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2018-2019学年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）

　金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一项是符合题目要求的）

1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）

2．的虚部为（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i

3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（　　）

A．2 B． C．2 D．4

4．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（　　）

A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|

5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（　　）

A．10 B．16 C．20 D．24

6．执行如图的程序框图，则输出的S=（　　）

A．21 B．34 C．55 D．89

7．已知，则cos2α=（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．0

8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（　　）

A． B． C． D．

9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣

10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．2

11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（　　）

A． B．1 C． D．

12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个：

①函数y=f有且只有三个零点；②函数y=g有且只有三个零点；

③函数y=f有且只有六个零点；④函数y=g有且只有一个零点．

其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．

14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+||______．

15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为______m．

16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：

（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；

（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；

（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；

（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．

则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：

①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是______（将你认为正确的序号都写上）．

三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知数列{an}满足word/media/image39_1.png，且数列{an}的每一项加上1后成为等比数列．

（Ⅰ）求{an}；

（Ⅱ）令bn=|log2（an+1）|，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：

男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；

（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

word/media/image41_1.png

19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．

word/media/image43_1.png

（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；

（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．

20．曲线word/media/image45_1.png上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．

（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；

（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=e1﹣xcosx，a∈R．

（Ⅰ）判断函数f（x）在word/media/image47_1.png上的单调性；

（Ⅱ）证明：∀x∈，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．

（1）求证：AB•MD=AD•BM；

（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．

word/media/image49_1.png

23．已知直线l的参数方程为word/media/image51_1.png（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．

（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；

（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．

24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．

（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；

（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．

2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|word/media/image53_1.png}，则A∩B=（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）

【考点】交集及其运算．

【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A与B的交集即可．

【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|word/media/image53_1.png}=（﹣1，2），

则A∩B=（﹣1，2），

故选：B．

2．word/media/image55_1.png的虚部为（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．

【解答】解：word/media/image55_1.png =word/media/image57_1.png=1+2i，

故虚部是2，

故选：A．

3．已知向量word/media/image59_1.png=（2，﹣1），word/media/image59_1.png=（0，1），则|word/media/image59_1.png+2word/media/image59_1.png|=（　　）

A．2word/media/image62_1.png B．word/media/image62_1.png C．2 D．4

【考点】向量的模．

【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．

【解答】解：向量word/media/image59_1.png=（2，﹣1），word/media/image59_1.png=（0，1），则|word/media/image59_1.png+2word/media/image59_1.png|=|（2，1）|=word/media/image62_1.png．

故选：B．

4．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（　　）

A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|

【考点】函数奇偶性的判断．

【分析】利用定义判断f（x）和选项中函数的奇偶性，得出结论．

【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），

∴f（x）是偶函数．

对于A，y=sinx是奇函数，

对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣word/media/image65_1.png，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，

对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，

对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．

故选：C．

5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（　　）

A．10 B．16 C．20 D．24

【考点】计数原理的应用．

【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解

【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，

∵要求入座的每人左右均有空位，

∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可

∴不同的坐法种数为A52=20，

故选：C．

6．执行如图的程序框图，则输出的S=（　　）

word/media/image67_1.png

A．21 B．34 C．55 D．89

【考点】程序框图．

【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．

【解答】解：模拟执行程序，可得

S=1，Q=1，i=3

满足条件i≤10，F=2，Q=1，S=2，i=4

满足条件i≤10，F=3，Q=2，S=3，i=5

满足条件i≤10，F=5，Q=3，S=5，i=6

满足条件i≤10，F=8，Q=5，S=8，i=7

满足条件i≤10，F=13，Q=8，S=13，i=8

满足条件i≤10，F=21，Q=13，S=21，i=9

满足条件i≤10，F=34，Q=21，S=34，i=10

满足条件i≤10，F=55，Q=34，S=55，i=11

不满足条件i≤10，退出循环，输出S的值为55．

故选：C．

7．已知word/media/image69_1.png，则cos2α=（　　）

A．1 B．﹣1 C．word/media/image65_1.png D．0

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由所给等式得到|sinα|=|cosα|=word/media/image71_1.png，由二倍角公式得到结果．

【解答】解：∵word/media/image69_1.png，

∴word/media/image65_1.pngcosα﹣word/media/image71_1.pngsinα=word/media/image71_1.pngcosα﹣word/media/image65_1.pngsinα，

∴cosα=﹣sinα，

∴|sinα|=|cosα|=word/media/image71_1.png，

则cos2α=2cos2α﹣1=0，

故选：D

8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（　　）

word/media/image75_1.png

A．word/media/image77_1.png B．word/media/image79_1.png C．word/media/image80_1.png D．word/media/image82_1.png

【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．

【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．

故选D．

9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜word/media/image84_1.png）的图象向右平移word/media/image84_1.png个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．﹣word/media/image65_1.png D．﹣word/media/image71_1.png

