第1章 一元二次方程

2.1一元二次方程（1）

学习目标：

1． 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；

2． 一元二次方程的一般形式及其有关概念；

3． 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式；

4． 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

学习重点：

一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题

学习难点：

建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

一． 学前准备：

1．____________________________________________叫方程；

_____________________________________________叫一元一次方程。

2．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：

二． 探究活动

（一） 独立思考·解决问题

1． 剪一块面积为150的长方形铁片，师它的长比宽多5cm，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x（cm），那么铁皮的长为_________cm.

根据题意，可得方程是：______________________

2． 一个数比另一个数小，且这两数之积为6，求这两个数。设其中较小的一个数位x，请列出满足题意的方程__________________.

3．正方形的面积是2，求它的边长？

3． 矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24，求花圃的长和宽。

（二） 师生探究·合作交流

议一议：1.上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？

2．结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？

3．其中______叫做二次项，a叫做______,bx叫做_______,b叫做_______.c是常数项。

4． 下面是一元二次方程吗？（填“是”或“否”）

5． 方程：3x(x-1)=2(x+2)+8

(1) 是一元二次方程吗？如果是一元二次方程请将它转化成一般形式。

(2) 如果是，请分别说出它的二次项，一次项，常数项和它各项的系数。

(3) 试求的值。

练一练：

1． 下面的方程式一元二次方程吗？如果是，请说出方程中的a,b,c分别是多少？

2． 把下列的方程先转化为一元二次方程的一般形式，再分别写出它各项的系数。

三． 自我测试

1．将化为，a，b，c的值分别为（ ）

A. 0, -3, -3 B. 1. -3, 3 C. 1, 3, -3 D. 1, -3, -3

2．若方程是一元二次方程，则m的值是（ ）

A． B. C. D.

3．已知方程：①；②；③；④；⑤；其中一元二次方程的个数是（ ）

A．0 B. 1 C. 2 D. 3

4.把方程化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二次项系数与一次项系数的和。

四． 应用与拓展

1．下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）

A． B.

C． D.

2．若是关于x的一元二次方程，求m，n的值。

3、当m取任意实数时，判断关于x的方程的类型。

2.1一元二次方程（2）

学习目标：

1． 理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解决简单的数学问题；

2． 将已学过的方程知识进一步拓展与融合，扩大视野，提高能力；

3． 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

学习重点：一元二次方程的解的概念

学习难点：利用一元二次方程的解解决数学问题

一． 学前准备

1．___________________________________________________叫一元二次方程；

2．_________________________________________是一元二次方程的一般形式；

3．________________________________________ 叫方程的解。

二． 探究活动

（一） 独立思考·解决问题

1． 已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值是多少？请写出你的思考过程。

2． 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，求m的值。

（二） 师生探究·合作交流

议一议：

1． 上面题目的解法给你什么启发？我们为什么可以这样去解呢？

2． 你能否自己给自己编一道类似这样题型的题目呢？并解答出来。

3． 已知x=1是方程的根，化简；

4． 已知实数a满足，求的

5． 已知m，n是有理数，方程有一个根是，求m+n的值。

三． 自我测试

1．若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）

A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠±2

2．如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （ ） A．1 B. ±1 C. 2 D. ±2

3.已知m是方程的一个根，则代数式的值为_______;

4．若方程的一个根是2，则k=__________;

5．当k满足条件_______时，方程不是关于x的一元二次方程。

6．若关于x的一元二次方程的常数项为二次项系数的2倍，则一次项系数为________;

7.已知是一元二次的解，则=_______;

四． 应用与拓展

1． 设一元二次方程的两个根分别为，，求aP+bQ+cR的值。

2． 已知a,b是关于x的一元二次方程的两个根，求的值。

2.2一元二次方程的解法（1）

学习目标：

1． 理解一元二次方程降次的转化思想；

2． 会利用直接开平方法对形如的一元二次方程进行求解；

3． 发现不同方程的转化式，运用已有知识解决新问题。

学习重点：运用开平方法解形如的方程；

学习难点：通过根据平方根的意义解形如的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如的方程。

一． 学前准备：

1．9的平方根是____,用符号表示为__________;

