第3讲　等比数列及其前n项和

基础知识整合

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1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第c3c733703797ee1d440b23b3e45bac93.png2项起，每一项与它的前一项的比等于587b6ab38b9d6a47aedeb62497fa2c96.png同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的fa0d0db45329e72226b7d9ab1c71f184.png公比，通常用字母q表示，定义的表达式为63eb500f297baecb28e603d7c45ffcf9.png151268e132894581e43333897876c0e6.png＝q.

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么e5b9d863253b08dcf7df72fd984f3227.pngG叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒bcb6ec9482a735faa1de053ee5402e82.pngG2＝ab(ab≠0)．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a5d304572ab8da78b165de8ad07554ca.pnga1qn－1.

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等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aa22da00d38bc6463d1aaf317e2cf53a0.png.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，7864ab8621432599dbebe9a85ce5cea2.png，{a7faeda9f669063677da171c9133dedcf.png}，{an·bn}，d23984c7b65af749f3f1044b9014a7a0.png(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

(6)等比数列{an}满足f68297040d5c2ca928aa3d77e1f34aa4.png或f2449316fce66c71476eb4ac585f07bb.png时，{an}是递增数列；满足d9a61e3dbdee361f76c63abed1e76f87.png或6b4c710b2bc0933a4cc2c4dc6367db89.png时，{an}是递减数列．

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1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝(　　)

A．12 B．18

C．24 D．36

答案　B

解析　由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.

2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为(　　)

A．5 B．10

C．15 D．20

答案　A

解析　根据等比数列的性质，得a2a4＝a9fce386e066c5b373633660fe387a4cd.png，a4a6＝a4bfed1d6a4a0a9d0e0e9a144efae5f6f.png，

∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a9fce386e066c5b373633660fe387a4cd.png＋2a3a5＋a4bfed1d6a4a0a9d0e0e9a144efae5f6f.png＝(a3＋a5)2.

而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，

∵an>0，∴a3＋a5＝5.

3．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则f32ceafc527ccf721d5270d63ed02780.png的值为(　　)

A.fbf4d06eea06ec4970a8d8a2967ba24b.png B.d1d1b4c9b7dc542bb4b0208e932fac63.png

C.59277bfaba258555f7c1c2ee38383247.png D.94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.png

答案　A

解析　S4＝0399fb80f889f12846bd675d7c11a024.png＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，∴fe8bb463d60bc00b8fdf3ff11c89aca8.png＝fbf4d06eea06ec4970a8d8a2967ba24b.png.故选A.

4．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)

A．2 B．4

C．8 D．16

答案　B

解析　由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1.两式相除得，86e019113fe631625e85691fd6d12d46.png＝358837de1120e504b98f79bf274fcb90.png＝16，∴q2＝16.∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.

5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)

A．31 B．36

C．42 D．48

答案　A

解析　由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由e80448e404b831a0305afd0b49ebad1b.png且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以229a6fb2febe0fbc3a397ff648210cf9.png解得0f728d3cefb198242ad35e34495ee9af.png所以S5＝6686e943808a1ed23215312c1bfa2b3d.png＝31.故选A.

6．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7＝(　　)

A．16 B．32

C．64 D．128

答案　C

解析　由题意得Sn＋2＋Sn＋1＝2Sn，得an＋2＋an＋1＋an＋1＝0，即an＋2＝－2an＋1，∴{an}从第二项起是公比为－2的等比数列，∴a7＝a2q5＝64.故选C.

核心考向突破

考向一　等比数列的基本运算

例1　(1)(2019·汕头模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3a1＋a2，则bcb3fad2765cf7329a5429203e8b7902.png＝(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

答案　B

解析　设等比数列的公比为q，由题意a1＋a2＋a3＝3a1＋a2得a3＝2a1(a1≠0)，∴q2＝78afc540fb9b373fa03124c0643122c4.png＝2，∴79b85296e17896d34be9d4c5a59c8f4c.png＝b5253fcc01eadcacf5d49c8811f02999.png＝1＋q2＝3.故选B.

(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

①求{an}的通项公式；

②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

解　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

②若an＝(－2)n－1，则Sn＝2d5f3111c75e21567d4a9ee40bfcf8ae.png.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

触类旁通

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．

即时训练　1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2018＝3S2017＋2018，a2017＝3S2016＋2018，则公比q等于(　　)

A．3 B．7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png

C．4 D．70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

答案　C

解析　由a2018＝3S2017＋2018，a2017＝3S2016＋2018，得a2017q－3S2017＝2018，a2017－3S2016＝2018，∴a2017q－3S2017＝a2017－3S2016，∴a2017(q－1)＝3(S2017－S2016)＝3a2017，∴q＝4.故选C.