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得φ值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得．

【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移word/media/image84_1.png个单位后得到y=sin=sin（2x+φ﹣word/media/image84_1.png）的图象，

∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣word/media/image84_1.png=kπ+word/media/image84_1.png，解得φ=kπ+word/media/image91_1.png，k∈Z，

由|φ|＜word/media/image84_1.png可得当k=﹣1时φ=﹣word/media/image84_1.png，故f（x）=sin（2x﹣word/media/image84_1.png），

由x∈可得2x﹣word/media/image84_1.png∈，

∴当2x﹣word/media/image84_1.png=﹣word/media/image84_1.png即x=0时，函数f（x）在上取最小值sin（﹣word/media/image84_1.png）=﹣word/media/image71_1.png，

故选：D．

10．已知双曲线C：word/media/image97_1.png的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

A．word/media/image71_1.png B．word/media/image62_1.png C．word/media/image62_1.png D．2

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=word/media/image65_1.pngx，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．

【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=word/media/image65_1.pngx，

可得F到渐近线的距离为word/media/image102_1.png=b，

即有圆F的半径为b，

令x=c，可得y=±bword/media/image104_1.png=±word/media/image106_1.png，

由题意可得word/media/image106_1.png=b，

即a=b，c=word/media/image108_1.png=word/media/image62_1.pnga，

即离心率e=word/media/image65_1.png=word/media/image62_1.png，

故选C．

11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（　　）

A．word/media/image65_1.png B．1 C．word/media/image65_1.png D．word/media/image65_1.png

【考点】棱锥的结构特征．

【分析】设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=word/media/image65_1.png×4a2h=word/media/image65_1.pngh2（2﹣h），变形利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），

四棱锥P﹣ABCD的体积V=word/media/image65_1.png×4a2h=word/media/image65_1.pngh2（2﹣h）=word/media/image117_1.png≤word/media/image119_1.png=word/media/image84_1.png，

当且仅当h=4﹣2h，即h=word/media/image65_1.png时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，

故选：word/media/image65_1.png．

12．已知f（x）=word/media/image122_1.png，g（x）=﹣word/media/image65_1.pngx2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个：

①函数y=f有且只有三个零点；②函数y=g有且只有三个零点；

③函数y=f有且只有六个零点；④函数y=g有且只有一个零点．

其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】分别求出f（x），g（x）的单调性与值域，利用函数的单调性得出复合函数的单调性，即可得出零点个数．

【解答】解：f（x）在上是增函数，在（﹣1，1]上是减函数，在是增函数，

且f（﹣4）=﹣4，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（4）=4．

∴f（x）在区间（﹣4，﹣1），（﹣1，1），（1，4）上各有1个零点，且f（x）的值域为．

设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，∵f（﹣3）=log22﹣word/media/image65_1.png＜0，f（﹣2）=log23﹣word/media/image65_1.png＞0，

∴﹣3＜x1＜﹣2，令2|x﹣1|﹣2=0得x2=0，x3=1．

作出f（x）的大致函数图象如图所示：

word/media/image127_1.png

做出y=g（x）的函数图象如图所示：

word/media/image127_1.png

显然g（x）在上为减函数，且g（x）的值域为．

令g（x）=0得x=4word/media/image62_1.png﹣4，故g（x）的零点为4word/media/image62_1.png﹣4．

（1）设f=0，则f（x）=x1，或f（x）=0，或f（x）=2．

∵﹣3＜x1＜﹣2，

由y=f（x）的函数图象可知f（x）=x1只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有两解，

∴f有六个零点，故③正确．

（2）设f=0则g（x）=x1或g（x）=0或g（x）=2，

显然以上方程各有一解，∴f由三个零点，故①正确．

（3）设g=0，则f（x）=4word/media/image62_1.png﹣4，

∵0word/media/image130_1.png，由f（x）的函数图象可知f（x）=4word/media/image62_1.png﹣4有三个解，

∴g有三个零点，故②正确．

（4）设g=0，则g（x）=4word/media/image62_1.png﹣4，

由g（x）的函数图象可知g（x）=4word/media/image132_1.png有一解，

∴g有一个零点，故④正确．

故选：D．

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

13．已知实数x，y满足word/media/image134_1.png，则z=2x+y的最大值为　4　．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大．

由word/media/image136_1.png，解得C（2，0）

将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，

得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．

故答案为：4．

word/media/image138_1.png

14．F1，F2分别为椭圆word/media/image140_1.png=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且word/media/image142_1.png=word/media/image65_1.png（word/media/image142_1.png+word/media/image146_1.png），word/media/image142_1.png=word/media/image65_1.png（word/media/image142_1.png+word/media/image146_1.png），则|word/media/image142_1.png|+|word/media/image142_1.png|　6　．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．

