贵港市2018届高中毕业班12月联考文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，若，，则集合中的元素个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．某歌手参加比赛，9个评委的评分结果如下：87,91,90,87,90,94,99,9*,91.其中9*是模糊成绩.去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余7个分数的平均分为91分，则9*是（ ）

A．93 B．94 C．95 D．96

3．若复数满足，则（ ）

A． B． C． D．

4．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）

A． B． C． D．

5．设双曲线的右焦点为，则到渐近线的距离为（ ）

A．1 B． C． D．2

6．下列四个命题中正确的是（ ）

①若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④

7．已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

8．已知函数，是奇函数，则（ ）

A．在上单调递减 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递增

9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

10．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）

A．54 B．56 C．90 D．180

11．已知，，则（ ）

A． B． C． D．

12．直线与抛物线相交于两点，抛物线的焦点为，设，则的值为（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．向量，，则 ．

14．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为 ．

15．在中，分别是内角的对边，.则边 ．

16．已知四面体中，，，，平面，则四面体的内切球半径为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知数列的前项和为，满足，.

（1）证明：是等比数列；

（2）若，求的最小值.

18．某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；

（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率.

19．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.

（1）求证：为的中点；

（2）求三棱锥的体积.

20．已知函数，斜率为1的直线与相切于点.

（1）求的单调区间；

（2）证明：.

21．椭圆的右焦点为，过作圆的切线交轴于点，切点为线段的中点.

（1）求椭圆的方程；

（2）曲线与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为.

（1）若直线与圆相切，求的值；

（2）若直线与曲线相交于两点，求的值.

23．已知函数.

（1）求证：；

（2）解不等式.

贵港市2018届高中毕业班12月联考

文科数学参考答案

一、选择题

1-5:CBDAA 6-10:DBBDC 11、12：AA

二、填空题

13．5 14． 15．1 16．

三、解答题

17．解：（1）因为，所以，

所以，而，

所以是以6为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）得，，

∴，

由，得，

因为，所以时，的最小值为5.

18．解：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，

其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，

由题意，得，则人.

所以在“支持”的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取.

（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，则，.

即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；

分别记作，则从中任取2人的所有基本事件为：

，，，，，，，，，，，，，，，共15个.

其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个.

分别是，，，，，，，，.

所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为.

19．解：（1）证明：连结，设，连接，则为的中点，且面面，

∵平面，∴，∴为的中点.

（2）由（1）知为的中点，所以，

由底面为菱形，，得，

.

又，∴.

20．解：（1）由题意知：，，∴.

所以.

由，解得，由，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，即；

当时，，即；

当时，，即；

当时，；

综上所述，.

21．解：（1）由已知得，且，∴，∴.

所以椭圆的方程为；

（2）由曲线知曲线的图象关于轴对称，

又椭圆的图象也是关于轴对称，所以圆心在轴上，

设圆心为，曲线与椭圆在一、四象限交于，

两点，则，.

把代入得，∴，

又由得，

即，

∵，∴，∴.

所以此圆的圆心坐标为.

22．解：（1）圆的直角坐标方程为，

直线的一般方程为，

∴，∴；

（2）曲线的一般方程为，代入得，

∴，，

∴.

23．解：（1）证明：∵，∴；

（2）解：∵，所以原不等式等价于

①；

②；

③；

综合上述，原不等式的解集为.

2017-2018学年广西贵港市高三数学上12月联考（文）试题（附答案）