年高考数学理3卷答案

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年高考数学理3卷答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学3卷（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0【答案】B
【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，
故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即
元素的个数为2，故选B.






2．设复数z满足A．B．【答案】C【解析】由题，
C．
，则D．2
（）
，则，故选C.

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
-1--1-/14

年高考数学理3卷答案

2014年2015年
2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4．的展开式中的系数为（）A．B．C．40D．80【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为
，则的系数为40，故选C.
5．已知双曲线且与椭圆A．【答案】B
B．
（
，
）的一条渐近线方程为
，
有公共焦点．则的方程为（）
C．
D．

-2--2-/14

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【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为
又∵椭圆②由①②解得6．设函数A．C．【答案】D【解析】函数
如图可知，
在
y

，则①，则，故选B.
与双曲线有公共焦点，易知，则双曲线的方程为
，则下列结论错误的是（）
的一个周期为的一个零点为
B．
D．的图象可由
的图像关于直线在
单调递减
向左平移个单位得到，
对称
上先递减后递增，D选项错误，故选D.


-O6


x
7．执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）A．5B．4C．3D．2【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：

初始状态01001
第1次循环结束1002第2次循环结束9013此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D.
-3--3-/14

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8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径
，
则圆柱体体积

，故选B.


9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）A．B．C．3D．8【答案】A【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.
则，即
又∵，代入上式可得
又∵，则∴
10．已知椭圆线段A．
B．
C．
（D．
相切，∴圆心到直线
）的左、右顶点分别为，，且以
相切，则的离心率为（）
为直径的圆与直线
，故选A.
【答案】A
【解析】∵以为直径为圆与直线距离等于半径，
∴又∵∵

，则上式可化简为，可得
，即
-4--4-/14


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∴
11．已知函数A．
，故选A
有唯一零点，则
（）
B．C．D．1
，得：
∴，即为的对称轴，由题意，有唯一零点，∴的零点只能为，即，解得
．
相
【答案】C
【解析】由条件，

12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与切的圆上．若，则的最大值为（）A．3B．C．D．2y
P【答案】A
C【解析】由题意，画出右图．B
设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，E
D为轴正半轴建立直角坐标系，A(O
则点坐标为．∵，．∴．∵切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．

即
的半径为
上．
．
x

∵在
∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
-5--5-/14

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而∵∴
，

，，
．
．
两式相加得：

(其中当且仅当
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足约束条件
【答案】
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为由图可知：在

，，
时，

取得最大值3．
则的最小值为________．
，则直线处取最小值，故
xy20
纵截距越大，值越小．
．
y
A(1,1
B(2,0
xy0
x

14．设等比数列满足，【答案】【解析】为等比数列，设公比为．
，即
显然
，
，
-6--6-/14
，则________．
，

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得15．设函数________．【答案】【解析】

，即，代入．则满足
式可得，
的x的取值范围是
，
与
y
，即
的图象如下：
1
yf(x
2

由图象变换可画出

11(,44
12

12
x
y1f(x
由图可知，满足的解为.

16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与
，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最大值为．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③
【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，故，，
斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．
-7--7-/14

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则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量设则故设
，所以③正确，④错误．与所成夹角为
，
与所成夹角为
，
．
，．
.
当与夹角为时，即，．
∵∴∴∵∴
．，此时
．
，
．
与夹角为．
∴②正确，①错误．
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
-8--8-/14
，，

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．
（1）求c；（2）设为【解析】（1）由
即∴
边上一点，且
得，又，得
.
，
，求
，
的面积．
由余弦定理并整理得（2）∵由余弦定理
，故
.，
.又∵代入
.
∵，即为直角三角形，则，得.由勾股定理.又
，则
.

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气

温天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】⑴易知需求量可取

-9--9-/14
，

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.
则分布列为：




⑵①当②当
时：时：
，此时，当
时取到.
此时③当，当时取到.时，


此时.④当时，易知一定小于③的情况.综上所述：当时，取到最大值为.
19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，
D三角形．，．
（1）证明：平面平面；
E（2）过的平面交于点，若
C
平面把四面体分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．A
D
【解析】⑴取中点为，连接，；
为等边三角形∴C∴O
A
-10--10-/14
是直角
B
E
B

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.
∴,即为等腰直角三角形，为直角又为底边中点
∴
令，则易得：∴即

z

，


由勾股定理的逆定理可得


D
又∵
由面面垂直的判定定理可得O

⑵由题意可知A
x即,到平面的距离相等
即为中点
以为原点，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则易得：设平面则
，
，，
的法向量为，平面，解得，解得
若二面角则
-11--11-/14
C
E
By
为轴正方向，

，
，
，
的法向量为，

为，易知为锐角，

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20．（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．
【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，
联立：
得，恒大于，
，
．


∴
，即在圆上．
⑵若圆
过点，则

化简得解得
或①当
时，圆心为，
，
半径则圆②当时，圆心为，，
，
半径
则圆


21．（12分）已知函数．
（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，
求的最小值．【解析】⑴
，

-12--12-/14

，

，

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则当
，且
时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；当时，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．①若，在上单调递增∴当时矛盾②若，在上单调递减∴当时矛盾③若，在上单调递减，在上单调递增∴
满足题意
综上所述．
⑵当时即
则有当且仅当时等号成立∴一方面：即另一方面：当∵
时，，
，

．

，

，
∴的最小值为．

22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为的参数方程为
（t为参数），直线
（m为参数），设与的交点为P，当k变化
时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
，M为与C的交点，求M的极径．
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
-13--13-/14

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①②消可得：
即的轨迹方程为；⑵将参数方程转化为一般方程
……③联立曲线和

解得
由解得即
的极半径是
．

23．选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．【解析】⑴可等价为
.由
得：
①当时显然不满足题意；②当时，，解得；③当时，恒成立.综上，的解集为⑵不等式等价为，令，则解集非空只需要.
而.
①当时，；
②当时，；
③当时，
.
综上，，故
.

-14--14-/14
可
.

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