2．25的平方根是____,用符号表示为_________;

3．a 的平方根是________;

二．探究活动：

（一）独立思考·解决问题

1．解方程：

2．解方程：

（二）师生探究·合作交流

议一议：

1．上述解一元二次方程的方法是什么？它的理论依据是是什么？

2．方程有实数解吗？为什么？

3．由第2题你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢？

4． 我们又如何检验我们所解得方程是否正确呢？

5． 练一练：

解方程：

6． 小明同学在解方程时是这样解的，请同学们看看他的解法对吗？如果是你解，该如何解呢？

三． 自我测试：

1．方程的实数根的个数是（ ）

A．1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不对

2．方程的根是（ ）

A． B. C. D.

3．方程的根是（ ）

A. B. C. D.

4．方程的根是__________.

5．若方程有整数根，则m的值可以是______(只填一个)

6．当n_____时，方程有根，其根为_______.

7．已知一元二次方程，试用直接开平方法解这个方程。

8.一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：，则石头经过多长时间落到地面？

四．应用与拓展：

已知公式。根据上述公式解答下题：

已知a是方程的根，求的值。

2.2一元二次方程的解法（2）

学习目标：

1． 会利用配方法熟练，灵活的解一元二次方程；

2． 通过对计算过程的反思，获得解决新问题的体验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想；

3． 通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；

4． 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

学习重点：用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程；

学习难点：灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程；

一． 学前准备：

1．完全平方和公式：______________________;完全平方差公式：______________

2．这两个公式都有什么共同特点：______________________________________

3．解方程：

二． 探究活动：

（一） 独立思考·解决问题

试一试：完成下列配方过程

解方程：

（二） 师生探究·合作交流

1． 上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？

2． 那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？

3． 你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？

4． 练一练：

（1） 填空

（2） 用配方法解下列方程：

三． 自我测试

1．已知一元二次方程，若用配方法解该方程时，则配方后的方程为（ ）

A. B. C. D.

2．用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ）

A.加 B.加 C.减 D.减

3．

4．若是一个完全平方式，则a=_______;

5．用配方法解方程：

（1）； （2）； （3）；

6．用配方法证明：

（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0．

四． 应用与拓展：阅读理解题．

阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①

解得，

当时，，，；

当时，，，；

原方程的解为，，，

解答问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．

（2）解方程．

2.2一元二次方程的解法（3）

学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；

3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；

4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

学习重点：求根公式的推导和公式法的应用

学习难点：一元二次方程求根公式的推导

一． 学前准备

1． 配方法解一元二次方程的关键是_______________________________;

2． 一元二次方程中a=_____,b=_____,c=_______;

3． 一元二次方程中a=______,b=______,c=________.

4． 用配方法解一元二次方程

二． 探究活动

（一） 独立思考·解决问题

用配方法解一元二次方程；请同学们独立完成此题。

（二） 师生探究·合作交流

由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a,b,c而定，因此：

（1） 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形，当时，将a,b,c代入式子x=_____________，就得到方程的根；当时就得到方程无实数根；

（2） 这个式子叫做一元二次方程的求根公式；

（3） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4） 由求根公式可知，一元二次方程最多有___个实数根。

例1：用公式法解下列方程：（1）； （2）

练习：把下列方程化成的形式，并写出其中a,b,c的值；

三． 自我测验

1．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）

A. B.

C． D.

2．方程的根是（ ）

A． B. C. D.

3．方程的正根是（ ）

4．方程的两根=_________, =_______;

5．一元二次方程中，=_______，若=9，则m=______；

6．用公式法解方程：

四．应用与拓展

已知实数a,b,c满足：，求方程的根。

2.2一元二次方程的解法（4）

学习目标：1.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程；

2.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力；

3.学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

学习重点：应用因式分解法解一元二次方程；

学习难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解；

一．学前准备：

1.因式分解的定义_________________________________________;

2.因式分解与整式乘法互为___________；

3.因式分解有如下几种方法，分别是________,_________,_________;

4.对以下整式进行因式分解：

5.解下列方程：

二．探究活动

（一）独立思考·解决问题

思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;

