2019-2020年重庆市六校联考高一上册期末数学试卷(有答案)
发布时间:2019-12-07 00:16:52
发布时间:2019-12-07 00:16:52
重庆市六校联考高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)=( )
A. B. C. D.
2.(5分)已知集合M={1,2},N={2,3,4},若P=M∪N,则P的子集个数为( )
A.14 B.15 C.16 D.32
3.(5分)已知函数f()=,若f(﹣1)=f(1),则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.0 D.﹣1
4.(5分)若函数f()=a2﹣b+1(a≠0)是定义在R上的偶函数,则函数g()=a3+b2+(∈R)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
5.(5分)设a=log2,b=()3,c=3,则( )
A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<a<c
6.(5分)已知tan(α﹣β)=,tan(﹣β)=,则tan(α﹣)等于( )
A. B. C. D.
7.(5分)方程﹣log=3和﹣log=3的根分别为α,β,则有( )
A.α<β B.α>β
C.α=β D.无法确定α与β大小
8.(5分)函数f()=2sin(2+)的图象为M,则下列结论中正确的是( )
A.图象M关于直线=﹣对称
B.由y=2sin2的图象向左平移得到M
C.图象M关于点(﹣,0)对称
D.f()在区间(﹣,)上递增
9.(5分)函数y=sin2(﹣)的图象沿轴向右平移m个单位(m>0),所得图象关于y轴对称,则m的最小值为( )
A.π B. C. D.
10.(5分)已知f()是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递减,若实数a满足f(3|2a+1|)>f(﹣),则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣)∪(﹣,+∞) B.(﹣∞,﹣)
C.(﹣,+∞) D.(﹣,﹣)
11.(5分)已知α∈[,],β∈[﹣,0],且(α﹣)3﹣sinα﹣2=0,8β3+2cos2β+1=0,则sin(+β)的值为( )
A.0 B. C. D.1
12.(5分)若区间[1,2]的 长 度 定 义 为|2﹣1|,函数f()=(m∈R,m≠0)的定义域和值域都是[a,b],则区间[a,b]的最大长度为( )
A. B. C. D.3
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13.(5分)计算:log3+lg4+lg25+(﹣)0= .
14.(5分)已知扇形的面积为4cm2,扇形的圆心角为2弧度,则扇形的弧长为 .
15.(5分)若α∈(0,π),且cos2α=sin(+α),则sin2α的值为 .
16.(5分)已知正实数,y,且2+y2=1,若f(,y)=,则f(,y)的值域为 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知全集U=R,函数的定义域为集合A,集合B={|5≤<7}
(1)求集合A;
(2)求(∁UB)∩A.
18.(12分)在平面直角坐标系Oy中,若角α的始边为轴的非负半轴,其终边经过点P(2,4).
(1)求tanα的值;
(2)求的值.
19.(12分)已知二次函数f()=m2+4+1,且满足f(﹣1)=f(3).
(1)求函数f()的解析式;
(2)若函数f()的定义域为(﹣2,2),求f()的值域.
20.(12分)已知函数f()=sin2ω+2cosωsinω+sin(ω+)sin(ω﹣)(ω>0),且f()的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f()在区间(0,π)上的单调增区间.
21.(12分)已知函数f()=log2()﹣(m为常数)是奇函数.
(1)判断函数f()在∈(,+∞)上的单调性,并用定义法证明你的结论;
(2)若对于区间[2,5]上的任意值,使得不等式f()≤2+m恒成立,求实数m的取值范围.
22.(12分)已知函数f()=a(|sin|+|cos|)﹣sin2﹣1,若f()=﹣.
(1)求a的值,并写出函数f()的最小正周期(不需证明);
(2)是否存在正整数,使得函数f()在区间[0,π]内恰有2017个零点?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
重庆市六校联考高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)=( )
A. B. C. D.
【解答】解:cos=cos(π+)=﹣cos=﹣
故选D.
2.(5分)已知集合M={1,2},N={2,3,4},若P=M∪N,则P的子集个数为( )
A.14 B.15 C.16 D.32
【解答】解:集合M={1,2},N={2,3,4},
则P=M∪N={1,2,3,4},
∴P的子集有24=16个.
故答案为:C.
3.(5分)已知函数f()=,若f(﹣1)=f(1),则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.0 D.﹣1
【解答】解:∵函数f()=,f(﹣1)=f(1),
∴f(﹣1)=1﹣(﹣1)=2,f(1)=a,
∵f(﹣1)=f(1),∴a=2.
故选:B.
4.(5分)若函数f()=a2﹣b+1(a≠0)是定义在R上的偶函数,则函数g()=a3+b2+(∈R)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
【解答】解:f()为偶函数,则b=0;
∴g()=a3+;
∴g(﹣)=a(﹣)3﹣=﹣(a3+)=﹣g();
∴g()是奇函数.
