4．重力势能

三维目标

知识与技能

1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算；

2．理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关；

3．知道重力势能的相对性和系统性。

过程与方法

1．根据已有的知识，利用极限的思想证明重力做功与路径无关；

2．根据功和能的关系，推导重力势能的表达式。使学生体会知识建立的方法。

情感态度与价值观

从对生活中有关的物理现象观察、对已有知识的掌握得到物理结论，激发和培养学生探索自然规律的兴趣。

教学重点

重力做功与路径无关，重力势能的概念，重力势能的变化和重力做功的关系。

教学难点

重力势能的变化和重力做功的关系，重力势能的相对性和系统性。

教学过程

［新课导入］

由前面的学习我们知道，相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能。

水力发电站是利用水来发电的，水是利用什么来发电的呢？高处的石头欲落下，你为什么害怕，急于要躲开呢？

说明物体由于被举高而具有重力势能。怎么样认识重力势能呢？

功与能是两个密切联系的物理量。物体的高度发生变化，重力势能发生变化，重力要做功。我们认识重力势能，不能脱离重力做功的研究。本节课将定量地学习与重力势能有关的问题。

［新课教学］

物体的高度发生变化时，重力要做功：物体被举高时，重力做负功；物体下降时，重力做正功。因此，认识这种势能，不能脱离对重力做功的研究。

一、重力的功

设一个质量为m的物体，从高度是h1的位置，竖直向下运动到高度是h2的位置，如图，这个过程中重力做的功是

WG＝mgh＝mgh1－mgh2

再看另一种情况。质量为m的物体仍然从上向下运动，高度由h1降为h2，但这次不是沿竖直方向，而是沿着倾斜的直线向下运动，如图。

物体沿倾斜直线运动的距离是l，在这一过程中重力所做的功是

WG＝mgcosθ·l＝mgh＝mgh1－mgh2

这两种情况下，尽管物体运动的路径不同，但高度的变化是一样的，而重力所做的功也是一样的。

思考：斜面是否光滑对计算“重力的功”有影响吗？

假设这个物体沿任一路径由高度是h1的起点A，运动到高度是h2的终点B，如图。

我们把整个路径分成许多很短的间隔

AA1，A1A2，A2A3，……

由于每一段都很小很小，它们都可以近似地看做一段倾斜的直线。设每段小斜线的高度差分别是

Δh1，Δh2，Δh3，……

则物体通过每段小斜线时重力所做的功分别为

mgΔh1，mgΔh2，mgΔh3，……

物体通过整个路径时重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代数和，即

WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3＋……

＝mg（Δh1＋Δh2＋Δh3＋……）

＝mgh

＝mgh1－mgh2

这里的分析表明，物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关，功的大小等于物重跟起点高度的乘积mgh1与物重跟终点高度的乘积mgh2两者之差。

看起来，物体所受的重力mg与它所处位置的高度h的乘积“mgh”，是一个具有特殊意义的物理量。

【思考讨论】其他力（比如摩擦力）做功是否与路径有关？回答是肯定的。

可见，重力做功的特点不能乱用，要视具体力而定。同时提醒学生，今后学习中还会遇到做功具这个特点的力，让学生在今后遇到新的力时注意这个问题。

二、重力势能

mgh这个物理量的特殊意义在于它一方面与重力所做的功密切相关，另一方面它随着高度的变化而变化，恰与势能的基本特征一致。

1．概念

地球上的物体具有的和它的高度有关的能量，叫做重力势能。或物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。

我们把物理量mgh叫做物体的重力势能（gravitationalpotential energy），常用EP表示。

2．表达式

EP＝mgh（1）

上式表明，物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。或等于物体的质量、重力加速度和它的高度三者的乘积。

3．重力势能是标量

与其他形式的能一样，重力势能也是标量。但重力势能有正负，重力势能的正负只表示物体的重力势能比零势能高，还是比零势能低，不表示方向。重力势能是由物体所处的位置状态决定的，是状态量。