【解答】解：椭圆word/media/image140_1.png=1的a=6，

由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，

word/media/image142_1.png=word/media/image65_1.png（word/media/image142_1.png+word/media/image146_1.png），可得B为AF1的中点，

word/media/image142_1.png=word/media/image65_1.png（word/media/image142_1.png+word/media/image153_1.png），可得C为AF2的中点，

由中位线定理可得|OB|=word/media/image65_1.png|AF2|，

|OC|=word/media/image65_1.png|AF1|，

即有|word/media/image142_1.png|+|word/media/image142_1.png|=word/media/image65_1.png（|AF1|+|AF2|）=a=6，

故答案为：6．

15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为　40　m．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE．

【解答】解：如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，

∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=word/media/image158_1.png．

∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，

∴AC=2CE=20word/media/image62_1.png，

∴AE=word/media/image161_1.png=30．

∴AB=AE+BE=30+10=40．

故答案为：40．

word/media/image163_1.png

16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：

（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；

（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；

（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；

（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．

则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：

①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是　①④　（将你认为正确的序号都写上）．

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．

【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（ iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（ iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；

②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（ iv）；

③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；

④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（ iii）∃1∈G，∀a∈G，则）1×a=a×1=a；（ iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个word/media/image65_1.png，使word/media/image166_1.png．

故答案为：①④．

三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知数列{an}满足word/media/image39_1.png，且数列{an}的每一项加上1后成为等比数列．

（Ⅰ）求{an}；

（Ⅱ）令bn=|log2（an+1）|，求数列{bn}的前n项和Tn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（I）利用数列{an+1}是等比数列可知a1+1=512、word/media/image39_1.png，进而可知数列{an+1}是以512为首项、word/media/image65_1.png为公比的等比数列，计算即得结论；

（II）通过（I）可知bn=|11﹣2n|，分n≤5和n≥6两种情况讨论即可．

【解答】解：（I）由题意，数列{an+1}是等比数列，设公比为q，

则a1+1=512，word/media/image39_1.png，

∴word/media/image172_1.png，即数列{an+1}是以512为首项、word/media/image65_1.png为公比的等比数列，

所以word/media/image175_1.png，word/media/image177_1.png；

（II）由（I）可知bn=|11﹣2n|，

当word/media/image179_1.png，

当word/media/image181_1.png，

故word/media/image183_1.png．

18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：

男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；

（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

word/media/image41_1.png

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（I）利用茎叶图能求出男生跳远成绩的中位数．

（Ⅱ）用分层抽样的方法，求出每个运动员被抽中的概率，根据茎叶图，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人数．

（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

【解答】解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数word/media/image186_1.png（cm）．…

（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是word/media/image188_1.png，…

根据茎叶图，女生有18人，

∴抽取的女生有word/media/image47_1.png（人）；…

（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…

X的取值为0，1，2，

则word/media/image191_1.png，

word/media/image193_1.png，

word/media/image195_1.png，…

X的分布列如下：

…

∴EX=word/media/image200_1.png=word/media/image65_1.png．…

19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．

word/media/image43_1.png

（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；

（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，根据线面平行的判定定理即可证明：MN∥平面ADFE；

（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，

又MN⊄平面EFDA，ED⊂平面EFDA

所以MN∥平面EFDA

（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF⊂平面EFCB

所以CF⊥平面EFDA，

以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z轴，建立空间直角坐标系．

由题意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），A（2，1，0），

设平面AMN的法向量为word/media/image59_1.png=（x，y，z），

则word/media/image142_1.png=（﹣1，﹣1，1），word/media/image142_1.png=（﹣2，0，1），

则word/media/image59_1.png•word/media/image142_1.png=﹣x﹣y+z=0，word/media/image59_1.png •word/media/image142_1.png=﹣2x+z=0，

令x=1，则z=2，y=1，即平面AMN的法向量为，word/media/image59_1.png =（1，1，2），

同理得平面AFN的法向量为word/media/image59_1.png=（1，﹣2，2），

设所求的二面角为θ

则|cosθ|=|word/media/image210_1.png|=word/media/image71_1.png，

又所求二面角为锐角，）

所以求二面角的余弦值为word/media/image71_1.png．

word/media/image213_1.png

20．曲线word/media/image45_1.png上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．

（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；

（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（Ⅰ）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；

（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别写出过M，N的切线方程，知x1，x2是方程word/media/image215_1.png的两根，进一步求得P的坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积．

【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则word/media/image217_1.png，

