1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且，则．

性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：

模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝；12321＝；1234321＝……，于是，我们归纳为1234…n…4321=，所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．

【答案】7777777

【例 2】 是 的平方．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

【解析】 ，，

原式．

【答案】7777777

【例 3】 已知自然数满足：除以得到一个完全平方数，则的最小值是 。

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第9题

【解析】 （法1）先将！分解质因数：，由于除以得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是的约数，那么最大可以为，所以最小为。

（法2）除以得到一个完全平方数，的质因数分解式中、、的幂次是奇数，所以的最小值是。

【答案】

【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道，所以满足条件的最小正整数是．

【答案】1444

【例 5】 A是由2002个“4”组成的多位数，即，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】．如果A是某个自然数的平方，则也应是某个自然数的平方，

并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，

而不是的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方．

【巩固】 是由2008个“4”组成的多位数，即，是不是某个自然数的平方？如果是，写出；如果不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】不是．假设是某个自然数的平方，则也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而不是4的倍数，与假设矛盾．所以不是某个自然数的平方．

【例 6】 计算－=A×A，求A．

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 此题的显著特征是式子都含有，从而找出突破口.

－=－

=×（-1）

=×（）

=×（×3×3）=

所以，A＝.

【答案】

【例 7】 ①，求A为多少?

②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

注意到有可以看成，其中n＝2004；

寻找规律：当n=1时，有；

当n=2时，有；

当n=3时，有 ……

于是，类推有=

方法二：下面给出严格计算：

=++1；

则++1＝×（4×+8）+1

＝×［4×（+1）+8］+1

＝×［4×（）+12］+1

＝×36+12×+1

＝×36+2×（6×）+1

＝

② 由①知＝，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令12n+1=2005

解得n=167，所以=。所以存在这样的数，是

【答案】（1）,（2）=

模块二、平方数特征

（1） 平方数的尾数特征

【例 8】 下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】华杯赛

【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

【答案】不是

【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，5年级，第10题

【解析】 ，全排列共有个。

【答案】

【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题

【解析】 四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．

【答案】

【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N= 。

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题

【解析】 N=k×(1+k)/2=m^2，4位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n与2n+1 互质 ，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1， n×(2n-1)=N 同上，满足要求是1650找到25 所以 k=49， N=1225， m=35。

【答案】

（2） 奇数个约数——指数是偶数

【例 12】 在，，，，，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分

【解析】 45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936.

【答案】

【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．

由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

【答案】361,400,441,484,529,576,625

【例 14】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 先将1016分解质因数：，由于是一个完全平方数，所以至少为，故a最小为．

【答案】254

【巩固】 已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 ，要使是某个自然数的平方，必须使各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以为2可以使是完全平方数，故至少为2．

【答案】2

【例 15】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

由于，所以、、……、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．

【答案】31

【例 16】 已知自然数满足：除以得到一个完全平方数，则的最小值是 。

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级

【解析】 （法1）先将！分解质因数：，由于除以得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是的约数，那么最大可以为，所以最小为。

（法2）除以得到一个完全平方数，的质因数分解式中、、的幂次是奇数，所以的最小值是。

【答案】231

【例 17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．

设中间数是x,则它们的和为, 中间三数的和为．是平方数，设,则，是立方数，所以至少含有3和5的质因数各2个, 即至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

【答案】1123

【例 18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为，由于它乘以2以后是完全平方数，即是完全平方数，则、、都是2的倍数；

同理可知、、是3的倍数，、、是5的倍数．

所以，是3和5的倍数，且除以2余1；是2和5的倍数，且除以3余2；是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得、、的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为．

【答案】

【例 19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】华杯赛

【解析】 是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60．

【答案】60

【例 20】 考虑下列32个数：，，，……，，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ．

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 设这32个数的乘积为A．

，

所以，只要划去这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．

另外，由于，而16也是完全平方数，所以划去也满足题意．

【答案】或，答案不唯一

【例 21】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设该数为，那么它的平方就是，

因此．

由于，

⑴所以，，，可得，；

故该数的约数个数为个；

⑵或者，，可得，那么该数的约数个数为个．

所以这个数的约数个数为14个或者20个．

【答案】14个或者20个

【例 22】 有一个不等于0的自然数，它的是一个立方数，它的是一个平方数，则这个数最小是 ．

【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分

【解析】 设为（为不含质因子2，3的整数），则它的是是立方数，所以是3的倍数，是3的倍数，另外它的即是一个平方数，所以是偶数，是奇数，符合以上两个条件的的最小值为4，的最小值为，这个数最小为432．

【答案】432

（3） 平方数的整除特性

【例 23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第11题，10分

【解析】 ①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．

②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．

③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．

④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60。

【答案】

【例 24】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

完全平方数及应用