导数单元测试题

班级 姓名

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)

A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率等于(　　)

A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x

3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A．不存在　　　　　　　　　 B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直

4．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2

5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)

A．(0,0) B．(2,4) C．(，) D．(，)

6．已知函数f(x)＝，则f′(－3)＝(　　)

A．4 B. C．－ D．－

7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)

8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．f(2)，f(3)　　　 B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)

11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)

A．－10 B．－71 C．－15 D．－22

12． 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)

A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末

二、填空题

13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.

14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.

15．函数y＝xex的最小值为________．

16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积

是________m2.

三、解答题

17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝； (3)y＝lgx－ex.

18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：

(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．

19．已知函数f(x)＝x3－4x＋4.(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．

导数单元测试题答案

班级 姓名

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)

A．0.40 B．0.41

C．0.43 D．0.44

解析：选B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.

2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率等于(　　)

A．4 B．4＋2Δx

C．4＋2(Δx)2 D．4x

解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx，故选B.

3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A．不存在　　　　　　　　　 B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直

解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．

4．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝x－2 B．y＝x

C．y＝x＋2 D．y＝－x－2

解析：选A.f′(1)＝li＝li＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.

5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)

A．(0,0) B．(2,4)

C．(，) D．(，)

故选D.

6．已知函数f(x)＝，则f′(－3)＝(　　)

A．4 B.

C．－ D．－

解析：选D.∵f′(x)＝－，∴f′(－3)＝－.

7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.

9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．

10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．f(2)，f(3)　　　　　　　 B．f(3)，f(5)

C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)

解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，

∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，

故f(x)在[3,5]上单调递减，

故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．

11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)

A．－10 B．－71

C．－15 D．－22

解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．

由f′(x)＝0得x＝3，－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，

f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，

∴f(x)min＝k－76＝－71.

12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)

A．1秒末 B．0秒

C．4秒末 D．0,1,4秒末

解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.

二、填空题

13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.

答案：1

14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.

答案：2

15．函数y＝xex的最小值为________．

解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.

当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.

∴ymin＝f(－1)＝－.

答案：－

16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

解析：设矩形的长为x m，

则宽为＝(8－x) m(0<x<8)，

∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x

∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，

则x＝4，

又在(0,8)上只有一个极值点，

且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，

x∈(4,8)时，S(x)单调递减，

故S(x)max＝S(4)＝16.

答案：16

三、解答题

17．求下列函数的导数：

(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝；(3)y＝lgx－ex.

解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.

(2)y′＝＝.

(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.

18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：

(1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

解：(1)由得x2＋4＝10＋x，

即x2－x－6＝0，

∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.

∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．

(2)∵y＝x2＋4，

∴y′＝

＝＝(Δx＋2x)＝2x.

∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，

即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.

∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；

在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.

19．已知函数f(x)＝x3－4x＋4.

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．

解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，

得x1＝－2，x2＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－.

(2)f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，

f(4)＝×43－4×4＋4＝，

与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是，最小值是－.

导数测试题（含答案）