专题限时集训(四)A

[第4讲　导数在研究函数性质中的应用及定积分]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．函数y＝x·ex的图象在点(1，e)处的切线方程为(　　)

A．y＝ex

B．y＝x－1＋e

C．y＝－2ex＋3e

D．y＝2ex－e

2．已知函数f(x)的图象如图4－1所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

图4－1

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

3．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为(　　)

A. B.

C. D.

4．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为(　　)

A．－2 B．2

C．－ D.

1．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A．－9 B．－3

C．9 D．15

2．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)

A．－2 B．－1 C．1 D．2

3．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为(　　)

A．x－y＋1＝0

B．x＋y－1＝0

C．cosx·x＋y－1＝0

D．ex·x＋cosx·y＋1＝0

4．抛物线x2＝2y和直线y＝x＋4所围成的封闭图形的面积是(　　)

A．16 B．18 C．20 D．22

5．已知f(x)＝x3＋ax2－2x是奇函数，则其图象在点(1，f(1))处的切线方程为________．

6. dx＝________.

7.已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．

(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；

(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．

8．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋2)ex(x，a∈R)．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数y＝f(x)为单调函数，求实数a的取值范围；

(3)当a＝－时，求函数f(x)的极小值．

专题限时集训(四)B

[第4讲　导数在研究函数性质中的应用及定积分]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为(　　)

A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0

2．已知直线y＝x＋2与函数y＝ln(ex＋a)的图象相切，e为自然对数的底数，则a为(　　)

A. B．－ C．2e D．－2e

3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)

A．2 B．3 C．6 D．9

4．如图4－2，设T是直线x＝－1，x＝2与函数y＝x2的图象在x轴上方围成的直角梯形区域，S是在T上函数y＝x2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分)．向T中随机投一点，则该点落入S中的概率为(　　)

图4－2

A. B. C. D.

1．∫ 0(x－sinx)dx等于(　　)

A.－1 B.－1

C. D.＋1

2．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图4－3所示，则x＋x等于(　　)

图4－3

A. B.

C. D.

3．函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的范围是(　　)

A. B.

C．(－∞，0] D.

4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

5．已知实数a为7的展开式中x2的系数，则∫dx＝________.

6．设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点对称，则f′(1)＋f′(2)＋f′(22)＋…＋f′(2100)＝________.

7.已知函数f(x)＝ex(x>0)，其中e为自然对数的底数．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的面积；

(2)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值．

8．已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)求证：f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a＝2；

(3)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

专题限时集训(四)A

【基础演练】

1．D　【解析】 因为y′＝ex＋xex，所以在点x＝1处函数的导数值是y′|x＝1＝e＋e＝2e，所以在点(1，e)处函数图象的切线方程是y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.

2．B　【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在[2,3]上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率．所以0<f′(3)< <f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．

3．A　【解析】f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|＋lnx|＝＋1＝.

4．D　【解析】 由已知得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1⇒f′(1)＝1－2f′(1)＋1⇒f′(1)＝.

【提升训练】

1．C　【解析】 因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.

2．D　【解析】 f′(x)＝sinx＋xcosx，f′＝1，即曲线f(x)＝xsinx＋1在点x＝处的切线的斜率是1，而直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以×1＝－1，解得a＝2.

3．B　【解析】 由于f′(x)＝，所以f′(0)＝－1，又f(0)＝1，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.

4．B　【解析】 根据x2＝2y以及y＝x＋4，得x2－2x－8＝0，解得x＝－2、4，故所求的面积S＝－2dx＝＝24－＋6－＝18.

5．x－y－2＝0　【解析】 函数f(x)是奇函数可得a＝0，此时f(x)＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2，故所求切线的斜率是1，切点坐标是(1，－1)，切线方程是y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.

6．ln　【解析】dx＝ln|x||＝ln3－ln2＝ln.

7．【解答】 (1)当a＝2时，f(x)＝x2－2lnx，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝>0，

所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

(2)f′(x)＝(x>0)，

当x∈[1，e]，2x2－a∈[2－a,2e2－a]．

若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，

所以f(x)在[1，e]上是增函数，

又f(1)＝1，故函数f(x)在[1，e]上的最小值为1.

若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，

所以f(x)在[1，e]上是减函数，

又f(e)＝e2－a，所以f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.

若2e2，则：

当1≤x<时，f′(x)<0，此时f(x)是减函数；

当≤e时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数．

又f＝－ln，

所以f(x)在[1，e]上的最小值为－ln.

综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；

当2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为－ln；

当a≥2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.