问题：（1）你能观察出这两题的特点吗？

（2）你知道方程的解吗？说说你的理由

（二）师生探究·合作交流

因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为____.即：若ab=0,则_____或______。

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。这种方法叫做因式分解法。

你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？

（1）（2）（3）（4）

练习：

1．解方程

2． 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和18

3．用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化为两个一元一次方程___________,____________求解。

三．自我测试

1．方程的根为（ ）

A. B. C. D.

2．关于方程(x-m)(x-n)=0的说法中，正确的是（ ）

A. x-m=0 B. x-n=0 C. x-n=0或x-m=0 D. x-n=0且x-m=0

3．若与是同类项，则m的值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 2或3 D. -2或-3

4．关于x的方程ax(x-b)-(b-x)=0 (a≠0)的根为（ ）

A．a或b B. 或b C. 或b D. a或-b

5．方程的根是______________;

6．方程的根是___________;

7．用因式分解法解下列方程：

四．应用与拓展

阅读材料：解方程，我们可以将看作一个整体，然后设=y ①，那么原方程可转化为，解得

当y=1时，，∴，∴；

当y=4时，，∴，∴，

故原方程的解为

解答问题：

（1）上述解题过程中，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

（2）请利用以上知识解方程：

2.2一元二次方程的解法（5）

学习目标：1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；

2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法；

3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最

优方法，在学习活动中获得成功的体验。

学习重点：能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及因

式分解法解一元二次方程

学习难点：理解一元二次方程解法的基本思想

一． 学前准备

1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为______，即______

2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

3、一般考虑选择方法的顺序是：

________法、________法、______法或______法

二． 探究活动

（一） 独立思考·解决问题

解下列方程：

（二） 师生探究·解决问题

通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？

练习：

选择合适的方法解下列方程:

三． 自我测试

1．下列方程一定能用直接开平方法解的是（ ）

A. B. C. D.

2．解方程的最适当的方法应是（ ）

A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D.因式分解法

3．设a是方程较大的一根，b是方程较小的一根，那么a+b的值为（ ） A. -4 B. -3 C. 1 D. 2

4．已知，当A=B时，x的值为（ ）

A. x=3或x=1 B. x=-3或x=-1 C. x=3或x=-1 D. x=-3或x=1

5．方程的解是________;

6．已知x+y=7且xy=12，则当x时，的值等于________.

7．用适当的方法解下列方程

8．解方程;

四． 应用与拓展

1． 已知，求的值。

2． 试说明：不论x,y为何值，的值总是负数。当x,y为何值时，这个代数式有最大值，最大值是多少？

2.3一元二次方程的根的判别式

学习目标：1.了解掌握根的判别式；

2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；

3.通过探究某些无解的一元二次方程得出一元二次方程的判别式

4.学生通过观察，分析，讨论相互交流，培养与他人交流的能力，通过观察，

分析，感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。

学习重点：用根的判别式解决实际问题；

学习难点：根的判别式的发现；

一． 预习思考

1． 请同学们用公式法求解下列方程：

2． 把______叫做一元二次方程的根的判别式，常用符号_____来表示。

3． 一般地，方程当_____时，有两个不相等的实数根；当_______时，有两个相等的实数根；当_______时，没有实数根，反过来，也成立。

4． 下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）

A. B. C. D.

二．探究活动

（一）独立思考·解决问题

1．求根公式是否对于每一个一元二次方程都适用？

2．进一步观察一元二次方程

（1）当>0时，

（2）当=0时，

（3）当<0时，方程_________.

（二）师生探究·合作交流

1．定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，即=，一般地，方程

2．小英说：“不解方程”，我也知道它的根的情况，现在你知道她是怎么做的了吧？那我们也来尝试一下。

例1：不解方程，判别下列方程根的情况：

例2：m为何值时，关于x的一元二次方程；

（1） 有两个相等实数根；

（2） 有两个不相等的实数根；

（3） 无实数根。

三． 自我测试

1．方程x2-ax+9=0有两个相等的实数根，则a=________

2．关于x的方程(m+1)x2-2x-(m-1)+0 的根的判别式等于４，m=_________

3．已知 a、b、c是△ABC的三条边，且一元二次方程(a-b)x2+2(a-b)-(b-c)=0 有两个相等

的实数根，试判断△ABC的形状 .

