上海市进才中学2021届高三上学期12月月考数学试题-

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上海市进才中学2021届高三上学期12月月考数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题 1. 若集合
，，则______. 2. 若、满足约束条件
3. 已知向量
4. 直线的法向量，则实数
与直线_____．
，则的最小值为________ ，且，求实数_______ ，若的方向向量是5.
的展开式中，含项的系数为______. 6. 通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________
7. 已知等比数列满足________________.
，则8. 设函数，其中点，则的取值范围是________．

.若函数在上恰有2个零
9. 欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三的通项公角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列式为________
（），则数列前2020项的乘积为10. 已知函数时，函数
（）的反函数为，最小值为，则，当________ 的最大值为11. 已知实数同时满足：（1）延长线上一点：（2）关于的方程有两解，则实数的取值范围是___________
12. 已知数列题：①的首项为，且满足，其中是在边上恰，则下列命是等差数列；②是递增数列；③设函数，则存在某个区间
二、单选题

，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________ 13. 直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离

14. 已知函数将的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的图象的一条对称轴方程为（）

C．
D．
的一半，纵坐标不变，则函数A．

B．
15. 已知数列①若列；
，以下两个命题： 都是递增数列，则都是递增数②若都是等差数列，则都是等差数列；
下列判断正确的是（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题

16. 已知单位向量，且，若，则的最小值为（ ）
A．

B．
C．
D．1 三、解答题

17. 如图所示，在长方体为棱上一点．
中，，
（1）若（2）若
，求异面直线，求点到平面和所成的角； 的距离．


18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=（2）若
，cosB=，求，求c的值；
的值．
19. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

20. 已知数列成等差数列，（1）求证：数列（2）求数列、、、的各项均为正数，且对任意、成等比数列，且，都有．
、、是等差数列； 的通项公式；
，不等式恒成（3）设，如果对任意立，求实数的取值范围．

21. 设对集合恒成立，则称立，则称（1）设奇偶性； （2）若在在在上的任意两相异实数在上优于，，若；若. 是偶函数，判断并证明，在，若上也是增函数；
，若上优于恒成上严格优于上优于上严格优于，且的是上的增函数，求证：（3）设函数，，是否存在实数使得在大值；若不存在，请说明理由. ，若存在，求实数的最


上海市进才中学2021届高三上学期12月月考数学试题-

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