故选A.
5.(5分)设a=log2,b=()3,c=3,则( )
A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<a<c
【解答】解:a=log2<0,b=()3∈(0,1),c=3>1.
∴c>b>a.
故选:B.
6.(5分)已知tan(α﹣β)=,tan(﹣β)=,则tan(α﹣)等于( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵tan(α﹣β)=,tan(﹣β)=,
∴tan(α﹣)=tan[(α﹣β)﹣(﹣β)]===.
故选:C.
7.(5分)方程﹣log=3和﹣log=3的根分别为α,β,则有( )
A.α<β B.α>β
C.α=β D.无法确定α与β大小
【解答】解:方程﹣log=3和﹣log=3,
分别化为:log2=3﹣,log3=3﹣.
作出函数图象:y=log2,y=3﹣,y=log3.
则α<β.
故选:A.
8.(5分)函数f()=2sin(2+)的图象为M,则下列结论中正确的是( )
A.图象M关于直线=﹣对称
B.由y=2sin2的图象向左平移得到M
C.图象M关于点(﹣,0)对称
D.f()在区间(﹣,)上递增
【解答】解:∵函数f()=2sin(2+)的图象为M,令=﹣,可得f()=0,
可得图象M关于点(﹣,0)对称,故图象M不关于直线=﹣对称,故C正确且A不正确;
把y=2sin2的图象向左平移得到函数y=2sin2(+)=2sin(2+)的图象,故B不正确;
在区间(﹣,)上,2+∈(0,π),函数f()=2sin(2+)在区间(﹣,)上没有单调性,故D错误,
故选:C.
9.(5分)函数y=sin2(﹣)的图象沿轴向右平移m个单位(m>0),所得图象关于y轴对称,则m的最小值为( )
A.π B. C. D.
【解答】解:函数y=sin2(﹣)==的图象沿轴向右平移m个单位(m>0),
可得y=的图象,
再根据所得图象关于y轴对称,可得2m=(2+1)•,∈,
即m═(2+1)•,则m的最小值为,
故选:D.
10.(5分)已知f()是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递减,若实数a满足f(3|2a+1|)>f(﹣),则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣)∪(﹣,+∞) B.(﹣∞,﹣)
C.(﹣,+∞) D.(﹣,﹣)
【解答】解:∵函数f()是偶函数,
∴f(3|2a+1|)>f(﹣),等价为f(3|2a+1|)>f(),
∵偶函数f()在区间(﹣∞,0)上单调递减,
∴f()在区间[0,+∞)上单调递增,
∴3|2a+1|>,即2a+1<﹣或2a+1>,解得a<﹣或a>﹣,
故选A.
11.(5分)已知α∈[,],β∈[﹣,0],且(α﹣)3﹣sinα﹣2=0,8β3+2cos2β+1=0,则sin(+β)的值为( )
A.0 B. C. D.1
【解答】解:∵(α﹣)3﹣sinα﹣2=0,
可得:(α﹣)3﹣cos()﹣2=0,即(﹣α)3+cos()+2=0
由8β3+2cos2β+1=0,
得(2β)3+cos2β+2=0,
∴可得f()=3+cos+2=0,
其,2=2β.
∵α∈[,],β∈[﹣,0],
∴∈[﹣π,0],2β∈[﹣π,0]
可知函数f()在∈[﹣π,0]是单调增函数,方程3+cos+2=0只有一个解,
可得,即,
∴,
那么sin(+β)=sin=.
故选:B.
12.(5分)若区间[1,2]的 长 度 定 义 为|2﹣1|,函数f()=(m∈R,m≠0)的定义域和值域都是[a,b],则区间[a,b]的最大长度为( )
A. B. C. D.3
【解答】解:函数f()=(m∈R,m≠0)的定义域是{|≠0},则[m,n]是其定义域的子集,
∴[m,n]⊆(﹣∞,0)或(0,+∞).
f()==﹣在区间[a,b]上时增函数,
则有:,
故a,b是方程f()=﹣=的同号相异的实数根,
即a,b是方程(m)2﹣(m2+m)+1=0同号相异的实数根.
那么ab=,a+b=,只需要△>0,
即(m2+m)2﹣4m2>0,解得:m>1或m<﹣3.
那么:n﹣m==,
故b﹣a的最大值为,
故选:A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13.(5分)计算:log3+lg4+lg25+(﹣)0= .
【解答】解:原式=+lg102+1=+2+1=.
故答案为:.
14.(5分)已知扇形的面积为4cm2,扇形的圆心角为2弧度,则扇形的弧长为 4cm .