2．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，则数列{an}的前5项和S5＝(　　)

A．81 B．90

C．100 D．121

答案　D

解析　∵等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，

∴公比q＝6f7ea0f0a49650005ce7478ce6f0dd11.png＝ac61e347ba180c57781030ca21969cb9.png＝3，∴a1＋9a1＝10，解得a1＝1，∴数列{an}的前5项和S5＝911200bad6cbfb4abc67626763f7ce4f.png＝121.故选D.

3．(2019·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.

答案　128

解析　∵a2·a4＝a9fce386e066c5b373633660fe387a4cd.png＝16，∴a3＝4(负值舍去)，

∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝822eb9bd4d4ff2286c715e31cea1feed.png＝2db9cc974c79cebbb12af16fe1090c0d.png＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－6a11f8b4d487a93dd136b0ea19d8afa2.png或q＝2，∵an>0，∴q＝－fdde218847b3a942f8f33b4e86ef3854.png舍去，∴q＝2，∴a1＝1，

∴a8＝27＝128.

考向二　等比数列的性质word/media/image2.gif

角度d90fbd3b3a16fce408c9f356029f00f6.png　　等比数列项的性质

例2　(1)(2019·四川绵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a80ef4de7003b65653f9b8f6041fdd192.png＝4a3a7，则a5＝(　　)

A.b1d6892b74104ce6241a2486e5877b35.png B.bc763c40c1afc46fbe981d117a65141c.png

C．20 D.40

答案　B

解析　设等比数列的公比为q.由a16a448ff03551b36aa630e85e42fae4b.png＝4a3a7，得a80ef4de7003b65653f9b8f6041fdd192.png＝4a32bb4eb2bb22c4391fd7af29fdb8e891.png，所以q2＝2ac26dd17811b85c63e4facfac0b3361.png2＝2fdcbffb8cb91bb9b7ad748b2469512f.png，解得q＝±df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.又因为数列的各项均为正数，所以q＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.又因为a1＋2a2＝4，所以a1＋2a1q＝a1＋2a1×fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.png＝4，解得a1＝2，所以a5＝a1q4＝2×3d66fcde773be03ed39208f75ee658a4.png4＝c5298cf29032739cfef7dc1560e30444.png.故选B.

(2)在等比数列{an}中，公比a1＋am＝17，a2am－1＝16，且前m项和Sm＝31，则项数m＝________.

答案　5

解析　由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又a1＋am＝17，q>1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝ea0463b5d0bae22b880dc9994ca1fb0b.png＝09004754e2950a39698236aa48d6869b.png＝39a9b62ae5bda1f59a049690a7863b26.png＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16.所以m＝5.

触类旁通

在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q m，n，p，q∈N* ，则有aman＝apaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.

即时训练　4.(2019·福建三明模拟)已知数列{an}是各项均为正值的等比数列，且a4a12＋a3a5＝15，a4a8＝5，则a4＋a8＝(　　)

A．15 B.a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png

C．5 D．25

答案　C

解析　∵a4a12＋a3a5＝15，∴a80ef4de7003b65653f9b8f6041fdd192.png＋a388a0485c12c10c8daf9c8cad0201f5f.png＝15，又a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a6ac47e3de1ccf1188b0acad6a7f5942f.png＋a388a0485c12c10c8daf9c8cad0201f5f.png＋2a4a8＝25，又a4＋a8>0，∴a4＋a8＝5.故选C.

5．(2019·江西联考)在等比数列{an}中，若a2a5＝－0ce76ac2a0780b61166181ad16b7ba83.png，a2＋a3＋a4＋a5＝7daa7fe6700277e4e695bfce6a705a82.png，则9f0ac4261fe13ca4f9b01fb94b8207e7.png＋0e330100f656ef939f57a82eaa9f226f.png＋e45f7d8eedeff5f7ea21a48b2ef02233.png＋1f62055a4516fd338c3bd6f67dfc62ea.png＝(　　)

A．1 B．－265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png

C．－8b9de384b0dbf2e69afd01814f2a7191.png D．b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png

答案　C

解析　因为数列{an}是等比数列，a2a5＝－0ce76ac2a0780b61166181ad16b7ba83.png＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝7daa7fe6700277e4e695bfce6a705a82.png，所以9f0ac4261fe13ca4f9b01fb94b8207e7.png＋0e330100f656ef939f57a82eaa9f226f.png＋e45f7d8eedeff5f7ea21a48b2ef02233.png＋1f62055a4516fd338c3bd6f67dfc62ea.png＝784bd0c3f6e0f444936709356bc51be7.png＋8d39e7330c65e8ca2e4d98bbafefd9d1.png＝48789df5eb91ee332b885e1e3a6dd5e3.png＝－8b9de384b0dbf2e69afd01814f2a7191.png.故选C.

