2013-2014年物理奥林匹克竞赛国家集训队 热学练习题

姓名： 所在中学： 成绩：

注意：必须写出完整步骤，否则得不到步骤分。答卷请勿涂改，无法看清的地方一律不给分。

1、（12分）　一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？

2、（12分）一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为21654e5911f2e8da6d01d558095e34f8.png的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 77ba8b5890d6b78574f77b26713dbc1b.png？

3、（12分）若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为H的均匀气体球壳，试证：这层球壳厚度H就是大气标高。

4、（12分） 标准状态下氦气的粘度为b38688ce68d3b2b578acf42d7c5de326.png，氩气的粘度为96500c8f376959cd490d293eecce5bf7.png，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面51fa021a8020994a6c268c7651cbf6d8.png和氩原子与氩原子的碰撞截面0fc2b5c6187dee6f7da1d11dd704282e.png之比等于多少？（2）氦的导热系数78c8022ce061c423e1be6a126437aa54.png与氩的导热系数61c0a7e422117ba7b4aadd4b3bb2276f.png之比等于多少？（3）氦的扩散系数39f35a7a61cdf35fef8c6d436b6aca40.png与氩的扩散系数70022e7135cdb080d170343867a9e1e9.png之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度f99c028c400c072ceae69e1a59f61bd1.png和氩气的粘度769fd38c3f287183db9842f2f652aee0.png。用这些数据近似的估算碰撞截面9b248995b1dbf687bd2393ed2ef21f4e.png。

5、（12分） 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm2,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90℃降为80℃，取环境温度为20℃。

6、 (12分)加热室A（10004610c0e8aa9fc3aabd19d6b6cb42d3b6.png）中蒸发出来的铍原子（相对原子质量为9）经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为5b8b5f8e3ea4bf3c2417c80fd3c583d9.png，忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为）3659da438ddd3ccf5f0313667316cf13.png，因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。

7、 (12分) 声波可在气体管中形成驻波。现用1000Hz的声波在碘蒸气管中做实验，在温度为400K时，测得管内形成的驻波的相邻波节间距为6.77cm。试问：（1）声波的波速是多少？（2）管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分子？为什么？已知碘的相对原子质量为127，声波在气体中的传播速度满足d7b8143608e4eeb57dab7c31f340ca18.png关系，其中1af91fb19f8f622aa9ec8998986a6bf9.png为气体密度，af6efcb6b9a28e81052090fd8cc18d73.png为气体的绝热压缩系数90b35ef0332347997f9b398980aa4d99.png ， 下标“s”表示绝热过程。

8、(16分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成A、B两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B内各有1mol的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为p0,V0,T0.A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2p0,试问：（1）最后A,B两室内气体温度分别为多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？加热器传给A室气体多少热量？（4）A,B两室的总熵变是多少？

1、（12分）　一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？

〖分析〗：开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为100K以后,长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为100K以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用p=nkT公式。

〖解〗：因为管子是一端开口的，所以word/media/image21_1.png。显然，管子中气体的温度分布应该是

word/media/image22_1.png

（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑x~x+dx一段气体,它的分子数密度为n(x),设管子的横截面积为S,考虑到p=nkT,则这一小段中的气体分子数为

word/media/image23_1.png

管子中气体总分子数为

word/media/image24_1.png

利用（1）式可得

word/media/image25_1.png

管中气体最后的压强是p1（word/media/image26_1.png）,温度是T，.则

word/media/image27_1.png

由上面两式相等,最后可以计算出

word/media/image28_1.png

即：管中气体最后的压强为word/media/image29_1.png。

2、（12分）一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为21654e5911f2e8da6d01d558095e34f8.png的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 77ba8b5890d6b78574f77b26713dbc1b.png？

〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 1b004e48cd1f64e22d5c000cf0d7f047.png 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 1b004e48cd1f64e22d5c000cf0d7f047.png 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png 到 4049c18cd589d602feb5e4f95f5ec7e5.png 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png变化为 149e59e722f042fa9c0ef7e8a1523051.png, 其中 1aab3c3aefb40f201b84c9d3f55516d4.png 就是在 3017d911efceb27d1de6a92b70979795.png 时间内泻流流出去的分子数, 列出1aab3c3aefb40f201b84c9d3f55516d4.png 和 3017d911efceb27d1de6a92b70979795.png 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。

