2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分.

（1）已知集合，则

（A） （B） （C） （D）

（2）设复数z满足，则=

（A） （B） （C） （D）

(3) 函数的部分图像如图所示，则

（A） （B）

（C） （D）

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

（A） （B） （C） （D）

(5) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=

（A） （B）1 （C） （D）2

(6) 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=

（A）− （B）− （C） （D）2

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，

则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π

（C）28π （D）32π

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，

若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

（A） （B） （C） （D）

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．

执行该程序框图，若x=2,n=2,输入的a为2，2，5，则输出的s=

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是

（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x （D）

(11) 函数的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

(12) 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m

二．填空题：共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

(14) 若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为__________

（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.

（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）(本小题满分12分)

等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0,[]=2

（18）(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；

(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.

求P(B)的估计值；

（III）求续保人本年度的平均保费估计值.

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.

（I）证明：；

(II)若,

求五棱锥体积.

（20）（本小题满分12分）

已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

(II)若当时，，求的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II)当2时，证明：.

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b时，.

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案

第Ⅰ卷

一. 选择题

（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A

(5)【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】C (8) 【答案】B

(9)【答案】C (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B

二．填空题

(13)【答案】8ca9318120d1a3ed802c611965821210.png (14)【答案】8e246249212cc10c74a8511416f22695.png （15）【答案】db4e019883352258e26f00532a2f0bdb.png （16）【答案】1和3

三、解答题

（17）(本小题满分12分)

【答案】（Ⅰ）cb7f33cd1b3a08909f4a7a3f26d441e0.png；（Ⅱ）24.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，8277e0910d750195b448797616e091ad.png，从而求得9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png；（Ⅱ）根据已知条件求c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png，再求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前10项和.

试题解析：(Ⅰ)设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为d，由题意有f56f6c45a51cc6e2a7f40743339e0c8a.png，解得58df98970acd1a8c3a9de6729defe3bb.png，

所以02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式为cb7f33cd1b3a08909f4a7a3f26d441e0.png.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知7ed2ad00e263a3a118e50e69bc0b66fc.png，

当n=1,2,3时，9dddd2e5f92b7f098eb6867248bb4bfd.png；

当n=4,5时，18f860cb8f5076f83e3d0573de178a54.png；

当n=6,7,8时，b681e9ceabc1117acc5fbbef26a49fa2.png；

当n=9,10时，b518edbe9f5eec05851659eb7084bbc2.png，

所以数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前10项和为23d0990a34168339e18d02bc1c6a165a.png.

考点：等茶数列的性质，数列的求和.

【结束】

（18）(本小题满分12分)

【答案】（Ⅰ）由d461a9e64fa3c2215721e776f7126a49.png求P(A)的估计值；（Ⅱ）由b172c16f48093f7be59b827bc4055042.png求P(B)的估计值；（word/media/image21.gif）根据平均值得计算公式求解.

【解析】

试题分析：

试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为8c53189c9e5f6473a5014c449c1134f7.png，

故P(A)的估计值为.

（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为ede65ad99b90c0ed53c2729a3b942c81.png，

故P(B)的估计值为.

(Ⅲ)由题所求分布列为：

调查200名续保人的平均保费为

6a83748b18b0155565dfa0e81059ebca.png，

因此，续保人本年度平均保费估计值为.

考点：样本的频率、平均值的计算.

【结束】

（19）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）ec22ab217412af36c9eb55813bd59fec.png.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证dd0b17b17a948c622cf6db0e2070cc10.png再证d4aa475aa7d0159d708bd52d34154df3.png（Ⅱ）证明f9203f7c76603abd5fb3ff9c4b0740f4.png再证476ec6de5995f930a54fbcc6b5dd8820.png平面4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png最后呢五棱锥体积.

试题解析：（I）由已知得，3f4ff8a1cf9409c19af93f129f92c967.png

又由167d110288f352a7028b48e769494e4c.png得95e7b29bd1e3b63c61ffbc92505a49e0.png，故dd0b17b17a948c622cf6db0e2070cc10.png

由此得c7a85c0c21d82e96a4f84d3e19df8b64.png，所以d4aa475aa7d0159d708bd52d34154df3.png.

（II）由1e77b6d1cd6db2af0fea49f5a09f5077.png得9818fae48a1e6a098469d8fb2466a482.png

由c250e72fc8fbfcc9d1d1685860a7a9bf.png得0764ae89ea33fbc29b93865c884a8616.png

所以17d403d51f060bc963f9a8b4aaa2a887.png

于是81c94e1f11b094797f88d41a3ce50961.png故f9203f7c76603abd5fb3ff9c4b0740f4.png

由（I）知50e6495db2483692ca3be2c27eeda616.png，又40eac6e9b1e3ec6c809142fd6e3f6f85.png，

所以7181c851a585f9ea5b00c6656fd252e6.png平面556a0c45e4955530e78db18db3a80a28.png于是913b601d6795ae90e7262f17cc36420f.png

又由8a239f04d74d683237c618638edd4870.png，所以，476ec6de5995f930a54fbcc6b5dd8820.png平面4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png

又由a4637534da51cb7b19edc48ae4d876b8.png得a31011597b38ef3ed5c4ac27cc81a937.png

五边形6085a800339d7450dd0f8f409a69114a.png的面积f90f6db3277a382d90b0e93d80bdd075.png

所以五棱锥体积f671609e84ab70c62555fe7f897d9d92.png

考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.