8．【解答】 f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋a＋2]

(1)当a＝0时，f(x)＝(x2＋2)ex，f′(x)＝ex(x2＋2x＋2)，

f(1)＝3e，f′(1)＝5e，

∴函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－3e＝5e(x－1)，即5ex－y－2e＝0.

(2)f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋a＋2]，

考虑到ex>0恒成立且x2系数为正，

∴f(x)在R上单调等价于x2＋(a＋2)x＋a＋2≥0恒成立．

∴(a＋2)2－4(a＋2)≤0，

∴－2≤a≤2，即a的取值范围是[－2,2]，

(3)当a＝－时，f(x)＝ex，

f′(x)＝ex，

令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，

令f′(x)>0，得x<－或x>1，

令f′(x)<0，得－<x<1，

x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，函数f(x)的极小值为f(1)＝e.

专题限时集训(四)B

【基础演练】

1．A　【解析】 y＝＝1＋，则y′＝－在x＝3处的导数值为－，故所求的直线的斜率是2，直线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.

2．C　【解析】 对函数y＝ln(ex＋a)求导得y′＝，令y′＝1，解得x＝，此时代入函数y＝ln(ex＋a)得y＝1，即切点坐标是，代入切线方程得1＝＋2，解得a＝2e.

3．D　【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b，

∵f(x)在x＝1处有极值，

∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6，

∵a>0，b>0，

∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.

4．B　【解析】 根据几何概型的意义，这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯形面积之比．根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为－1x2dx＝x3＝3.直角梯形区域的面积是×3＝，故所求的概率是＝.

【提升训练】

1．B　【解析】 ∫0(x－sinx)dx＝0＝－1.

2．C　【解析】 从函数图象上可知x1，x2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b，c，d，根据函数图象得d＝0，且f(－1)＝－1＋b－c＝0，f(2)＝8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，故f′(x)＝3x2－2x－2.根据韦达定理x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.

3．D　【解析】 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在[0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln2.

4．C　【解析】 根据三次函数的特点，函数f(x)在(－1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f′(x)＝3x2＋2ax＋b在区间(－1,0)上小于或者等于零恒成立，即3－2a＋b≤0且b≤0，把点(a，b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如下图．根据a2＋b2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a＋b＝0的距离的平方．

5．e7－e－ln7　【解析】 ∵Tr＋1＝C·7－r·(－1)r2rx－r

＝(－1)r22r－7Cx，

∴当r＝1时，T2＝－x2，∴x2的系数为－.

∴a＝－.

∴∫

＝e7－e－ln7.

6．0　【解析】 根据函数图象关于对称，可得f(1－x)＋f(x)＝2，由于函数是偶函数可得f(x－1)＋f(x)＝2，进而得f(x)＋f(x＋1)＝2，由此得f(x＋1)＝f(x－1)，进而f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数，其中在x＝0的导数等于零，根据周期性，在x＝2,22，…，2100处的导数都等于零．再根据函数可导和f(x－1)＋f(x)＝2，可得f′(x－1)＋f′(x)＝0，令x＝1可得f′(1)＝0.故所求的结果是0.

7．【解答】 (1)f′(x)＝ex，

当a＝2时，f′(x)＝ex，

f′(1)＝×e1＝e，f(1)＝－e，

所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝ex－2e，

切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，－2e)，

所以，所求面积为×2×|－2e|＝2e.

(2)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，

所以，方程x2－ax＋a＝0在(0，＋∞)内存在两个不等实根，

则

所以a>4.

设x1，x2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点，

则x1＋x2＝a，x1x2＝a，

因为f(x1)f(x2)＝e5，

所以， ex1×ex2＝e5，

即ex1＋x2＝e5，

化简得ea＝e5，

解得a＝5，此时f(x)有两个极值点，

所以a＝5.

8．【解答】 (1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)证明：充分性：

当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋1，

此时f′(x)＝－2x＝(x>0)，

当0时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，

f(x)≤f(1)＝0；

必要性：f′(x)＝－2x＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，而f(1)＝0，

故0时，f(x)>0，与f(x)≤0恒成立矛盾，

所以a≤0不成立，

当a>0时，f′(x)＝ (x>0)，

当0时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0，

所以f(x)在上是增函数，

在上是减函数，

f(x)≤f＝ln－＋1；

因为f(1)＝0，又当a≠2时，≠1，f>f(1)＝0与f≤0不符．

所以a＝2.

综上，f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是a＝2；

(3)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设01≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是.

2012高考二轮复习专题限时集训：第4讲导数在研究函数性质中的应用及定积分