〖解〗： 在 3017d911efceb27d1de6a92b70979795.png 时间内在面积为 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png 的小孔中流出的分子数为

117326b6bbfce88e9efec2d21bc3cd0e.png

其中 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png, 并且在 0到 e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png 之间进行积分

31414a29a22b4898d65a45e91d632d19.png

93a0efaafa96121c4652ffdd581c43c4.png

现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

6c54db18ad8ec466013ca33d1edaa59c.png

71eab12341e0665c40a57ae92540206b.png

066d2eefb51a91f2e020163d91056896.png

即：经过100 s容器内原子数减为原来的 77ba8b5890d6b78574f77b26713dbc1b.png。.

3、（12分）若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为H的均匀气体球壳，试证：这层球壳厚度H就是大气标高。

〖分析〗： 在离地高为 fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png~feb19feb80058b6afe555db94513d0a7.png 的范围内的球壳体积为

c77e15f15a497863062e5f65dfc4d2cd.png （1）

[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]

当然, 我们也可以如下更清楚地求出：

5498cb82ad7da2e587cc1d696dfb4a17.png

忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有

b99011058241acbf115a3ac62e8990f0.png

〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分子数

a21a142db2693adbaccd53cc973ae6fc.png

66c62fdd7dd674198c597748d1ee08a2.png

令 68b0e1c005316993bfbb73b0e7b75914.png 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为f33e18b93e6449bc1159655023c38aa8.png，所有大气的总分子数为8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，则：

c71bbde6979efd16bb106514fa05079f.png

3b05f820f52df970944be929f5df711c.png 06f120c45d0c741fced6b225c062daa8.png （2）

现在来估计 39a6dfdb4ddc24cecdef2dbf366abf4a.png 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且799e0d16ed201798ade271ee75c659b9.png

90ca9113d54a9c28524b9e16bae0079e.png （3）

利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。

这时

5f0e9a4f0770e453f1e299f6e31fc9c5.png

其中 c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

4、（12分） 标准状态下氦气的粘度为b38688ce68d3b2b578acf42d7c5de326.png，氩气的粘度为96500c8f376959cd490d293eecce5bf7.png，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面51fa021a8020994a6c268c7651cbf6d8.png和氩原子与氩原子的碰撞截面0fc2b5c6187dee6f7da1d11dd704282e.png之比等于多少？（2）氦的导热系数78c8022ce061c423e1be6a126437aa54.png与氩的导热系数61c0a7e422117ba7b4aadd4b3bb2276f.png之比等于多少？（3）氦的扩散系数39f35a7a61cdf35fef8c6d436b6aca40.png与氩的扩散系数70022e7135cdb080d170343867a9e1e9.png之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度f99c028c400c072ceae69e1a59f61bd1.png和氩气的粘度769fd38c3f287183db9842f2f652aee0.png。用这些数据近似的估算碰撞截面9b248995b1dbf687bd2393ed2ef21f4e.png。

【解】（1）因为86170c20b70211196cabf4b93d2cec6e.png 则有

07d12066ab0f4c0ce4ddc9aef53d0e11.png

在温度相同情况下，原子和氦原子碰撞的碰撞截面51fa021a8020994a6c268c7651cbf6d8.png和氩原子与氩原子的碰撞截面0fc2b5c6187dee6f7da1d11dd704282e.png之比为

bcde87b0804db34a171545ff6f1acdb2.png

（2）因为fb8e2e864c2f0643bb7790e178df363d.png 所以

1578ad285a43b999741a8d731c6921b5.png

则有 fd5f6e8bcf31a7d2ac172b4f07f231f4.png

（3）应为adefcf5d3f9c81a76d7ae9cf3b1281e6.png 所以

befb0647e2f838aab2908e50c266fc13.png

而941e06d0012bf4a8a8f6e4c3f388e6a3.png 所以

978dd69bd49148c480fc13baacd3e9cd.png

（4）由（1）可以得到

a876255fb4f8f6b2f8100912bd6b0209.png

5、（12分） 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm2,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90℃降为80℃，取环境温度为20℃。