【解答】解:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,扇形的面积为S,
则:r2===4.解得r=2,
∴扇形的弧长为l=rα=2×2=4cm,
故答案为:4cm.
15.(5分)若α∈(0,π),且cos2α=sin(+α),则sin2α的值为 ﹣1 .
【解答】解:∵α∈(0,π),且cos2α=sin(+α),∴cos2α=2sin(+α),
∴(cosα+sinα)•(cosα﹣sinα)=(cosα+sinα),
∴cosα+sinα=0,或cosα﹣sinα=(不合题意,舍去),
∴α=,∴2α=,∴sin2α=sin=﹣1,
故答案为:﹣1.
16.(5分)已知正实数,y,且2+y2=1,若f(,y)=,则f(,y)的值域为 [,1) .
【解答】解:2+y2=1;
∴
=
=
=
=
=;
∵1=2+y2≥2y,且,y>0;
∴;
∴1<1+2y≤2;
∴;
∴;
∴f(,y)的值域为.
故答案为:[,1).
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知全集U=R,函数的定义域为集合A,集合B={|5≤<7}
(1)求集合A;
(2)求(∁UB)∩A.
【解答】解:(1)由题意可得:;
解得3≤<10;
∴A={|3≤<10};
(2)CUB={|<5或≥7};
∴(CUB)∩A={|3≤<5或7≤<10}.
18.(12分)在平面直角坐标系Oy中,若角α的始边为轴的非负半轴,其终边经过点P(2,4).
(1)求tanα的值;
(2)求的值.
【解答】解:(1)由任意角三角函数的定义可得:.
(2)
==.
19.(12分)已知二次函数f()=m2+4+1,且满足f(﹣1)=f(3).
(1)求函数f()的解析式;
(2)若函数f()的定义域为(﹣2,2),求f()的值域.
【解答】解:(1)由f(﹣1)=f(3)可得该二次函数的对称轴为=1…(2分)
即从而得m=﹣2…(4分)
所以该二次函数的解析式为f()=﹣22+4+1…(6分)
(2)由(1)可得f()=﹣2(﹣1)2+3…(9分)
所以f()在(﹣2,2]上的值域为(﹣15,3]…(12分)
20.(12分)已知函数f()=sin2ω+2cosωsinω+sin(ω+)sin(ω﹣)(ω>0),且f()的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f()在区间(0,π)上的单调增区间.
【解答】解:(1)f()=sin2ω+2cosωsinω+sin(ω+)sin(ω﹣),
=+sin2ω﹣(cos2ω﹣sin2ω),
=;…(5分)
由题意得,即可得ω=1…(6分)
(2)由(1)知
则由函数单调递增性可知:
整理得:…(9分)
∴f()在(0,π)上的增区间为,…(12分)
21.(12分)已知函数f()=log2()﹣(m为常数)是奇函数.
(1)判断函数f()在∈(,+∞)上的单调性,并用定义法证明你的结论;
(2)若对于区间[2,5]上的任意值,使得不等式f()≤2+m恒成立,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由条件可得f(﹣)+f()=0,即 ,
化简得1﹣m22=1﹣42,从而得m=±2;由题意m=﹣2舍去,
所以m=2,即,上为单调减函数;
证明如下:设,则f(1)﹣f(2)=log2()﹣1﹣log2()+2,
因为<1<2,所以2﹣1>0,21﹣1>0,22﹣1>0;
所以f(1)﹣f(2)>0,即f(1)>f(2);
所以函数f()在∈(,+∞)上为单调减函数;
(2)设g()=f()﹣2,由(1)得f()在∈(,+∞)上为单调减函数,
所以g()=f()﹣2在[2,5]上单调递减;
所以g()=f()﹣2在[2,5]上的最大值为,
由题意知n≥g()在[2,5]上的最大值,所以.
22.(12分)已知函数f()=a(|sin|+|cos|)﹣sin2﹣1,若f()=﹣.
(1)求a的值,并写出函数f()的最小正周期(不需证明);
(2)是否存在正整数,使得函数f()在区间[0,π]内恰有2017个零点?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)函数f()=a(|sin|+|cos|)﹣sin2﹣1,
∵f()=﹣.
∴a(sin+cos)﹣sin﹣1=﹣.
解得:a=1,
函数f()的最小正周期T=π,
(2)存在n=504,满足题意:
理由如下:
当时,,
设t=sin+cos,则 ,sin2=t2﹣1,
则,可得 t=1或,
由t=sin+cos图象可知,在上有4个零点满足题意.
当时,,t=sin﹣cos,
则 ,sin2=1﹣t2,
,,t=1或,
∵,
∴在上不存在零点.
综上讨论知:函数f()在[0,π)上有4个零点,而2017=4×504+1,
因此函数在[0,504π]有2017个零点,所以存在正整数=504满足题意.