∴word/media/image219_1.png，

又word/media/image45_1.png，

∴所求方程为x2=4y；

（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，

设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1，

联立word/media/image222_1.png，

得x2﹣4kx﹣4=0，

则word/media/image224_1.png，

切线PM的方程为word/media/image226_1.png，

点P（x0，y0）代入化简得word/media/image228_1.png．

同理得word/media/image228_1.png，

知x1，x2是方程word/media/image215_1.png的两根，

则x1x2=4y0=﹣4．

∴y0=﹣1，代入圆方程得x0=0，

∴存在点P（0，﹣1）．

此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：

S=word/media/image232_1.png=1word/media/image232_1.png．

21．已知函数f（x）=e1﹣xcosx，a∈R．

（Ⅰ）判断函数f（x）在word/media/image47_1.png上的单调性；

（Ⅱ）证明：∀x∈，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据x的范围，判断出f′（x）的符号，从而求出函数的单调性；

（Ⅱ）问题转化为证明word/media/image236_1.png，在word/media/image238_1.png上恒成立，构造函数word/media/image240_1.png，word/media/image242_1.png，求出g（x）的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．

【解答】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（cosx）﹣e1﹣xsinx=﹣e1﹣x（sinx+cosx）…

因为word/media/image244_1.png

所以f'（x）＜0…

所以函数f（x）在word/media/image47_1.png上单调递减…

（II）f（﹣x﹣1）=ex+2•cos（﹣x﹣1）=ex+2•cos（x+1）．

而2f'（x）•cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）•cos（x+1），…

又因为word/media/image238_1.png，所以cos（x+1）＞0．…

要证原不等式成立，只要证ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，

只要证ex+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），

只要证word/media/image236_1.png，在word/media/image238_1.png上恒成立．…

首先构造函数word/media/image240_1.png，word/media/image242_1.png，

因为word/media/image251_1.png=word/media/image253_1.png，

可得，在x∈时，g'（x）≤0，即g（x）在上是减函数，

在word/media/image255_1.png时，g'（x）＞0，即g（x）在word/media/image257_1.png上是增函数，…

所以，在word/media/image259_1.png上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．

所以，word/media/image261_1.png，等号成立当且仅当x=0时．…

其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），word/media/image242_1.png，

因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），

可见word/media/image238_1.png时，h'（x）≤0，即h（x）在word/media/image244_1.png上是减函数，

word/media/image166_1.png时，h'（x）＞0，即h（x）在word/media/image267_1.png上是增函数，

所以在word/media/image259_1.png上，word/media/image270_1.png，所以h（x）≥0，

所以，e2x+1≥2x+2，等号成立当且仅当word/media/image272_1.png时．…

综上所述，word/media/image274_1.png，

因为取等条件并不一致，

所以word/media/image236_1.png，在word/media/image238_1.png上恒成立，

所以word/media/image238_1.png，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．…

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．

（1）求证：AB•MD=AD•BM；

（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．

word/media/image49_1.png

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；

（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．

【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，

由角分线定理可知，word/media/image84_1.png =word/media/image84_1.png，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）由CP•MD=CB•BM，

可知word/media/image84_1.png=word/media/image84_1.png，又因为BC=CD，所以word/media/image84_1.png=word/media/image84_1.png

所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA

又因为∠PBC=∠BAC

所以∠BAC=∠BCA

所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

23．已知直线l的参数方程为word/media/image51_1.png（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．

（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；

（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；

（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．

【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即word/media/image282_1.png．

∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2word/media/image62_1.png，0）．

∵F（﹣2word/media/image62_1.png，0）在直线l上，

∴直线l的参数方程为word/media/image284_1.png（t为参数）．

将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，

∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．

（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0word/media/image286_1.png，0＜y＜2），

则x2+3y2=12，∴x=word/media/image288_1.png．

∴P=4x+4y=4word/media/image288_1.png+4y．

令f（y）=4word/media/image288_1.png+4y，则f′（y）=word/media/image291_1.png．

令f′（y）=0得y=1，

当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．

∴当y=1时，f（y）取得最大值16．

∴P的最大值为16．

24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．

（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；

（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．

【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．

【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．

【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，

∴T=（﹣∞，1]；

（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，

不等式word/media/image293_1.png•word/media/image293_1.png≥t恒成立，

只需word/media/image293_1.png•word/media/image293_1.png≥tmax，

所以word/media/image293_1.png•word/media/image293_1.png≥1，

又因为m＞1，n＞1，

所以word/media/image293_1.png＞0，word/media/image293_1.png＞0，

又1≤word/media/image293_1.png•word/media/image293_1.png≤word/media/image298_1.png=word/media/image300_1.png（word/media/image293_1.png=word/media/image293_1.png时取“=”），

所以word/media/image304_1.png≥4，

所以word/media/image306_1.png≥2，mn≥9，

所以m+n≥2word/media/image308_1.png≥6，

即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．

2016年9月22日

东北三省四市教研联合体2019届高三数学二模试卷（理科） Word版含解析