【解】可以假定热水瓶胆夹层内气体充满及其稀薄的气体热传导条件，单位时间内在单位面积上传递的热量为

4ce44c67ed07290ab48eb6bae2e91a18.png （1）

其中9e454c6aed2f755b2cb7f69208685f39.png，根式内的T'为降温过程中夹层内气体的平均温度

9bf8a733d881b1fcc8cefb6765d773b5.png （2）

而且有 3ba5df4d573e3bf6204812400fe746ab.png （3）

由于在dt时间内漏出的热量是由水的温度降低dT所释放的热量提供的，故

22ee8722789b8126da5df82c8365a7f0.png （4）

其中6242e542a4f066fa00620ddd396f90a0.png为水的比热容，将（1）（2）（3）代入（4）后积分有

6506337c2c7d2d0df1d587d201a39b04.png

【讨论】本题得到的结果与实际情况出入相当大。有这样的因素本题没有考虑：（1）即使在常温下，辐射传热仍然是比较重要的传热形式。在气体热传导及对流传热一再减小的情况下，辐射传热起了主导作用。日常用的热水瓶虽然在真空夹层内镀了银，但仍然在辐射传热。（2）瓶口的传热损失。（3）实际的热水瓶夹层中的真空度一般为133~13.3Pa的数量级，它要比word/media/image84_1.png大4~5个数量级，因而保持温度时间要缩短数个量级。（4）即使在word/media/image84_1.png的压强下，它仍然不满足平均自由程比夹层厚度大得多的条件。气体热传导并不与夹层气体压强严格成正比。

6、 (12分)加热室A（10004610c0e8aa9fc3aabd19d6b6cb42d3b6.png）中蒸发出来的铍原子（相对原子质量为9）经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为5b8b5f8e3ea4bf3c2417c80fd3c583d9.png，忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为）3659da438ddd3ccf5f0313667316cf13.png，因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。

【分析】这是泄流问题（它和气体分子碰壁数属于同一类问题），也是一个和分子束分布、自由程、气体压强等基本概念有关的综合性问题。

【解】（1）按照自由程分布，自由程分布在2dcbbabcad95c2d073fa2a3bccfcc469.png的概率为

0815ca40e7d634500c23c04912796dbc.png （1）

由题中可知原子束的自由程出现在a1f0a39fb30803abd435b2cb993ccaeb.png间的概率为1/e,即

1e191eb6ca520e84efaab959bd952fa1.png （2）

由（1）（2）可以求出铍原子束与真空室空气碰撞的平均自由程为3d8728a5f9deedf6d052369756b3546c.png

为了求出真空室压强，利用平均自由程公式

bbf39ea15fc79f5ac46d93e12c546efa.png （3）

由此得到 4cb74c6f2a08bffff8dec7af696e6b38.png

（2）铍原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得

665338b01bef96c136ce9fc56e9e0c3b.png

（3）铍原子进行1m所需平均时间

c4be9d998692aa0c23f139fdaea5ecf7.png

（4）铍原子束刚进入真空容器时，单位时间内透过单位截面积的平均分子数为ec22a8ac1f9c8f6926989fcbef5b5cf1.png，其中n0为该截面处铍原子束的粒子数密度，则碰到单位面积器壁上的铍原子数为 058130fbb502d489ee80ab960dd4f60f.png，因为从1000 高温容器中出来的铍原子束是与300K真空容器壁相碰撞，两者温度相差非常大，可假设原子束与器壁完全非弹性碰撞，撞击粒子全部粘附在器壁上，每个分子产生的动量改变3b61d7cbff6fc6164e052d953df9d6f5.png，所有这些分子撞击容器壁所产生的 压强为