4．单位

重力势能的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为J。

1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1N·m。

三、重力势能的变化和重力做功的关系

1．重力势能的变化和重力做功的定性关系

重力对物体做正功时，重力势能一定减小；重力对物体做负功时，重力势能一定增加。

2．重力势能的变化和重力做功的定量关系

当物体由高处运动到低处时，h1＞h2，WG＞0，EP1＞EP2，这表示重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功。

当物体由低处运动到高处时，h1＜h2，WG＜0，EP1＜EP2，这表示物体克服重力做功（重力做负功）时，重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力所做的功。

有了重力势能的表达式，重力做的功与重力势能的关系可以写为

WG＝EP1－EP2＝─ΔEP（2）

其中EP1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，EP2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。

当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是WG＞0，EP1＞EP2。这时，重力势能减少的数量等于重力所做的功。

当物体由低处运动到高处时，重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加，也就是WG＜0，EP1＜EP2。这时，重力势能增加的数量等于克服重力所做的功。

重力势能变化只与重力做功有关，与其他力做功无关。重力做功等于重力势能的减少量。

提醒学生注意公式中两个势能的先后位置和ΔEP前负号的意义（指减少量）。

【说一说】

如果重力的功与路径有关，即对应于同样的起点和终点，重力对同一物体所做的功，随物体运动路径的不同而不同，我们还能把mgh叫做物体的重力势能吗？为什么？

四、重力势能的相对性

物体的高度h总是相对于某一水平面来说的，实际上是把这个水平面的高度取做0。因此，物体的重力势能也总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面。在参考平面，物体的重力势能为0。

选择哪个水平面做参考平面，可视研究问题的方便而定。通常选择地面为参考平面。

选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，但这并不影响问题的研究，因为在与重力势能相关的问题中，有确定意义的是势能的差值，选择不同的参考平面对这个差值没有影响。

对选定的参考平面而言，上方物体的高度是正值，重力势能也是正值；下方物体的高度是负值，重力势能也是负值。重力势能为负，表示物体在这个位置具有的重力势能比在参考平面上具有的重力势能要少。

a．重力势能是相对的，选取不同的参考平面，重力势能的数值不同。只有参考平面选定后重力势能才有确定的值；

b．参考平面的选取是任意的，可视研究问题的方便而定。通常选地面为参考平面；

c．某两个位置的重力势能的变化与参考平面的选择无关；

d．重力势能的正负表示比零势能高还是低。

五、重力势能的系统性

必须指出的是，重力势能跟重力做功密切相关，而重力是地球与物体之间的相互作用力。也就是说，倘若没有地球，就谈不上重力。所以，严格说来，重力势能是地球与物体所组成的这个物体“系统”所共有的，而不是地球上的物体单独具有的。

除了重力势能，还有其他形式的势能。任何形式的势能，都是相应的物体系统由于其中各物体之间，或物体内的各部分之间存在相互作用（力）而具有的能，是由各物体的相对位置决定的。例如，分子之间由于存在相互作用而具有势能，叫做分子势能，由分子间的相对位置决定；电荷之间由于存在相互作用而具有势能，叫做电势能，由电荷间相对位置决定。分子势能或电势能分别属于分子或电荷组成的系统，不是一个分子绒一个电荷单独具有的。

我们一直在讲某物体的重力势能，是不是准确呢？由重力做功与重力势能的关系、重力的产生看，如果没有地球，就谈不上重力势能，因此，严格说，

重力势能是地球与物体这一系统所共有的，不是物体单独所有的，通常说某物体的重力势能是多少，只是一种简化的说法。

［小结］

本节课我们学习了重力势能，知道势能由物体间的相互作用而产生，由它们的相对位置而决定。势能由相互作用的物体系统所共有，势能是标量，数值是相对的，单位也是焦耳。重力势能是地球和地面上的物体共同具有的，一个物体的重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力对物体所做的功与物体的运动路径无关，只跟物体运动的始、末位置有关，重力所做的功等于物体始、末位置的重力势能之差。

［布置作业］

教材第61－62页“问题与练习”。

高中物理第七章机械能守恒定律第4节重力势能教案1新人教版必修2