角度673e862e5423db6c0752f4354931b57e.png　　等比数列和的性质

例3　(1)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝(　　)

A．150 B．－200

C．150或－200 D．400或－50

答案　A

解析　解法一：由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A.

解法二：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，则14906bd1f954351077fe929d9c7a555d.png两式相除得1＋q3＋q6＝7，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A.

(2)已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85eecb7b1ea0e436b6eca7c9584c314a49.png，所有偶数项之和为170df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．

答案　585

解析　设公比为q，由e9f283884c6f15c8f40004b9751c522c.png得c43c4b9ff359911488fe192ec51ebec4.png∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2(1＋q3)(1＋q6)＝585.

触类旁通

1 等比数列前n项和的性质主要是若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列.

(2)注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝a8a1f5cc51dbd2332ed5e260b3a0213d.png＝113c3e8d62af952a5167a3bddfc53650.png－113c3e8d62af952a5167a3bddfc53650.png·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)．

3 利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度.解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.

即时训练　6.(2019·云南玉溪模拟)等比数列{an}中，公比q＝2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝11，则数列{an}的前99项的和S99＝(　　)

A．99 B．88

C．77 D．66

答案　C

解析　解法一：由等比数列性质知a1，a4，a7，…，a97是等比数列且其公比为q3＝8，∴a320df51a9ef4007adefc456ce59458d.png＝11，

∴a1(1－299)＝－77，∴S99＝231599fc29b561038681c6e4d31485b8.png＝77.故选C.

解法二：令S0＝a1＋a4＋a7＋…＋a97＝11，S′＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，S″＝a3＋a6＋a9＋…＋a99.由数列{an}为等比数列，q＝2易知S0，S′，S″成等比数列且公比为2，则S′＝2S0＝22，S″＝2S′＝44，所以S99＝S0＋S′＋S″＝11＋22＋44＝77.故选C.

7．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)

A．80 B．30

C．26 D．16

答案　B

解析　由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．

设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.

考向三　等比数列的判定与证明

例4　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝2a7098501e5e8c9cf309542bea912f9d.png.

①求b1, b2, b3；

②判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

③求{an}的通项公式．

解　①由条件可得an＋1＝f88f900fa5c492e7818cec8aa7c51106.pngan.

将n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.

将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

②{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得076cd736ba5e54866739a26387e79e6d.png＝4858be0e1e87a75f346c34b115ab2822.png，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

③由②可得44ffbd3b0c8611f5d3f858fc06b5e6ac.png＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

(2)(2019·安徽江南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

①证明：{Sn－n＋2}为等比数列；

②求数列{Sn}的前n项和Tn.

解　①证明：当n＝1时，a1＝S1，S1－2a1＝1－4，解得a1＝3.

由Sn－2an＝n－4可得Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．

因为S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．

②由①知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，

于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝5e3e186242f50c2d26870ba167c24305.png＋53cd8785b4890f2d947a5e892c429772.png－2n＝889fbf2875dc46a4099dfe818a616859.png.

触类旁通

判定一个数列为等比数列的常用方法

(1)定义法：若151268e132894581e43333897876c0e6.png＝q(q是常数)，则数列{an}是等比数列．

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即时训练　8.(2019·柳州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2n(n∈N*)．

(1)证明：{an＋2}是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列b8713ffb67a36ee9135273fcfecd11c9.png的前n项和，若Tn<a对任意正整数n都成立，求a的取值范围．

解　(1)证明：因为Sn＝2an－2n(n∈N*)　①，

所以a1＝S1＝2a1－2，

得a1＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)　②.

由①②两式相减得an＝2an－1＋2，变形得an＋2＝2(an－1＋2)．

又因为a1＋2＝4，所以{an＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝4×2n－1，所以an＝4×2n－1－2＝2n＋1－2(n≥2)．

又a1＝2也符合上述表达式，所以an＝2n＋1－2(n∈N*)．

(2)因为bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，

da55e7294af1491ed5480b648cd16f1d.png＝8f73dc897c9a41cee4666947b72aa786.png＝9ba4759a23b7aa27b97afa34348bca77.png－c0eb032b7f7a53ab99acbf7620e599c3.png，

所以Tn＝43fc68e92b5e589571c753faa86e6dc7.png＋6513efcebe2e09bd551a0474b4a91096.png＋…＋b59996d39c9679642a52ecaf6db1fef3.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png－c0eb032b7f7a53ab99acbf7620e599c3.png<df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，依题意得a≥df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，即a的取值范围是7d43df58cea4d784976e3f7c9ad47180.png.

2020版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和教案（理）（含解析）新人教A版