9ec20da62a00afd6d3fd100330a33e36.png

7、 (12分) 声波可在气体管中形成驻波。现用1000Hz的声波在碘蒸气管中做实验，在温度为400K时，测得管内形成的驻波的相邻波节间距为6.77cm。试问：（1）声波的波速是多少？（2）管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分子？为什么？已知碘的相对原子质量为127，声波在气体中的传播速度满足d7b8143608e4eeb57dab7c31f340ca18.png关系，其中1af91fb19f8f622aa9ec8998986a6bf9.png为气体密度，af6efcb6b9a28e81052090fd8cc18d73.png为气体的绝热压缩系数90b35ef0332347997f9b398980aa4d99.png ， 下标“s”表示绝热过程。

【分析】虽然本题没有指出碘蒸气是什么气体，但是可以假定它是理想气体，否则无法解题。这是一个有关绝热过程、能量均分定理波动中的驻波的复合题。应该明确，声波在气体中的传播是满足绝热条件的，所以要利用绝热压缩系数来着手解题。

【解】绝热过程方程为 04bcbf3c0e0f8b8617b11efaa381e979.png

两边微分得到 f6b01761b5c000bd94eb94e6664d5f40.png

两边同时除以c9bc248ac4820dfca2e6762a23f66ea4.png，并且考虑到这是一个绝热过程，一下彪“s”表示

e856e80fbe3829ccc30cff58a9b29d5b.png

由本题对绝热压缩系数的定义知 0b7202f6bdc36c9a93e33d266cb4c8ba.png （1）

由理想气体物态方程e5abdc980f6ec955208ab9f5b148311c.png以及对密度的定义知道 e9b772e5c0beb28818026f5ef7469db6.png （2）

代入声速公式d7b8143608e4eeb57dab7c31f340ca18.png得到 7d9c11afda773abb47c86fddf30bf5f8.png （3）

所以 789a4dcdad65cbd36565ea911956c905.png （4）

我们知道驻波两相邻波节之间的距离为acea8cb59a7f279ffe24daa33aa954c3.png ，所以声波的波长为

5df6363a9c872d53b623a708dd969c6d.png （5）

现在声波的频率为6307ba6567928c8a61f90b656fb89733.png，则声速为

0de52a10700feb125fd8d4eecd2d1488.png （6）

先假定碘蒸气为单原子分子气体，即f32bd1f13a2d49ba110331fa9646428e.png ，又有T=400K，将（6）一起代入（4）得 43e123e62e3622d79ee848d1156007a5.png

这和单原子分子的87a68b8a3863051a60a3622ff2257198.png相差较大。

再假定碘蒸气为双原子分子气体，5f5dea4084a950d3e87c2f37e77ef543.png，得 1f3b64a4c9fec72957a55f4f89c9a19a.png

它和能量均分定理得到的结果符合得很好。说明碘蒸气是双原子分子气体。

8、(16分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成A、B两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B内各有1mol的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为p0,V0,T0.A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2p0,试问：（1）最后A,B两室内气体温度分别为多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？加热器传给A室气体多少热量？（4）A,B两室的总熵变是多少？

【分析】这是热力学第一定律和热力学第二定律相结合的题目，在通常的热力学第一定律习题中在附加求熵变，注意汽缸和活塞都是绝热的。A对B的影响是通过活塞的做功来实现的，而A,B的压强始终相等。A,B的总体积不变。

【解】（1）B经历的是准静态绝热过程。设B的末态温度和体积分别为TB，VB；A的末态温度和体积分别为TA，VA，双原子理想气体的49c6d259ba033d9380d7d6c3319580b4.png，则应该有

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所以B室的气体温度为

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另外，1ba316afbce4e7a790f8820e748ec7d1.png，可以得到

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而 9cbb33f63efa9b128136bdd87970e1d8.png

对A利用理想气体物态方程，得到A室气体温度为

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（2）汽缸和活塞都是绝热的，A室对B室气体做的功等于B室气体内能的增加（注意A室气体和B室气体都是1mol）

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（3）加热器传给A的热量等于A室气体和B室气体内能增量的和

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（4）按照理想气体熵变公式，可以知道

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其总熵变为 1034bc8a447c4d8f29ac47455340654b.png

2013-2014年物理奥林匹克竞赛国家集训队 热学练习题答案解析