3.2　等比数列的前n项和(一)

[学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

[知识链接]

1．求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？

答　由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.所以Sn＝.

2．在等比数列{an}中，若q≠1，则有＝＝＝…＝＝q.由等比性质，得＝q，

至此你能用a1和q表示出Sn吗？

答　由＝q，

得 ＝q，

于是Sn＝＝.

[预习导引]

1．等比数列前n项和公式：

(1)公式：Sn＝

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

2．等比数列前n项和公式的变式

若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.

3．错位相减法

推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.

要点一　前n项和公式基本量的运算

例1　在等比数列{an}中，

(1)若q＝2，S4＝1，求S8；

(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.

解　(1)方法一　设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，

∴＝1，即a1＝，

∴S8＝＝＝17.

方法二　∵S4＝＝1，且q＝2，

∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)

＝1×(1＋24)＝17.

(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得

即

∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，

∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×()3＝1，

S5＝＝＝.

规律方法　(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

跟踪演练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.

答案　2　2n＋1－2

解析　设等比数列{an}的公比为q，

因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，

所以 解得

所以Sn＝＝＝2n＋1－2.

要点二　错位相减法求和

例2　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．

解　分x＝1和x≠1两种情况．

当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.

当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，

xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，

∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1

＝－nxn＋1.

∴Sn＝－.

综上可得Sn＝

规律方法　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．

跟踪演练2　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．

解　(1)当a＝0时，Sn＝1.

(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，

则Sn＝＝n2.

(3)当a≠1且a≠0时，

有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1.①

aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an.②

①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，

(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)

＝1－(2n－1)an＋2·

＝1－(2n－1)an＋，

又1－a≠0，∴Sn＝＋.

综上，Sn＝

要点三　等比数列前n项和的实际应用

例3　借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)

解　方法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，

a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，

…

a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.

由题意，可知a6＝0，

即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，

a＝.因为1.016＝1.061，

所以a＝≈1 739.

故每月应支付1 739元．

方法二　一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为

S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．

另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为

S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a

＝＝a(1.016－1)×102(元)．

由S1＝S2，得a＝.

以下解法同方法一，得a≈1 739.

故每月应支付1 739元．

规律方法　解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．

跟踪演练3　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？

解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，

因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．

热气球在前n分钟内上升的总高度为：

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝

＝125×[1－()n]<125.

故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.

要点四　等比数列Sn的综合应用

例4　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)由已知得解得a2＝2.

设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，

设计2018-2019学年高二数学北师大版必修5学案：1.3.2 等比数列的前n项和（一）