2015年度高二数学理科模拟考试卷

试卷副标题

1．（本小题满分14分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；

（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++ +＜．

2．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，为等比数列．

（Ⅰ）求证：是等差数列；

（Ⅱ）求的取值范围．

3．（本小题满分14分）已知为数列的前项和，（），且．

（1）求的值；

（2）求数列的前项和；

（3）设数列满足，求证：．

4．（本小题满分12分）已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值.

5．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰好是等比数列的

前三项．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

6．已知数列满足,，．

（1）求证：是等差数列；

（2）证明：．

7．（本小题满分14分）已知数列的前项之和为（），且满足．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求证：．

参考答案

1．（Ⅰ）an=3n–1．bn=2n–1．（Ⅱ）Tn=(n–2)2n+2．（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列；

讨论知，{bn}是公比为2，首项b1=1的等比数列．得到它们通项公式．

（Ⅱ）已有cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，故利用“错位相减法”求和.

（Ⅲ）由===≤，

故可利用“放缩法”：++ +＜++ +=

=(1–)＜．

试题解析：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1． 2分

∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． 3分

∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，

∴{bn}是公比为2，首项b1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1． 5分

（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， 6分

Tn=0•20+1•21+2•22+ +(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ①

2Tn=0•21+1•22+2•23+ +(n–2)2n–1+(n–1) 2n ②

①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+ +2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n

∴Tn=(n–2)2n+2． 10分

（Ⅲ）===≤

++ +

＜++ +=

=(1–)＜． 14分

考点：1.数列的通项；2.等比数列及其通项公式；3.数列的求和、“错位相减法”.

2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由为等比数列可得，两边同除得，故是等差数列；（Ⅱ）典型的用错位相减法求解，，，

，两式相减 ，当时，

，从第1项开始递增,

试题解析：（Ⅰ） ，，

，是以为首项，公差的等差数列 6分

（Ⅱ）， ①

．．②， 由①-②得 8分

当时， ，从第1项开始递增, 12分

考点：等差数列的定义、错位相减法求数列的和

3．（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式可得数列的通项公式，进而即可得数列的前项和；（3）先将放缩，化简，利用裂项法，即可证明．

试题解析：（1）解：由和可得 2分

（2）解法1：当时，由

得 4分

6分

∴数列是首项，公差为6的等差数列

∴ 7分

∴ 8分

[解法2：当时，由 4分

可得

6分

∴数列是首项,公差为3的等差数列

，即 8分]

（3）证明： 10分

11分

∴ 13分

命题得证 14分

考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式；3、数列的求和；4、不等式的证明.

4．(1)；（2）的最大值1.

【解析】

试题分析：(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了；（3）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列

的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立.

试题解析：（1）由题意可知：

当时，不符合题意； 1分

当时，，

，，， 2分

，, 3分

， . 4分

（2） ， ，， 5分

（1）

（2）

得： 6分

8分

恒成立，只需 9分

为递增数列， 当时， ， 11分

，的最大值为. 12分

考点：1、等比数列的前项和公式；2、错位相减求数列的和；3、恒成立的问题.

5．（1），，（2）

【解析】

试题分析：（1）利用数列和项与通项关系，求数列递推关系：，当时，，，，

恒成立，，利用递推关系求数列通项公式：当时，是公差的等差数列. ，由条件可知，，，因此，最后根据等比数列通项公式，利用待定系数法求解：（2）不等式恒成立问题，先化简不等式：对恒成立， 对恒成立，再研究数列的最值，这首先需研究其单调性：，当时，，当时，

，．

试题解析：（1），当时，，

，，

恒成立，，

当时，是公差的等差数列. 3分

构成等比数列，，，

解得， 5分

当时，，

由条件可知，， 6分

数列的通项公式为. 8分，

，数列的通项公式为 9分

（2）， 对恒成立， 即对恒成立， 11分

令，，

当时，，当时， 13分

，． 16分

考点：由数列和项求通项，等比数列通项及和项

6．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）证明数列为等差数列只需按数列定义证明即证：当时，为常数即可；（2）根据（1）可知数列的通项公式，可得到: ,由利用裂项相消法证明．

试题解析：（1）

是以3为首项，2为公差的等差数列． 6分

（2）由（1）知： 8分

，

． 12分

考点：1．等差数列的定义；2．数列求和．

7．（1）

【解析】

试题分析：（1）由题意，由 可求数列的通项公式

（2）利用裂项求和法即由题意可得求和即可得到结论

试题解析：（1），令得

两式相减，得，整理

是首项为，公比为的等比数列

（2）.

考点：数列的通项公式，裂项求和法

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