指数、对数函数公式

发布时间：2020-09-26 23:59:43

指数函数和对数函数

重点、难点：

重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数在及两种不同情况。

1、指数函数：

定义：函数叫指数函数。

定义域为R，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数中的a必须。

因为若时，，当时，函数值不存在。

，，当，函数值不存在。

时，对一切x虽有意义，函数值恒为1，但的反函数不存在，因为要求函数中的。

1、对三个指数函数的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征	函数性质
（1）图象都位于x轴上方；	（1）x取任何实数值时，都有；
（2）图象都经过点（0，1）；	（2）无论a取任何正数，时，；
（3）在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反；	（3）当时，当时，
（4）的图象自左到右逐渐上升，的图象逐渐下降。	（4）当时，是增函数，当时，是减函数。

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。

②与的图象关于y轴对称。

③通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数：

定义：如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作（a是底数，N 是真数，是对数式。）

由于故中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

（2）对数恒等式：

由

将（2）代入（1）得

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。

计算：

解：原式。

（3）对数的性质：

①负数和零没有对数；

②1的对数是零；

③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：

①

②

③

④

3、对数函数：

定义：指数函数的反函数叫做对数函数。

1、对三个对数函数

的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征	函数性质
（1）图象都位于 y轴右侧；	（1）定义域：R+，值或：R；
（2）图象都过点（1，0）；	（2）时，。即；
（3），当时，图象在x轴上方，当时，图象在x轴下方，与上述情况刚好相反；	（3）当时，若，则，若，则；当时，若，则，若时，则；
（4）从左向右图象是上升，而从左向右图象是下降。	（4）时，是增函数；时，是减函数。