河南省实验中学2009-2010学年高三第一次月考

数学试题（理科）

2. 已知，则x的取值范围为

A. (－1,1) 　　B. (－1,0)∪(0,1) C. (-1, 5 )　　　　　D. (1, 5)

【答案】C

【解析】因为

所以，解不等式可得，选C.

【命题意图与考点定位】本题需要通过等价变形利用极限的四则运算法则进行求解。本题考查了极限的计算和不等式的求解.本题利用结论“当时”简单易行.

【星级】★★★★★

3. 函数在区间上的最大值是

A． B． C． D．

4．设为平面，为直线，则的一个充分条件是

A． B．

C． D．

5．已知(＋)2n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于

A．4 B．3 C．6 D．7

【答案】B

【解析】展开式中，令可得各项系数的和，各项二项式系数的和为，故，所以.

【命题意图与考点定位】本题考查了二项展开式中项的系数和二项式系数的区别和计算，考查了赋值法的应用.

【星级】★★★★★

6．函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．　

7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为

A． B． C． D．

8. 一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是

A．7米/秒；　　　　B. 6米/秒；　　　　C. 5米/秒；　　　　 D. 8米/秒

【答案】C

【解析】因为，，所以物体在3秒末的瞬时速度是 5米/秒.

【命题意图与考点定位】联想到导数的物理意义，解决本题就迎刃而解。本题考查了导数的计算和导数的物理意义.

【星级】★★★★★

9.有下列命题：①不存在；②不存在；③对于函数有；④对于函数，若x0∈(1,2)，总有.其中正确的是

A. ①②；　　　 B. ①③；　　　　 C. ②③④；　　　　　 D. ②③

【答案】C

【解析】①故①错；②正确；③函数有，不存在；④正确，故正确的有②③④.

【命题意图与考点定位】本题考查了函数的极限的概念和计算，考查了考生对基础知识和基本运算的掌握和理解.

【星级】★★★★★

10．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点有

A．1个 B．2个

C．3个 D． 4个

【答案】A

【解析】根据极小值的取值特点：极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，符合该规律的只有一个点.

【命题意图与考点定位】导数的正负确定原函数的增减，结合函数图象，学生不难分析原函数的单调性。本题考查了极小值的概念和导数的几何意义，考查了数形结合思想的应用.

【星级】★★★★★

11．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

当时，，，要使，只需，即，这与矛盾；

当时，，，要使，只需，即，则.

【命题意图与考点定位】本题如果从组成该复合函数的基本函数的单调性进行判断不如利用导数法简单，这需要考生在较短的时间内选择合适分方法。本题考查了复合函数导数的计算和导数的应用，考查了分类讨论思想的应用.

【星级】★★★★★

12.下列求导运算正确的是

A.；　　 B.；　　

C.；　　　 D.

【答案】B

【解析】，正确，，，故正确答案为.

【命题意图与考点定位】本题考查了考生对导数公式和导数运算法则的记忆和应用，考查了导数的计算.

【星级】★★★

二．填空题（共20分，每小题5分）

13．

【答案】

【解析】原式

【命题意图与考点定位】本题考查了对数式和数列极限的计算，考查了运算求解能力.

【星级】★★★★★

14． f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，那么常数c的值是

【答案】6

【解析】

当时，函数在处取得极大值，故即；当时，函数在处取得极大值，即，这与矛盾，舍去；当时，在R上单调递增，不合题意，舍去，故.

【命题意图与考点定位】本题考查了导数的计算和极值的概念，考查了分类讨论思想的应用.

【星级】★★★★★

15. 与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程是__________．

三．解答题（共70分）

17．（本小题满分10分）运用导数的定义求函数y＝x3＋3x在x＝－2处的导数

【解析】根据题意要求利用导数的定义求出函数在即可.

【答案】，

，，

所以函数在的导数为15.

【命题意图与考点定位】本题考查了导数定义的应用，属于对基础知识的考查.

【星级】★★★

18．(本小题满分12分)在如图组合体中，

是一个长方体，是一个

四棱锥;，点平面，且

(1)证明： 平面

(2)求与平面所成的角的正切值

【解析】⑴证明线面垂直，常常转化为证明线线垂直；⑵求线面角的关键是找到斜线在平面内的射影，斜线和射影的夹角就是线面角.

19．（本小题满分12分）在数列中，，且成公比不等于1的等比数列

（1）求证：数列是等差数列; （2）求c的值;

（3）设，数列的前项和为，求

【解析】⑴对递推式进行变形可以证明数列为等差数列；⑵因为成等比数列，结合⑴可求出参数c的值；⑶由前两问可以求出数列的通项公式，因为从而求出.

20．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．

【解析】三件工艺品的烧制过程是相互独立的，每一件工艺品的两个烧制过程也是独立的，因为本题要利用概率的乘法公式进行计算求值，⑴第一次烧制后恰有一件产品合格，因为不知道哪一件，故有3种情况；⑵经过两次烧制后合格品的个数可能的值为0，1，2，3，符合二项分布.

21.(本小题满分12分)设函数（）

（1）求曲线在点(0,f(0))处的切线方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）求函数的单调区间;

（3）若函数在区间(-1,1)内单调递增，求的取值范围

【解析】⑴利用导数的几何意义可求函数在点(0,f(0))处的切线方程；

⑵利用导数的正负求出函数的单调区间；⑶函数在区间(-1,1)内单调递增，说明在区间(-1,1)内恒成立.

【答案】⑴因为，，所以曲线在点处的切线方程为；

⑵，由得

若，则当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

若，则当时，，函数单调递增；；

当时，，函数单调递减

⑶由⑵知，若，则当且仅当，即时，函数在区间内单调递增；

若，则当且仅当，即时，函数在区间内单调递增；

综上所述，函数在区间内单调递增时，的取值范围为.

【命题意图与考点定位】本题考查了导数的几何意义、导数的应用和分类讨论思想.

【星级】★★★★

22．（本小题满分12分）已知函数.（）

（1）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【解析】⑴当时，，求其在给定区间上的最值，可以借助导数解决；⑵函数的图象在直线的下方，说明在给定区间上恒成立，恒成立问题可以转化为函数的最值来解决，再次利用导数计算求值.

【答案】（Ⅰ）当时，，；

对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，

∴，.

（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.

在区间（1，+∞）上函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立.

∵

① 若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞)上有，

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