华北电力大学大一上学期高数期末考试题和答案
发布时间:2019-09-09 08:20:35
发布时间:2019-09-09 08:20:35
华北电力大学高数期末考试
一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1. .
2. .
3. .
二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
4. .
(A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B)是等价无穷小;
(C)是比高阶的无穷小; (D)是比高阶的无穷小.
5. .
(A) (B)(C) (D)不可导.
6. 若,其中在区间上二阶可导且,则( ).
(A)函数必在处取得极大值;
(B)函数必在处取得极小值;
(C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点;
(D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。
7.
(A) (B)(C) (D).
8.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 设函数由方程确定,求以及.
10.
11.
12. 设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性.
13. 求微分方程满足的解.
四、 解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16. 设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,.
17. 设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示:设)
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. . 6..7. . 8..
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 解:方程两边求导
,
10. 解:
11. 解:
12. 解:由,知。
,在处连续。
13. 解:
,
四、 解答题(本大题10分)
14. 解:由已知且,
将此方程关于求导得
特征方程: 解出特征根:
其通解为
代入初始条件,得
故所求曲线方程为:
五、解答题(本大题10分)
15. 解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程:
由于切线过原点,解出,从而切线方程为:
则平面图形面积
(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则
曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)
16. 证明:
故有:
证毕。
17.
证:构造辅助函数:。其满足在上连续,在上可导。,且
由题设,有,
有,由积分中值定理,存在,使即
综上可知.在区间上分别应用罗尔定理,知存在
和,使及,即.