2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合word/media/image1.gif，则word/media/image2.gif=

A．word/media/image3.gif B．word/media/image4.gif C．word/media/image5.gif D．word/media/image6.gif

2．设复数z满足word/media/image7.gif，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A．word/media/image8.gif B．word/media/image9.gif C．word/media/image10.gif D．word/media/image11.gif

3．已知word/media/image12.gif，则

A．word/media/image13.gif B．word/media/image14.gif C．word/media/image15.gif D．word/media/image16.gif

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是word/media/image17.gif（word/media/image17.gif≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是word/media/image17.gif．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm

5．函数f(x)=word/media/image19_1.png在word/media/image20.gif的图像大致为

A． B．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

word/media/image25_1.png

A．word/media/image26.gif B．word/media/image27.gif C．word/media/image28.gif D．word/media/image29.gif

7．已知非零向量a，b满足word/media/image30.gif，且word/media/image31.gifword/media/image32.gifb，则a与b的夹角为

A．word/media/image33.gif B．word/media/image34.gif C．word/media/image35.gif D．word/media/image36.gif

8．如图是求word/media/image37.gif的程序框图，图中空白框中应填入

word/media/image38_1.png

A．A=word/media/image39.gif B．A=word/media/image40.gif C．A=word/media/image41.gif D．A=word/media/image42.gif

9．记word/media/image43_1.png为等差数列word/media/image44.gif的前n项和．已知word/media/image45.gif，则

A．word/media/image46.gif B．word/media/image47.gif C．word/media/image48.gif D．word/media/image49.gif

10．已知椭圆C的焦点为word/media/image50.gif，过F2的直线与C交于A，B两点．若word/media/image51.gif，word/media/image52.gif，则C的方程为

A．word/media/image53.gif B．word/media/image54.gif C．word/media/image55.gif D．word/media/image56.gif

11．关于函数word/media/image57.gif有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（word/media/image58.gif，word/media/image59.gif）单调递增

③f(x)在word/media/image20.gif有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．word/media/image60.gif B．word/media/image61.gif C．word/media/image62.gif D．word/media/image63.gif

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线word/media/image64.gif在点word/media/image65.gif处的切线方程为____________．

14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若word/media/image66.gif，则S5=____________．

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

16．已知双曲线C：word/media/image67.gif的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若word/media/image68.gif，word/media/image69.gif，则C的离心率为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)

word/media/image70.gif的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设word/media/image71.gif．

（1）求A；

（2）若word/media/image72.gif，求sinC．

18．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

19．（12分）

已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为word/media/image74_1.png的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若word/media/image75_1.png，求|AB|．

20．（12分）

已知函数word/media/image76.gif，word/media/image77.gif为word/media/image78.gif的导数．证明：

（1）word/media/image77.gif在区间word/media/image79.gif存在唯一极大值点；

（2）word/media/image78.gif有且仅有2个零点．

21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得word/media/image80.gif分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得word/media/image80.gif分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求word/media/image81.gif的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，word/media/image82.gif表示“甲药的累计得分为word/media/image83.gif时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则word/media/image84.gif，word/media/image85.gif，word/media/image86.gif word/media/image87.gif，其中word/media/image88.gif，word/media/image89.gif，word/media/image90.gif．假设word/media/image91.gif，word/media/image92.gif．

(i)证明：word/media/image93.gif word/media/image94.gif为等比数列；

(ii)求word/media/image95.gif，并根据word/media/image95.gif的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为word/media/image96_1.png（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为word/media/image97_1.png．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）word/media/image98.gif；

（2）word/media/image99.gif．

理科数学•参考答案

一、选择题

1．C　2．C　3．B　4．B　5．D　6．A　7．B　8．A　9．A　10．B　11．C　12．D　

二、填空题

13．y=3x 14．word/media/image100.gif 15．0.18 16．2

三、解答题

17．解：（1）由已知得word/media/image101.gif，故由正弦定理得word/media/image102.gif．

由余弦定理得word/media/image103.gif．

因为word/media/image104.gif，所以word/media/image105.gif．

（2）由（1）知word/media/image106.gif，由题设及正弦定理得word/media/image107.gif，

即word/media/image108.gif，可得word/media/image109.gif．

由于word/media/image110.gif，所以word/media/image111.gif，故

word/media/image112.gif

word/media/image113.gif

word/media/image114.gif．

18．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME=word/media/image115.gifB1C．

又因为N为A1D的中点，所以ND=word/media/image115.gifA1D．

由题设知A1B1word/media/image116.gifDC，可得B1Cword/media/image116.gifA1D，故MEword/media/image116.gifND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．

又MNword/media/image117.gif平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，word/media/image118.gif的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则

word/media/image120.gif，A1(2，0，4)，word/media/image121.gif，word/media/image122.gif，word/media/image123.gif，word/media/image124.gif，word/media/image125.gif，word/media/image126.gif．