4．当m为何值时，（1）关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有两个实数根。

（2）关于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根。

（3）关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根

四． 应用与拓展

已知关于x的方程和，且，证明：这两个方程中至少有一个实数根。

2.4一元二次方程的根与系数的关系（1）

学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据；

2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；

3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

学习重点：根与系数的关系及推导

学习难点：正确理解根与系数的关系

一． 学前准备

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

⑴　x2 + ２x = 0 ⑵　x2 + ３x －４= 0 ⑶　x2 －５x + ６= 0

二． 探究活动

（一）尝试探索，发现规律：

1．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c有何关系？请你写出关系式

2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

小结：

1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．

2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．

注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________

（二）例题分析

例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：

①　x2 + 3x -1= 0　②　x2 + 6x +2= 0 ③　3x2 －4x+1= 0 (4)x2 + 3x +3= 0

例2.已知关于x的方程x2 + ｋx －6= 0的一个根是2，求另一个根及ｋ的值

三． 自我测试

1．若关于x的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）

A. B.

C. D.

2．若方程的两根是2和-3，则p，q分别为（ ）

A. 2,-3 B. -1,-6 C. 1,-6 D. 1,6

3．方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。

4．如果-2和是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为___________;

5．一元二次方程的两根为，则=______。

6．若是方程的两根，且，求k的值。7．关于x的方程有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

四．应用与拓展

已知是方程的两个实数根，且。

求（1）求及a的值；

（2）求的值

2.4一元二次方程的根与系数的关系（2）

学习目标：1.使学生熟练运用根与系数关系解决有关问题；

2.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

学习重点：根与系数的变式应用

学习难点：根与系数延伸式的推导

一． 学前准备

1.应用韦达定理的前提条件是______,内容是______________________________

2.不解方程，写出两方程的两根之和与两根之积。

3.一般地，以为根的一元二次方程为___________________________;

4.已知两个数的和为-7，积为12，则以这两个数为根的一元二次方程是____________.

二． 探究活动

若是一元二次方程的两根，请大家推导出韦达定理以下的变式：

例：设方程的两根分别为，不解方程求出下列各式的值。

练习：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求：（1）k的值；（2）的值。

三． 自我测试

1．关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

2．设是方程的两根，则的值是（ ）

（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）

（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0

4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）

（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0

5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，

那么x1·x2等于（ ）

（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1

6.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

7.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）

（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝

9．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2＝

11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝ .

四．应用与拓展

1．如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;

2．方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根，则最小的整数m= ;

3．已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m= ;

4．设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ;

5．设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

(1) x12+x22 (2)x1－x2　　（3）　（4）x1x22＋x1

2.5一元二次方程的应用（1）

学习目标：

1. 使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题

学习难点：有关增长率之间的数量关系．

一． 学前准备

1．（1）原产量+增产量=实际产量．

（2）单位时间增产量=原产量×增长率．

（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．

2．（1）某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产_______个？增长率是多少 。

（2）银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存1000元，存满一年连本带利的钱数是 。

（3）某厂第一个月生产了彩电m台,第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,，则第二个月生产了________台;第三个月比第二个月又增长了相同的百分率,则第三个月的产量为___________ 台。

二．探究活动

例1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少?

分析: 这两个月平均每个月增长的百分率是x,则2月份比一月份增产________ 吨； 2月份的产量是 _______________吨 3月份比2月份增产________ 吨； 3月份的产量是 ____________ 吨

解：

归纳：两次增长后的量=原来的量(1+增长率)

反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：两次降低后的量=原来的量(1-增长率)

例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？

分析：设每次降价的百分数为x．

第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．

第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x=600（1-x）2（元）．

解：

例3 某人想把10000元钱存入银行，存两年。一年期定期年利率6%,两年期定期年利率为6.2%.哪一种存款更划算？

例4 2009年我市实现国民生产总值为1600亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1960亿元．

