第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

A组　基础题组

1.(2017沈阳铁路实验中学期末)下列命题中的假命题是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0

C.∃x∈R,lg x<1 D.∃x∈R,tan x=2

2.(2016青岛模拟)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　)

A.任意一个有理数,它的平方是有理数

B.任意一个无理数,它的平方不是有理数

C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

3.(2015浙江,4,5分)命题“∀n∈N*, f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A.∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n

B.∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n

C.∃n0∈N*, f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D.∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0

4.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是(　　)

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

5.命题p:∃x∈N,x32,命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则(　　)

A.p假q真 B.p真q假

C.p假q假 D.p真q真

6.已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则(　　)

A.p∨q为真 B.p∧q为真

C.p真q假 D.p∨q为假

7.(2016菏泽模拟)已知命题p:∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题q:∀x∈,cos x<1,则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q B.p∨(¬q)

C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)

8.已知命题“∃x0∈R,+ax0-4a<0”为假命题,则实数a的取值范围为(　　)

A.[-16,0] B.(-16,0)

C.[-4,0] D.(-4,0)

9.已知命题p:∃x∈R,x2+1<2x;命题q:若mx2-mx+1>0恒成立,则0那么(　　)

A.“¬p”是假命题 B.q是真命题

C.“p∨q”为假命题 D.“p∧q”为真命题

10.(2016广东韶关调研)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;命题q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q B.(¬p)∧(¬q)

C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)

11.命题“∀x∈R,cos x≤1”的否定是　　　　　　　　. 

12.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　. 

13.命题“∃x0∈R,2-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　. 

14.已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:

①p∨q;②p∧q;③(¬p)∧(¬q);④(¬p)∨q.

其中为假命题的序号为　　　　. 

B组　提升题组

15.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:在锐角三角形ABC中,sin A>cos B,在命题①¬p;②p∨q;③(¬p)∧q;④p∨(¬q)中,真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

16.(2016广州综合测试(一))已知下列四个命题:

p1:若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;

p2:若f(x)=2x-2-x,则∀x∈R, f(-x)=-f(x);

p3:若f(x)=x+,则∃x0∈(0,+∞), f(x0)=1;

p4:在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.

其中真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

17.(2017大连五中月考)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要条件是(　　)

A.∃x0∈R, f(x0)>g(x0)

B.有无穷多个x∈R,使得f(x)>g(x)

C.∀x∈R, f(x)>g(x)+1

D.R中不存在x使得f(x)≤g(x)

18.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,f(x0)<0”的(　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

19.已知下列命题:

①∃x0∈,sin x0+cos x0≥;

②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1;

③∃x0∈R,+x0=-1;

④∀x∈,tan x>sin x.

其中真命题为　　　　.(填序号) 

答案全解全析

A组　基础题组

1.B　易知A正确;B项,当x=1时,(x-1)2=0,与(x-1)2>0矛盾;C项,当x=时,lg =-1<1;显然D正确.故选B.

2.B　特称命题的否定是全称命题.

3.D　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.

4.A　“非p或非q”是假命题,则p与q都是真命题,则“p且q”为真命题,“p或q”为真命题,从而①③正确.

5.A　∵x32,∴x2(x-1)<0,∴x<0或0故命题p为假命题,易知命题q为真命题,故选A.

6.D　由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由a2>b2可得|a|>|b|,但a不一定大于b,故命题q是假命题.所以p∨q为假.

7.C　当x0<0时,2x0>3x0,所以p为假,¬p为真,显然∀x∈,恒有cos x<1,所以q为真,所以(¬p)∧q为真.

8.A　由题意可知“∀x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,∴Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0,故选A.

9.C　x2+1<2x即x2-2x+1<0,也即(x-1)2<0,所以命题p为假;若mx2-mx+1>0恒成立,则m=0或则0≤m<4,所以命题q为假,故选C.

10.D　命题p是真命题,命题q是假命题,所以p∧q是假命题,(¬p)∧(¬q)是假命题,(¬p)∧q是假命题,p∧(¬q)是真命题,故选D.

11.答案　∃x∈R,cos x>1

解析　∵全称命题的否定是把全称量词改为存在量词,且对结论否定,∴原命题的否定为∃x∈R,cos x>1.

12.答案　1

解析　∵0≤x≤,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈,tan x≤m”是真命题,∴m≥1,∴实数m的最小值为1.

13.答案　[-2,2]

解析　因题中的命题为假命题,则它的否定“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,因此Δ=9a2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.

14.答案　②③④

解析　显然命题p为真命题,¬p为假命题.

∵f(x)=x2-x=-,

∴函数f(x)在区间上单调递增.

∴命题q为假命题,¬q为真命题.

∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题,(¬p)∨q为假命题.

B组　提升题组

15.C　因为函数y=sin 2x的最小正周期为T==π,所以命题p假;在锐角三角形ABC中,A+B>,则A>-B>0,又因为A<,由正弦函数y=sin x的单调性知sin A>sin,即sin A>cos B,所以命题q真,所以¬p真,¬q假,p∨q真,(¬p)∧q真,p∨(¬q)假.

16.B　本题考查命题的真假判断.如图所示,直线l和平面α内的无数条平行直线垂直,但是,l并不与α垂直,故p1是假命题;

由f(x)=2x-2-x,得f(-x)=2-x-2x=-f(x),故p2是真命题;令x+=1,得x=0,0∉(0,+∞),故p3是假命题;在△ABC中,若A>B,则必有a>b(a,b为角A,B的对边),结合正弦定理可知sin A>sin B,故p4是真命题.故选B.

17.D　A是f(x)>g(x)(x∈R)成立的必要不充分条件,所以A不符合;对于B,由于在区间(0,1)内也有无穷多个数,因此无穷性是说明不了任意性的,所以B也不符合;对于C,由∀x∈R, f(x)>g(x)+1可以推导出∀x∈R, f(x)>g(x),即充分性成立,但f(x)>g(x)成立时不一定有f(x)>g(x)+1,比如f(x)=x+0.5,g(x)=x,因此必要性不成立,所以C不符合;易知D符合,所以选D.

18.A　若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,f(x0)<0成立.∃x0∈R,f(x0)<0⇔Δ=b2-4c>0,当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,但不满足c<0,所以“c<0”是“∃x0∈R,f(x0)<0”的充分不必要条件,故选A.

19.答案　①②

解析　对于①,当x0=时,sin x0+cos x0=,所以此命题为真命题;对于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,所以此命题为真命题;对于③,∀x∈R,x2+x+1=+>0,所以此命题为假命题;对于④,当x∈时,tan x<0所以此命题为假命题.

2018届高三数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词