人行走的最佳速度模型

摘要

人类每天的日常生活都需要行走，看似简单的动作其中却蕴含着丰富的物理和数学知识。以何种方式、何种步速行走才最“省力”，做功最少，这是许多人都关心的。本题要求我们在极度理想的条件下，由浅及深地探究人要以多大的步速行走才能在单位时间内做功最少。在此之前，我们首先证明了问题一和问题二，求解出人在行走时身体重心的升高量和把腿看作绕腰部转动的均匀直杆并匀速行走时，单位时间所需动能。然后，我们综合运用物理学和数学知识，建立了人在匀速行走时做功最少的最佳速度模型，通过问题三和问题四的两种不同假设，给出了两种情况下的最佳步速。最后我们综合考虑现实实际，对模型的合理性和普适性进行了分析，并对模型的优缺点及改进方向进行了讨论。

关键词：匀速行走重力势能动能功能转换最优解

1 问题的重述

人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和，在匀速行走的情况下，人该以多大的速度行走才会使得自身做功最少。

为此，需要研究的主要内容如下：

1. 求解证明人在匀速行走时身体重心的升高量。

2. 将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动时，单位时间所需动能。

3. 求解当行走速度一定时，每秒行走几步速度最少，建立模型并分析题设答案的合理性。

4. 当腿部质量分布不均匀时，求证分析上述模型及其结果的合理性。

2 问题的分析

该模型主要运用优化问题最优解的分析方法，辅以物理学中的运动学、力学公式以及数学运算技巧，最终求解出理想结果。对于问题一，在已知腿长和步长的前提下，由简化图示分析可得双腿在贴合和分开时候的高度差，即人体重心的升高量；对于问题二，利用题设的理想化条件，通过物理学中转动惯量的相关知识求出转动动能；问题三和问题四的求解需要借助问题一和问题二的结果，即已知重心的升高量和单位时间所需动能，人行走时消耗的总能量即为势能与动能之和。

3 模型的假设与符号的约定

3.1 模型的假设与说明

1. 人行走时作的功W=两腿运动所需的动能+人体重心升高所需势能；

2. 人在行走时不考虑人体生物质能的消耗，只考虑物理能量的消耗；

3. 人在行走时步速是均匀的，排除自身疲劳程度、人与人之间身体素质差异、路面情况等外界干扰因素；

4. 在对问题二和问题三求解时，将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动；在对问题四求解时，将腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动；

3.2 符号的约定与说明

4 模型的建立与求解

4.1 问题一的求解

由简化图示可知，……①

……②

联立方程①、②可解得

所以，

4.2 问题二的求解

在问题二的题设背景下，我们得知，腿看作均匀直杆（即为刚体），行走看作腿绕腰部的转动。由物理学中的相关知识可得，刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。因此，本问题可抽象为物理学中的均匀直杆绕其一端端点转动问题。由此，不难得到以下各式：

腿的转动惯量：……③

角速度： …… ④

单位时间内所走步数：……⑤

物理学中转动动能与转动惯量和转动角速度之间的关系式：

单位时间内两腿运动所需动能：……⑥

将方程③④⑤代入⑥中，得到：

4.3 问题三的求解

该问题给出了人体的质量，首先我们可以求出目标函数并对其微分，经过简单的数学计算即可求出最优解。然后代入题目给出的条件数值并计算出结果。最后，我们将得到的结果与实际情况进行比较讨论。

由问题一的结果可得，单位时间内人体重心升高量所需势能为：

由问题二的结果可得，单位时间内行走所需的总功为：

假设行走速度v一定，若要求做工最小，将上式对n求微分即可得到：

将题目给出的条件数值， 代入上式得到：

联系现实实际我们可以明显得知，人在正常行走时每秒钟走5步是不可能的。因此，问题三的假设条件不符合现实情况，是不合理的。

4.4 问题四的求解

在该问题中我们假设腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。因此，动能计算公式需要改变为直线运动下的情况。

此时，单位时间内两腿行走的动能计算公式为：

则单位时间内行走所需的总功为：

按照问题三的方法，将上式对n求微分并代入条件数值，得到最终结果为：

联系实际我们得知，在正常情况下，人行走时每秒钟走3步是可行的。因此，问题四的假设条件是合理的。

5 模型的评价与分析

本模型的建立过程是以人行走时保持匀速不变为前提，并且只考虑了人在行走时消耗的物理能量而未考虑自身消耗的生物能量，即人在行走时做的总功只包含身体重心升高所需的势能和两腿运动时所需的动能。建立模型后，我们利用微分的方法求解最优解，代入题设条件数值并与实际情况做比较，最终我们得出，将腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动更符合实际。

当然，本模型也有其自身不可避免的局限性。模型的假设条件是极度理想化的，现实中人不可能在行走时一直保持匀速不变，而腿部的质量也绝不可能是均匀分布或者集中在脚部的，不仅如此，行走时的路面情况等外界因素也是难以忽略的。当遇到具体情境时，这些问题都应该考虑到。

参考文献

[1] 姜启源谢金星叶俊数学模型（第四版）高等教育出版社 2011年1月第4版

[2] 同济大学数学系高等数学（第六版）高等教育出版社 2007年6月第6版

[3] 康颖大学物理（第二版）科学出版社 2010年1月第二版

人行走的最佳速度模型