1. 已知点,点P是圆(C为圆心）上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.

(1)求点E的轨迹方程;

(2)若直线与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.

解:(1)根据题意知,,,

的轨迹是以C、A为焦点的椭圆,其轨迹方程为:   

(2)设,,则将直线与椭圆的方程联立得:,

消去y,得:,

, ,

因为O在以PQ为直径的圆的内部,故,即

而,

由 

得:,,且满足①式M的取值范围是

已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,记为F,设点M是两曲线在第一象限内的公共点,且,则M点的横坐标是 ,

．

答案

解:抛物线的焦点,准线.

设,由,

,计算得出.

椭圆与抛物线的交点M在第一象限内,

.

.代入椭圆方程可得,又,,

联立计算得出,,

即有.

因此，本题正确答案是:,.;

已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且。

1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于，两点，设，若，求面积的取值范围。

由抛物线定义，得点到直线的距离为，所以点横坐标为，又点在抛物线上，所以，。由椭圆定义得：，所以，。所以，所以椭圆的方程为。      ......6分

（2）根据题意，直线的斜率，设直线的方程为：，联立椭圆与直线方程得：，设，，所以恒成立，......①，......②，又因为，所以......③，      ......8分

联立①②③消，得：，因为，所以，解得：，      ......10分

所以。令，则，所以。    ......13分

如图,已知曲线 ,曲线 的左右焦点是 ,且 就是 的焦点,点 是 与 的在第一象限内的公共点且 ,过 的直线 分别与曲线 、 交于点 和 

1.求点 的坐标及 的方程;

2.若 与 面积分别是 、 ,求 的取值范围

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