阿基米德三角形及其性质

发布时间：2020-06-21

阿基米德三角形及其性质
一、阿基米德三角形的概念
过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q，则称△QAB为阿基米德三角形． 二、抛物线的阿基米德三角形的性质：（以抛物线y22px为例） 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 证明：设A(x1,y1,B(x2,y2，Q(x0,y0，弦AB的中点为M(xM,yM， 则过A的切线方程为y1yp(xx1，过B的切线方程为y2yp(xx2，
联立两切线方程，解得xyyy1y2yy2,y1，所以y012， 2p22又yMy1y2，所以y0yM，即QM平行于x轴．
2a3性质2 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为．
8px1x2y1y2(y1y22证明：Q到AB的距离为dQM，设AB方程为xmyn， 22p4pa21a3Sad则ABa(1m(y2y1(y2y1ad． 4p28p2222性质3 若阿基米德三角形底边AB过抛物线内定点C(x0,y0，则顶点Q的轨迹方程为y0yp(xx0．
证明：设Q(x,y，则由性质1有xy1y2yy2,y1， 2p2由kABkACy1y0y1y2，化简得y1y22px0(y1y2y0，
2y12y2y12x02p2p2p即2px2px02yy0yy0p(xx0为Q点的轨迹方程．
推论 若阿基米德三角形底边AB过焦点，则Q点的轨迹为准线，且QAQB．

性质4 阿基米德三角形底边的中线QM的中点P在抛物线上，且O处的切线与AB平行．
(y1y22y1y2y1y2y1y2x1x2y1y2,证明：由性质1得Q,,， ,M，QM中点P8p22p2p22显然P在抛物线上，过P的斜率为行．
性质5 在阿基米德三角形中，QFAQFB．
证明：作AA',BB'垂直于准线，垂足分别为A',B'，如图， 对y22px两边求导得2yy'2py'ppkQA， yy12pkAB，故P处的切线与AB平y1y2又kFA'y1，所以kQAkFA'1QAFA'，又AA'AF，设A'F与QA交于C，
p则ACA'ACFQAA'QAFQAA'QAFQA'QF,QA'AQFA， 同理可证QA'AQA'B'90oQB'A'90oQB'BQFAQFB 性质6 在阿基米德三角形中有AFBFQF2．
2y1y22y12y2pppp2p2(证明：AFBF(x1(x2x1x2(x1x2，
22242p442y1y22y12y2p2y1y2p2y1y22QF(((，所以AFBFQF2． 2p442p22p2三．阿基米德焦点三角形的性质
把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形．
性质1 AB过焦点F，则PA⊥PB，PF⊥AB，△PAB面积的最小值为p2．
x2y2性质2 P是椭圆221(ab0过右焦点F的弦在两端点处切线的交点，则P在椭圆右准abb4线上，且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为．
acx2y2性质3 P是双曲线221过右焦点F的弦在两端点处切线的交点，则P在双曲线右准线上，ab
b4且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为．
ac【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时，有如下性质： 对于圆x2y2r2，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为x2y22r2
x2y2对于椭圆221(ab0，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为x2y2a2b2；
abx2y2对于双曲线221(ab0，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为x2y2a2b2．
ab


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