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）

⑴、0 5 10 15 20 … …

⑵、48 53 58 63

⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5

⑷、10072 10144 10216 10288 10360

提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。

（二）设置问题，形成概念

等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。

提出问题：等差数列的概念中的几个关键点是什么？

数学语言：word/media/image1_1.png word/media/image2_1.png 或 word/media/image3_1.pngword/media/image4_1.png word/media/image5_1.png≥1)

理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习第4题，教师总结。

（三）等差数列的通项公式

提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

再问：若一个无穷等差数列｛word/media/image6_1.png｝，首项是word/media/image7_1.png，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）

word/media/image8_1.png 即：word/media/image9_1.png

word/media/image10_1.png 即：word/media/image11_1.png

word/media/image12_1.png 即：word/media/image13_1.png

… …

至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。

此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？

　（然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法）

叠加法：｛word/media/image6_1.png｝是等差数列，所以：

word/media/image14_1.png

… …

word/media/image3_1.pngword/media/image15_1.png

两边分别相加得：word/media/image16_1.png 所以：word/media/image17_1.png

迭代法：｛word/media/image6_1.png｝是等差数列，则：

word/media/image18_1.pngword/media/image19_1.pngword/media/image20_1.png = … …=word/media/image21_1.png

所以：word/media/image17_1.png

由以上关系还可得：word/media/image22_1.png 即：word/media/image23_1.png

则：word/media/image24_1.png

=word/media/image25_1.png

即得等差数列的第二通项公式：word/media/image26_1.png

（四）通项公式的应用：

观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？

再追问：通项公式中有几个未知量？

再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？

例1、等差数列｛word/media/image6_1.png｝中，

⑴已知：word/media/image27_1.png word/media/image28_1.png 求word/media/image29_1.png

⑵已知：word/media/image30_1.png word/media/image31_1.pngword/media/image32_1.png word/media/image33_1.png 求word/media/image34_1.png

⑶已知：word/media/image35_1.png word/media/image36_1.png 求word/media/image37_1.png

⑷已知：word/media/image38_1.png word/media/image39_1.png 求word/media/image40_1.png

（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。）

例2、1、求等差数列8、5、2… …的第20项

解：由word/media/image35_1.png word/media/image3_1.pngword/media/image41_1.png word/media/image42_1.png得：

word/media/image43_1.png

2、word/media/image44_1.png是不是等差数列word/media/image45_1.png、word/media/image46_1.png、word/media/image47_1.png… …的项？如果是，是第几项？

解：由word/media/image48_1.png word/media/image49_1.png得word/media/image50_1.png

由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：

word/media/image51_1.png成立

解得：word/media/image52_1.png即word/media/image53_1.png是这个数列的第100项。

例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：word/media/image54_1.png 公差word/media/image55_1.png

当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求word/media/image56_1.png

所以：word/media/image57_1.png

例4：数列word/media/image58_1.png是等差数列吗？

（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看word/media/image59_1.png word/media/image60_1.png是不是一个与n无关的常数。）

word/media/image61_1.png 所以：｛word/media/image6_1.png｝是等差数列

引申：已知数列｛word/media/image6_1.png｝的通项公式word/media/image62_1.png，其中word/media/image63_1.png、word/media/image64_1.png为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

（指定学生求解）

解：取数列｛word/media/image6_1.png｝中任意两项word/media/image65_1.png和word/media/image66_1.png word/media/image67_1.png

word/media/image68_1.pngword/media/image69_1.png

它是一个与n无关的常数，所以｛word/media/image6_1.png｝是等差数列？

并且：word/media/image70_1.png word/media/image71_1.png

小结：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？等差数列是关于正整数ｎ的一次函数，还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。

通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？

（学生讨论、回答，教师补充）

一是利用定义：word/media/image1_1.png word/media/image2_1.png 或 word/media/image3_1.pngword/media/image4_1.png word/media/image5_1.png≥1)

二是利用通项公式：word/media/image62_1.png　word/media/image72_1.png　是关于ｎ的一次函数或常数函数。

课堂检测反馈：

求等差数列10、８、６… 的第２０项。

－20是不是等差数列０、3.5、－7… 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

等差数列｛word/media/image6_1.png｝中，已知：word/media/image73_1.png word/media/image74_1.png 求word/media/image75_1.png和word/media/image37_1.png

等差数列｛word/media/image6_1.png｝中，已知：word/media/image76_1.png word/media/image31_1.pngword/media/image77_1.png 求word/media/image78_1.png

等差数列｛word/media/image6_1.png｝中，已知：word/media/image79_1.png word/media/image80_1.png 求word/media/image81_1.png、word/media/image82_1.png

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

等差数列的定义：word/media/image1_1.png word/media/image2_1.png 或 word/media/image3_1.pngword/media/image4_1.png word/media/image5_1.png≥1)

等差数列的通项公式：word/media/image17_1.png或word/media/image26_1.png

（六）课后作业：

课本45页习题2．2（A组）3、4

等差数列教案