天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题

学校_________   班级__________  姓名__________  学号__________

一、单选题

1. 设全集,集合则（   ）

2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（   ）

3. 已知程序框图如图所示，则输出的是（   ）

4. 设，都是不等于的正数，则“”是“”的（  ）

5. 设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（   ）

6. 函数的部分图象如图所示，如果，且，则（   ）

7. 已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线左支存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（   ）

8. 已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（   ）

二、填空题

9. 已知，是虚数单位，若复数，则______.

10. 设则二项式展开式中含项的系数是______.

11. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________

12. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与圆相切，则实数______.

13. 若正实数，满足，则的最大值为______.

14. 在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.

三、解答题

15. 已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．

16. 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个．

(Ⅰ)现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球，重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，求：

①最多取两次就结束的概率；

②整个过程中恰好取到2个白球的概率；

(Ⅱ)若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，则设取球的次数为随机变量求的分布列和数学期望,

17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．



（1）求证：面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.

18. 已知数列满足.

（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）记，求数列的前项和.

19. 已知是圆上的一个动点，过点作两条直线，它们与椭圆都只有一个公共点，且分别交圆于点.



（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点，都有成立；

②求面积的取值范围.

20. 已知函数

(Ⅰ)求函数的图像在点处的切线方程.

(Ⅱ)若且对任意恒成立，求的最大值；

(Ⅲ)当时，证明：

天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题