第二章　平面向量

2.4　平面向量的数量积

2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学习目标

1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.

2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.

3.能用所学知识解决有关综合问题.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题1:(1)设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是　　　　,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为　　　　; 

(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b=　　　　. 

二、信息交流,揭示规律

问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标来表示a·b呢?

问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?

2.平面内两点间的距离公式

(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=　　　　　　　　. 

(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|=　　　　　　　　　　　　(平面内两点间的距离公式). 

3.向量垂直的判定

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔　　　　　　　　　　　. 

4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)

cosθ==　　　　　　　　　　　. 

三、运用规律,解决问题

【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.

【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.

【例3】在Rt△OAB中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.

四、变式演练,深化提高

练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足x·a=9与x·b=-4的向量x.

五、反思小结,观点提炼

本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?

布置作业

P108习题2.4A组第9,10,11题.

参考答案

一、设计问题,创设情境

问题1:(1)(3,2)　a=i-2j　(2)1

二、信息交流,揭示规律

问题2:设向量i,j分别为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,

∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),

x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2

=x1x2+y1y2,

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

从而可得

1.a·b=x1x2+y1y2.

问题3:2.(1)|a|=

(2)

(3)x1x2+y1y2=0

4. .

三、运用规律,解决问题

【例1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,

|a|==2,

|b|==2,

cosθ==-,

因为0≤θ≤π,所以θ=.

【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:

因为=(1,1),=(-3,3),

=1×(-3)+1×3=0,

所以,

所以△ABC是直角三角形.

【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则,

所以2+3k=0可得 k=-;

(2)若∠OAB=90°,则,

而=(-2,-3),=(-1,k-3),

所以2-3(k-3)=0,从而 k=;

(3)若∠OBA=90°,则,

而=(-1,-k),=(1,3-k),

因为-1-k(3-k)=0,所以k= .

四、变式演练,深化提高

练习:解:设x=(t,s),

由

所以x=(2,-3).

五、反思小结,观点提炼

1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;

2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;

3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;

4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.

2015秋高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案设计 新人教A版必修4