【结束】

（20）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）dbf2005cedcae683e924b42f2fc53e41.png；（Ⅱ）f96bf333768eefebb7193995a512c53b.png.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png，6b974907b7b4117cfb347a65a0ba371d.png，44f2886de47a6ed1bd8d3b95c3125295.png，由直线方程得点斜式可求曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在a609785fe5346b1dcb9dcbe70bc202e9.png处的切线方程为dbf2005cedcae683e924b42f2fc53e41.png（Ⅱ）构造新函数72d3f9e866e3a351ff90d6030101571d.png，对实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I）50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域为b921db311612fd3665c51872c7a83455.png.当3c9d2347726735da8c5c1ed9a44f5759.png时，

1d53326be8e66fa1761348c2d02e55cb.png，4ff110296c266741abac77df02e4749b.png曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在a609785fe5346b1dcb9dcbe70bc202e9.png处的切线方程为dbf2005cedcae683e924b42f2fc53e41.png

（II）当5627b7a54b324c3dba5d88518c62eb37.png时，3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png等价于d9b2f12abae04f790c69c4be761a2430.png

令72d3f9e866e3a351ff90d6030101571d.png，则

a0ce915490dc3da9826b7c7596bd90a8.png，

（i）当2dfc03408510a4cb71c6a9953a129532.png，5627b7a54b324c3dba5d88518c62eb37.png时，0e218c0fe297467bb776666f361bcef7.png，故b073a1a214bec6ad30f976d431aad6c0.png在5627b7a54b324c3dba5d88518c62eb37.png上单调递增，因此8c9b9acdcb6dc6f129268007db5c6792.png；

（ii）当d834a943b0a92f67d91481b42bc89d84.png时，令0f37eb3c71e1fc1f08e49412891a7653.png得

603daf93c1de4ca82044f60b1295854e.png，

由63afc137818338c43356022a649395a4.png和b5898a59b63d67ad659b03dcfe7abb50.png得7dfda0a22f6f4edd5e8ee912b2ee4688.png，故当7e8d679f5319b74252a13bdec5b30a15.png时，39d264baf33b24be2675f500e3324272.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在7e8d679f5319b74252a13bdec5b30a15.png单调递减，因此87297c7aa79942fee74bd0aca0e21b5a.png.

综上，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是f96bf333768eefebb7193995a512c53b.png

考点：导数的几何意义，函数的单调性.

【结束】

（21）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）de4152b724ab870d291285f738aff011.png；（Ⅱ）44511313d226aaa63c4e4532957433ef.png.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png的方程，再求点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的纵坐标，最后求557499e6f366f7e563106fabd5e97adc.png的面积；（Ⅱ）设fd13f0d1eafaf1f26bbc173dcc33ba94.png，，将直线25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png的方程与椭圆方程组成方程组，消去415290769594460e2e485922904f345d.png，用8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png表示f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png，从而表示f9901d80b2ac586de137f42bbf533f11.png，同理用8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png表示4313cf348a99a009bdecfefa5cd49ab4.png，再由0ec3a1638666031e51ceba1e6387464b.png求8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png.

试题解析：（Ⅰ）设f95d9c933453c6512a6e3e0cf1b1568c.png，则由题意知c2a25956763b60ab40a439946fdd71c4.png.

由已知及椭圆的对称性知，直线25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png的倾斜角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，

又feff727935034b6b0e721169137a7e2b.png，因此直线25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png的方程为daa63ef966cc412541190bc8794731de.png.

将fda055707c924ce9e749f4837cf73b96.png代入9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png得7decb730b826d2a8d1317f543917b5ad.png，

解得fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png或615077930d348c92a58e4a66192356ff.png，所以bdad3b6f8d95c15d7e27792cce2cf4cb.png.

因此557499e6f366f7e563106fabd5e97adc.png的面积16d1781addb6703d5847c35a6e4f9ecc.png.

（2）将直线25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png的方程509189a332bbc3ed833428924948c4eb.png代入9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png得

c78e958bb8a4b5c720e4789f98aba848.png.

由07c3fd9ca5b3c86b0fb7d75d5c98e6e0.png得0c8da3186756208d577a0fcee37f15c4.png，故ebd93c042f08cdb9fee821c7e2e6334d.png.

由题设，直线d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png的方程为8af3e137f8d872f95f5daf80703d6e09.png，故同理可得3ce4983e8866737c3cc4761089a9353f.png.

由976e67711b35b2b761eb8f3e8181ee36.png得795604719cc010d1cd653d905ab1f92a.png，即145edbba61aa2b5b63889101fc7e155b.png.

