2018届湖北省华师一附中高三9月调研考试理科数学试题

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湖北省华师一附中2017-2018学年高三9月调研考试
理科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知x(

2
，0），osc
x
4，则tan2x（）
5
24
（A）7（B）7（C）24（D）
724247
8sin2．圆锥曲线的准线方程是（）2cos
（A）cos2（B）cos2（C）sin2（D）sin22x1x03．设函数f(x1，若f(x01，则x0的取值范围是（）2x0x
（A）(1,1（B）(1,（C）(,2(0,（D）(,1(1,4．函数y2sinx(sinxcosx的最大值为（）（A）12（B）21（C）2（D）2
5．已知圆C：(xa2(y224（a0）及直线l：xy30，当直线l被C截得的弦长为23时，则a=（）
（A）2（B）22（C）21（D）21
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）
3829
（A）2R（B）R2（C）R2（D）R2
2347．已知方程(x22xm(x22xn0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则
4
|mn|（）
3
（A）1（B）3（C）1（D）
824
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
2
，则此双曲线的方程是（）3
2
2
xyx2y2x2y2x2y2
（A）11（C）1（D）1（B）
25435234


9．若O为ABC所在平面内任一点，且满足(OBOC(OBOC2OA0，则ABC一定是（）
A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D．等腰直角三角形
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P依次反射到CD、DA和AB上的点P2、1后，，设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tan的取值P3和P4（入射角等于反射角）
范围是（）（A）（1，1）（B）（
3
21221
，）（C）（，）（D）（2，）
333525
11.定义在R上的函数f(x满足：f(x1f(x，f(06，f(x是f(x的导函数，则不等式ef(xe5（其中e为自然对数的底数）的解集为(
A．0,

B．,0U3,C．,0U1,

D．3,
x
x
12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）3（B）4（C）33（D）6
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
192
13．(x的展开式中x9系数是
2x14．使log2(xx1成立的x的取值范围是
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）

16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中
点，能得出l面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）



三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17.(本小题满分12分
212Sn(n2.已知数列{an}中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an
42Sn1
(Ⅰ求证：数列(Ⅱ证明：S1
1
是等差数列；Sn
11131S2S3...Sn23n22

18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱
AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G
（I）求A1B与平面ABD所成角的余弦值（II）求点A1到平面AED的距离


19.（本小题满分12分）
已知c0，设P：函数ycx在R上单调递减，Q：不等式x|x2c|1的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.



20.（本小题满分12分）
a2
ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长.
21．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，且cos
2
，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风10
侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？


22．（本小题满分14分）
已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
BECFDG
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存BCCDDA
在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由



1x1txcos2
23.已知直线l:(t为参数,曲线C1:（为参数）.
ysiny3t
2
（Ⅰ）设l与C1相交于A,B两点,求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
13
倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲22
线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试
答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1．D2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．D9．B10．C11．A12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．
21
14．（-1，0）15．7216．①④⑤2
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.


2
112Sn
2，SS2SSSS17.解：（Ⅰ）当n2时，n,n1nnn1，n1
SS2Sn1nn1
从而
1
构成以4为首项，2为公差的等差数列.Sn
111
(n122n2S（Ⅱ）由（1）可知，，nSnS12(n1
18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF,FC，∵D,E分别是CC1,A1B的中点，又DC平面
ABC，则CDEF为正方形，连接DE，G是ADB的重心，且GDF，在直角三角形EFD
中
，
1EF2FGFDFD2
3
，EF1
FD3
，
ED2,EG
126
，33
，FCCD2AB22,AB123,EB3
sinEBG
EG612
.EB333
7.3
，
即cosEBG
EDAB,EDEF,又EFABF,ED面A1AB，D面AED（Ⅱ）解：又E
AE，垂足为K，所以A1K平面AED，即A1K是即平面AED平面A1AB，作AK1A1到平面AED的距离，在三角形A1AB1中，A1KA1到平面AED的距离为26。
3
A1AA1B122226
，则
AB1323



19．解：函数ycx在R上单调递减0c1.
的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.不等式x|x2c|1
2x2c,x2c,
x|x2c|,所以函数yx|x2c|在R上最小值为2c.
2c,x2c,
不等式|xx2c|1的解集为R，2c1c如果P正确，Q不正确，则0c
1
，2
1
，如果P不正确，Q正确，则c12
所以c的取值范围为(0,][1,
12
1a1a2
20.解：（1）由题设得acsinB，即csinB.
23sinA23sinA
1sinA2
sinCsinB.故sinBsinC.23sinA3
11
（2）由题设及（1）得cosBcosCsinBsinC,，即cos(BC.
22
由正弦定理得
2ππ1a2
所以BC，故A.由题设得bcsinA，即bc8.
3323sinA
由余弦定理得bcbc9，即(bc23bc9，得bc33.故△ABC的周长为333.
21．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（x,
22x30020t,的坐标为此时台风侵袭的区域是(xx2(yy[r(t]2,102
y30072202t.102
2
2
y）
其中r(t10t60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0x2(0y2(10t602.即(300
2227222
20t(30020t102102
(10t602,即t236t2880,解得12t24
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
解法二：解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，台风侵袭范围的圆形区域半径为10t60，由cos
272，可知sin，1010


，则cosOPQcos(45coscos45sinsin45
在OPQ中，由余弦定理，得|OQ|2|OP|2|PQ|22|OP||PQ|cosOPQ
45
3002(20t2230020t
4
400t29600t90000，5
rt）若城市O受到台风的侵袭，则有OQ（，即400t29600t90000(10t602，
整理，得t236t2880，解得12t24，所以，12小时后该城市开始受到台风侵袭。

22.根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P
0,B(2，0,C(2，4a,D(-2，4a到两点距离的和为定值.按题意有A(-2，
设
BECFDG
k(0k1由此有E(2，4ak,F(24k，4a,G(2，4a4akBCCDDA
直线OF的方程为：2ax(2k1y0①直线GE的方程为：a(2k1xy2a0②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2a2x2y22ay0
x2(ya2
1122a整理得1当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.a
2
212
当a时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长
2
当a当a
2
2
111时，点P到椭圆两个焦点（a2,a,(a2,a的距离之和为定值2222
111
时，点P到椭圆两个焦点（0，aa2,(0,aa2的距离之和为定值2
222
a.
23.解.（I）的普通方程为y
3(x1,C1的普通方程为x2y21.


联立方程组则|AB|1.
y3(x1,13A(1,0C解得与的交点为,B(,,21222xy1,

x
（II）C2的参数方程为
y
点P到直线的距离是
1
cos,2(为参数.故点P的坐标是(1cos,3sin,从而322sin.2

|d
33cossin3|
,322[2sin(2]
244
由此当sin(

4
1时,d取得最小值,且最小值为
6
(21.4

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