上海市静安区届高三数学上学期期末教学质量检测试题文
发布时间:2018-07-29 09:54:24
发布时间:2018-07-29 09:54:24
静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测
文科数学试卷
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.抛物线的准线方程是 .
2.在等差数列word/media/image2_1.png()中,已知公差word/media/image4_1.png,word/media/image5_1.png,则 .
3. 已知圆锥的底面半径为4cm,高为cm,则这个圆锥的表面积是 cm2.
4.方程的解为 .
5.已知为第二象限角,且,则 .
6.坐标原点关于直线对称的点的坐标是 .
7.已知复数满足,其中为虚数单位,则 .
8.的展开式中项的系数等于 . (用数值作答)
9.在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)
10.经过直线与圆的两个交点,且面积最小的圆的方程是 .
11.已知数列()中,,当时,,则 .
12.在平面直角坐标系中,坐标原点、点,将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量,则点的横坐标是 .
13.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列, ,且△ABC的面积为,则b = . (用数值作答)
14.在平面直角坐标系中,将直线沿轴正方向平移3个单位, 沿轴正方向平移5个单位,得到直线.再将直线沿轴正方向平移1个单位, 沿轴负方向平移2个单位,又与直线重合.则直线与直线的距离是 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15.设全集,则= ( ) A. B. C. D. 16.组合数恒等于( )
A. B. C. D. 17.函数的反函数是 ( )
A. B.
C. D.
18.下列四个命题中,真命题是 ( )
A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;
B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;
C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;
D.若a、b是异面直线, b、c是异面直线,则a、c是异面直线.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分.
word/media/image61_1.png,word/media/image62_1.png,word/media/image63_1.png.
(1)求证:word/media/image64_1.png;
(2) 若△ABC是等腰三角形,求x的值.
20.(本小题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,在棱长为1的正方体中,E为AB的中点.
(1)求三棱锥A--的体积;
(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分10分,第2小题满分4分.
李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
22.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分9分.
设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O.
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:k1k2=;
(2)若双曲线的焦点分别为、,点P1的坐标为(2,1) ,直线OM的斜率为,求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积.
23.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知定义在实数集R上的偶函数和奇函数满足.
(1)求与的解析式;
(2)求证:在区间上单调递增;并求在区间的反函数;
(3)设(其中m为常数),若对于word/media/image81_1.png恒成立,求m的取值范围.
静安区2015学年第一学期期末高三年级教学检测
文科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01
说明:内容与理科相同
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 2.2025 3. 40;
4. 5. 6.
7. 8. 9. 13968
10. 11.() 12.
13.2 14..
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15. A; 16. D; 17.C; 18.B
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19.
word/media/image61_1.png,word/media/image62_1.png,word/media/image63_1.png.
(1)求证:word/media/image64_1.png;
⑵ 若word/media/image92_1.png是等腰三角形,求x.
19. 解:⑴ ∵word/media/image93_1.png , ∴ word/media/image94_1.png ,∴word/media/image95_1.png 又word/media/image96_1.png
∴ ∴word/media/image98_1.png 。
(2)若word/media/image92_1.png是等腰三角形,则AB=BC,word/media/image99_1.png
,所以word/media/image101_1.png,word/media/image102_1.pngword/media/image93_1.png,word/media/image103_1.png
20. 如图,在棱长为1的正方体中,E为AB。
(1)求三棱锥A--的体积;
(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值。
20.解(1)由三棱锥体积公式可得: 。
(2)延长DC至G,使CG= DC,连结BG、
,∴四边形EBGC是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴
在
即异面直线BD1与CE所成角的余弦值是
21. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
20解法1:(1)设个月的余款为,则
,
,
。。。。。。
,
=(元),
法2:,
一般的,,
构造,
,
。
方法3:用通过等比数列求和解决.
(2)194890-1000001.05=89890(元),
能还清银行贷款。
22. 双曲线上不同两点P1和P2,线段P1P2的中点为M,双曲线的中心为坐标原点O,直线P1P2不经过点O.
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率存在且分别为k1和k2,求证:k1k2=;
(2)若双曲线的焦点分别为、,点P1坐标为(2,1) ,直线OM的斜率为,求四边形P1 F1P2F2的面积.
22(1)解法1:设不经过点O的直线P1P2方程为,代入双曲线方程得:.
设 P1坐标为,P2坐标为,中点坐标为M (x,y),则,,
,所以,,k1k2=。
另解:设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点M (x,y),则且
(1)-(2)得:。
因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)0,
等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:
即 k1k2=。
(2)由已知得,求得双曲线方程为,
直线P1 P2斜率为,
直线P1 P2方程为,
代入双曲线方程可解得(中点M坐标为.
面积.
另解: 线段P1 P2中点M在直线上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为,代入双曲线方程可得,即,解得(),所以。面积.
23. 已知定义在实数集R上的偶函数和奇函数满足.
(1)求与的解析式;
(2)当时,求证是递增函数,并求的反函数;
(3)设(其中m为常数),若对于word/media/image81_1.png恒成立,求m的取值范围.
23.解:(1)假设①,因为是偶函数,是奇函数
所以有,即 ②
∵word/media/image155_1.png,word/media/image156_1.png定义在实数集R上,
由①和②解得,
,
.
(2) ,当且仅当,即时等号成立.对于任意, ,
因为,所以, , , ,
从而,所以当时,递增.
设,则,令,则.再由解得,即.
因为(),所以,因此的反函数
(3)∵在单调递增,∴.
∴对于word/media/image183_1.png恒成立,
∴对于恒成立,
令,则,当且仅当时,等号成立,且所以在区间上单调递减,
∴,∴为m的取值范围.