设29795914d704eb0e787d8d04abb36f15.png，则8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png是d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png的零点，4f2591406f7d740706e50aa6bf29c976.png，

所以d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png单调递增，又13e4e1ad20287fdf42d7a4e1f567cc52.png，

因此d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png有唯一的零点，且零点8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png在6339e50321a8339f6ada3cd6ae7866f7.png内，所以7fb0e57380e093a855d91106b2f15727.png.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证121d924aa87b66039a62b53d7de690ad.png再证4707356a076e6223c420e36214fd7a54.png四点共圆；（Ⅱ）证明a9140836e5b69a2f1c138774d035695a.png四边形9c2262011b30b6b59a93cf2a5f8c5060.png的面积5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是97587fc8d2a1e2f3a780082498fcaa4d.png面积db8466a8c355efd8f0b522698d1170de.png的2倍.

试题解析：（I）因为f65e98b1a6e471e2d7be00d00988eb8c.png,所以c675f9b837bd466d5125a923e039d29a.png

则有c6ceaa6fa005c774ac2b33ee075206d6.png

所以121d924aa87b66039a62b53d7de690ad.png由此可得c0de02ef5e216dfc98dda640395f5e0e.png

由此6502ab507e891c682160ed55802df889.png所以4707356a076e6223c420e36214fd7a54.png四点共圆.

（II）由4707356a076e6223c420e36214fd7a54.png四点共圆，73f0a2ba14d5899c4143784113c32809.png知8b665d74723dfcda8159b157de8474c4.png，连结79cba1185463850dedba31f172f1dc5b.png，

由dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为6236f36f114d98430da39c918a9ab6f8.png斜边4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png的中点，知5458b6ff8a7de33df8c5ea938fbd436d.png,故a9140836e5b69a2f1c138774d035695a.png

因此四边形9c2262011b30b6b59a93cf2a5f8c5060.png的面积5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是97587fc8d2a1e2f3a780082498fcaa4d.png面积db8466a8c355efd8f0b522698d1170de.png的2倍，即

baf58b5807eb980570cd7ee4de3552d2.png

考点：三角形相似、全等，四点共圆

【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

【答案】（Ⅰ）f4bc53d66a1c8666efa10812e63912b7.png；（Ⅱ）36e786089cceeccc83b523ae83639a08.png.

【解析】

试题分析：（I）利用abc58b9ccbbd00450dd24820b1caf064.png，86133ae5cd71a054fc78a23671c4e7e1.png可得C的极坐标方程；（II）先将直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率．

试题解析：（I）由8bb6f5c0ed14a55705241c3f92a04f50.png可得0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的极坐标方程5d7de6d5aeab6f186a994ac88c383a84.png

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的极坐标方程为03be5bbeef51682ac32184fd6ea5adda.png

由6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png所对应的极径分别为3d160b49f9f116c7cf7f7c208d8c3ae6.png将2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的极坐标方程代入0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的极坐标方程得

792b60a3fd67c37d2b97727845bd4708.png

于是7894462ac68b5c2e7c4f0ca0e22bbc3e.png

880e31138964578c373fd45edba30406.png

由c5d20680bc8d1e1d4baf12f5267c9c6a.png得5b0a12f2b9e686353012b7d5454f1890.png，

所以2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率为1ed868683495d9aec3f8273182d1bf8e.png或32654a5e30f2adbb00898b8323679518.png.

考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.

【结束】

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

【答案】（Ⅰ）696dc4a5fd9ac3f432bd02321d185d83.png；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（I）先去掉绝对值，再分179b566b4408ed8adbd516f6b2fa2fc0.png，8d312a00f458ff91bc0183aec5294a62.png和8f560f8d88145bf2bbcbbc38cafb4740.png三种情况解不等式，即可得acd12f6553a7a89493305eda3baf118b.png；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，53f35c768df61ca2466ea50d3bf7cf64.png时，f1c69f652fe638be931e9364388d112f.png．

试题解析：（I）fe1e57a903c805c07f9ba2bcb4c2353c.png

当56d3b110b0ef773f673064e0dcbdfe77.png时，由87819988603fc9739ebdd46eac5c6432.png得48e7c26e31f9fb3e5faf6bd9489b08a8.png解得7ae27cecfbd92cbd679b00187dac70d1.png；

当7e2d1beca870d202a24155c4f4407f2f.png时，87819988603fc9739ebdd46eac5c6432.png；

当d5105598c8c81685d89b60c4baa54abe.png时，由87819988603fc9739ebdd46eac5c6432.png得72fdf4d953cf0374062aeb41cfe5c637.png解得17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png.

所以87819988603fc9739ebdd46eac5c6432.png的解集696dc4a5fd9ac3f432bd02321d185d83.png.

（II）由（I）知，当d0724d16bf402e9434a6ae9fe7f1dcef.png时，26369ade7e40ac38c34536a5e497d48a.png，从而

9437aec1f2e405c92a17f734f8dcef29.png，

因此b7fb44720a7af861113fdb3f5f70882a.png

考点：绝对值不等式，不等式的证明.

【结束】

2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