（1）求全市国民生产总值的年平均增第率

（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）

小结：

（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．

（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到、总共 季度总和 等词语的关系．

（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．

三．自我测试

1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( )　 A、9% 　　　B、10％ 　　　C、11％ 　　　D、12％

2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）

（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元

3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )

　　A、(1-x)2=15% 　B、(1+x)2=1+15%　C、(1-x)2=1+15%　 D、(1-x)2=1-15%

4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。

5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是______

6..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。

7.．某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率

四．应用与拓展

某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？

2.5一元二次方程的应用（2）

学习目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．

2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识

学习重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．

学习难点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．

一．学前准备：1. 列方程解应用题的一般步骤是：

（１）_______________________________ ；（２）_______________________________；

（３）________________________________；（４）________________________________；

（５）________________________________；（６）________________________________。

2．长方形的周长___________,面积_________长方体的体积公式______________

二．探究活动

例1. 如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm， 容积是500 的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

例2 .现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方

形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？

例3. 如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。

三．自我测试

1、有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的二倍，

并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？

（只列不解）

2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向各挖4条和2条水渠，如果水渠的宽相等，且要保证余下的面积为9600m2,那么水渠应挖多宽？

3、有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450，那么纸盒的高是多少？

4、、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3　无盖的长方体盒子。求截去小正方形的边长。

四．应用与拓展

要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠着原有的一面墙，如图，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为35m．

①求养鸡场的长与宽； ②当a<15或15≤a<20或a≥20时，求养鸡场的长与宽．

（2）若（1）题变为：如图（2），有一面积为150m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18m，墙对面有一个宽为2m的门，另三边（门除外）用33m的竹篱笆

围成，求养鸡场的长与宽．

2.5一元二次方程的应用（3）

学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．

学习重点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题

学习难点：设元的灵活性和解的讨论

学前准备：

１、列一元二次方程解应用题的一般步骤是：

（１）___________；（２）______________；（３）__________；（４）____________；

（５）__________；（６）_____________。

2、列方程的关键是准确找出_______________关系。

二．探究活动

例１.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数

例2. 两个连续奇数的积是323, 求这两个数

例3. 一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大３，百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的２５倍大２０２，求这个三位数。

思考：（１）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？

（２）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。这个三位数可表示为_________。

解：

例4、某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人且不超过40人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？

分析：首先应得到总费用是28000，即有等量关系“人均费用×人数=28000”，若人数不超过30人，则总费用不超过30×800=24000＜28000，所以人数应超过30人，因此又得等量关系“800元－（参加人数－30人）×10元=实际人均费用”，由此可以列出方程”[800－10(x－30)]·x = 28000”，

解：

三．自我测试

１、两个数的和为１６，积为４８。求这两个数。

２、有一个两位数，等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2,求这个两位数。

3、三个连续偶数，前两个数的积是第三个的3倍，求这三个数。

四．应用与拓展

合肥白马旅行社为吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去黄山风景区旅游，共支付给白马旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去白马风景区旅游？

2.5一元二次方程的应用（4）

学习目标：1.掌握利用一元二次方程来解决生活中的经济问题；

2.进一步提高逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力；

3．培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。

学习重点：由应用问题的条件列方程的方法

学习难点：设“元”的灵活性和解的讨论

一．知识回顾：

1.李明同学在演算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案减少了35，则这个数为（ ）

A. -7 B. -5或7 C. 5或7 D. 7

2.一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x,则列方程为（ ）

A. B.

C. D.

3.某中学准备建一个面积为375 的矩形游泳池且游泳池的宽比长短10m，设游泳池的长为x m，则可列方程为（ ）

A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375

C. 2x(2x-10)=375 D. 2x(2x+10)=375

4.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各互赠一本，全组共互赠了182本，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）

A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182

C. 2x(x+1)=182 D. x(x-1)=182×2

二．探究活动

例1：某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件，为了实现平均每月12000元的销售利润，这种衬衣的售价应定为多少？这时进这种衬衣多少件？

例2：某西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元／千克，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

例3: 2011年春节前，某经销商按市场价每千克30元收购了活螃蟹1000千克，据测算，此后每千克活螃蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螃蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元，如果该经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后才出售？