设word/media/image127.gif为平面A1MA的法向量，则word/media/image128.gif，

所以word/media/image129.gif可取word/media/image130.gif．

设word/media/image131.gif为平面A1MN的法向量，则word/media/image132.gif

所以word/media/image133.gif可取word/media/image134.gif．

于是word/media/image135.gif，

所以二面角word/media/image136.gif的正弦值为word/media/image137.gif．

19．解：设直线word/media/image138.gif．

（1）由题设得word/media/image139.gif，故word/media/image140.gif，由题设可得word/media/image141.gif．

由word/media/image142.gif，可得word/media/image143.gif，则word/media/image144.gif．

从而word/media/image145.gif，得word/media/image146.gif．

所以word/media/image147.gif的方程为word/media/image148.gif．

（2）由word/media/image149.gif可得word/media/image150.gif．

由word/media/image142.gif，可得word/media/image151.gif．

所以word/media/image152.gif．从而word/media/image153.gif，故word/media/image154.gif．

代入word/media/image155.gif的方程得word/media/image156.gif．

故word/media/image157.gif．

20．解：（1）设word/media/image158.gif，则word/media/image159.gif，word/media/image160.gif.

当word/media/image161.gif时，word/media/image162.gif单调递减，而word/media/image163.gif，可得word/media/image162.gif在word/media/image164.gif有唯一零点，

设为word/media/image165.gif.

则当word/media/image166.gif时，word/media/image167.gif；当word/media/image168.gif时，word/media/image169.gif.

所以word/media/image170.gif在word/media/image171.gif单调递增，在word/media/image172.gif单调递减，故word/media/image170.gif在word/media/image164.gif存在唯一极大值点即word/media/image173.gif在word/media/image164.gif存在唯一极大值点.

（2）word/media/image78.gif的定义域为word/media/image174.gif.

（i）当word/media/image175.gif时，由（1）知，word/media/image173.gif在word/media/image176.gif单调递增，而word/media/image177.gif，所以当word/media/image178.gif时，word/media/image179.gif，故word/media/image78.gif在word/media/image176.gif单调递减，又word/media/image180.gif，从而word/media/image181.gif是word/media/image78.gif在word/media/image182.gif的唯一零点.

（ii）当word/media/image183.gif时，由（1）知，word/media/image173.gif在word/media/image184.gif单调递增，在word/media/image172.gif单调递减，而word/media/image185.gif，word/media/image186.gif，所以存在word/media/image187.gif，使得word/media/image188.gif，且当word/media/image189.gif时，word/media/image190.gif；当word/media/image191.gif时，word/media/image179.gif.故word/media/image78.gif在word/media/image192.gif单调递增，在word/media/image193.gif单调递减.

又word/media/image194.gif，word/media/image195.gif，所以当word/media/image183.gif时，word/media/image196.gif.从而，word/media/image78.gif在word/media/image197.gif没有零点.

（iii）当word/media/image198.gif时，word/media/image179.gif，所以word/media/image78.gif在word/media/image199.gif单调递减.而word/media/image200.gif，word/media/image201.gif，所以word/media/image78.gif在word/media/image202.gif有唯一零点.

（iv）当word/media/image203.gif时，word/media/image204.gif，所以word/media/image78.gif<0，从而word/media/image78.gif在word/media/image205.gif没有零点.

综上，word/media/image78.gif有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为word/media/image206.gif.

word/media/image207.gif

所以word/media/image81.gif的分布列为

（2）（i）由（1）得word/media/image209.gif.

因此word/media/image210.gif，故word/media/image211.gif，即

word/media/image212.gif.

又因为word/media/image213.gif，所以word/media/image214.gif为公比为4，首项为word/media/image215.gif的等比数列．

（ii）由（i）可得

word/media/image216.gif.

由于word/media/image217.gif，故word/media/image218.gif，所以

word/media/image219.gif

word/media/image95.gif表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为word/media/image220.gif，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

22．解：（1）因为word/media/image221.gif，且word/media/image222.gif，所以C的直角坐标方程为word/media/image223.gif.

word/media/image147.gif的直角坐标方程为word/media/image224.gif.

（2）由（1）可设C的参数方程为word/media/image225.gif（word/media/image165.gif为参数，word/media/image226.gif）.

C上的点到word/media/image147.gif的距离为word/media/image227.gif.

当word/media/image228.gif时，word/media/image229.gif取得最小值7，故C上的点到word/media/image147.gif距离的最小值为word/media/image230.gif.

23．解：（1）因为word/media/image231.gif，又word/media/image232.gif，故有

word/media/image233.gif.

所以word/media/image98.gif.

（2）因为word/media/image234.gif为正数且word/media/image232.gif，故有

word/media/image235.gif

word/media/image236.gif

word/media/image237.gif

=24.

所以word/media/image99.gif.

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