例4：某百货商店服装柜在销售中发现：“米琪”牌童装平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价2元，那么平均每天可多售出4件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

三．自我测试

1.红旗商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售的经验，售价每提高1元，销售量相应地减少10个。

（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是____远；这种篮球每月的销售量是_______个。（用含x的代数式表示）

（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，说明理由；如果不是，求出最大利润，以及此时篮球的售价。

2.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元

四．应用与拓展

读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流人物。而立之年督东吴，早逝英才两位数。

十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜。

周瑜去世时______岁。

2.5一元二次方程的应用（5）

学习目标：1.掌握分式方程的计算方法；

2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能；

学习重点：分式方程转化为一元二次方程

学习难点：用换元法解分式方程

一． 学前准备

1. 分式方程的定义：_________________________________________________;

2. 解分式方程的思想是______________,步骤有__________________________

3. 解下列分式方程

二． 探究活动

（一） 师生互动·合作交流

1. 某校组织学生春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元。问原来这组学生的人数是多少？

分析：设原来这组学生的人数是x人，则把题中信息整理成下表：

本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用-加人后该组学生每人分摊的费用=3元，由此可得方程。

2. 印刷一张矩形的张贴广告，如图。它的印刷面积是32，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm。当要求四周空白处的面积是18时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽。

思路分析：根据图形知：

广告纸的面积=印刷面积+四周空白处的面积=____+____=____

广告纸的长=印刷部分的长+____dm

广告纸的宽=印刷部分的宽+_____dm

由印刷部分和广告纸都是矩形，且面积已知。因而，可确定它们的长和宽的关系，再借助图形的面积关系就可列出方程。

（二） 步步高升·解决问题

请同学们思考一下下面的这个分式方程我们该如何去解决呢？

思路分析：本方程在求解时如直接去分母，就会得到一个次数高于二次的整式方程，不易求解。这时，可考虑如下面所采用的换元的方法求解：用一个未知数y替换方程中某个含原未知数x的式子，然后，先解出y，再去解x,这种方法叫做换元法。

解

三． 自我测试

1. 解方程时，设，则原方程化成整式方程就是_____________________；

2. 方程的解是__________.

3. 如果用换元法解分式方程，并设,那么原方程可化为____________________;

4. 用换元法解方程

5. 用换元法解方程

一元二次方程测试题

一、 填空题：（每题3分，共30分）；

1、方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；

2、 ；

3、方程的根是 ; 方程 的根是 ;

4、如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_______________.

5、如果一元二方程有一个根为0，则m= ;

6、已知方程的两个相等实根，那么 ；

7、方程中，⊿= ，根的情况是 ；

8、若方程的两个根是和3，则的值分别为

9、已知方程的两根是；则： ， 。

10、已知方程的一个根是1，则另一个根是 ，的值是 。

二、 选择题：（每题3分，共24分）

1、下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）；

A、 B、 C、 D、

2、方程的根为（ ）；

（A） （B） （C） （D）

3、解下面方程：（1）（2）（3），较适当的方法分别为（ ）

（A）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法

（C）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法

4、方程的解是 （　　）；

A. B. C. D.

5、方程的两根的情况是（ ）；

A、没有实数根； B、有两个不相等的实数根C、有两个相同的实数根 D、不能确定

6、一元二次方程有两个相等的实数根，则等于 （　　）

A. B. 1 C. 或1 D. 2

7、以3和为两根的一元二次方程是 （ ）；

（A） （B）（C） （D）

8、某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增率是，则可以列方程（ ）；

（A）（B）（C）（D）

三、解方程（每题6分，共48分）；

①（直接开平方法） ②（用配方法）

③（用因式分解法） ④.

⑤ ⑥.

⑦. ⑧.x－2）（x－5）=－2

四、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的腰长。（9分）

五、已知方程；则①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当取什么值时，方程没有实数根？（9分）

六、试证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。（9分）

七、已知关于的方程

⑴ 若方程有两个相等的实数根,求的值,并求出此时方程的根（6分）

⑵ 是否存在正数,使方程的两个实数根的平方和等于224 ？若存在,求出满足条件的的值； 若不存在，请说明理由。（6分）

八、一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？（9分）

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