2018年内蒙古包头市中考数学试卷

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项

1．（3.00分）计算﹣﹣|﹣3|的结果是（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5

2．（3.00分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1

4．（3.00分）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）

A．某个数的绝对值大于0

B．某个数的相反数等于它本身

C．任意一个五边形的外角和等于540°

D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形

5．（3.00分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么的值是（　　）

A． B． C．1 D．3

6．（3.00分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（　　）

A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2

7．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣

8．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°

9．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

10．（3.00分）已知下列命题：

①若a3＞b3，则a2＞b2；

②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2；

③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；

④周长相等的所有等腰直角三角形全等．

其中真命题的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（　　）

A． B． C． D．2

12．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．

13．（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为　 　．

14．（3.00分）不等式组的非负整数解有　 　个．

15．（3.00分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是　 　．

16．（3.00分）化简；÷（﹣1）=　 　．

17．（3.00分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=　 　度．

18．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为　 　．

19．（3.00分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为　 　．

20．（3.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：

①△ACE≌△BCD；

②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；

③DE2=2CF•CA；

④若AB=3，AD=2BD，则AF=．

其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程

21．（8.00分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．

他们的各项成绩如下表所示：

（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；

（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；

（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．

22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．

（1）求BE的长；

（2）求四边形DEBC的面积．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

23．（10.00分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？

24．（10.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．

（1）求证：∠BCD=∠BEC；

（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．

25．（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．

（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；

（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；

（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．

①求的值；

②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．

26．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．

（1）求直线l的解析式；

（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年内蒙古包头市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项

1．（3.00分）计算﹣﹣|﹣3|的结果是（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5

【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：原式=﹣2﹣3=﹣5，

故选：B．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（3.00分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．

【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，

所以其主视图为：

故选：C．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

3．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0，

解得x＞1．

故选：D．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

4．（3.00分）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）

A．某个数的绝对值大于0

B．某个数的相反数等于它本身

C．任意一个五边形的外角和等于540°

D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形

【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．

【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；

B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；

C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；

D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．

故选：C．

【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．

5．（3.00分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么的值是（　　）

A． B． C．1 D．3

【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后代入求值．

【解答】解：∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，

∴a+1=2，b﹣1=1，

解得a=1，b=2．

∴=．

故选：A．

【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是解答本题的关键．

6．（3.00分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（　　）

A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2

【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本题．

【解答】解：数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，

，

则=2，

故选：B．

【点评】本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差．

7．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣

【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣．

【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，

∵AB=2，∠ABC=30°，

∴AE=AB=1，

又∵BC=4，

∴阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣，

故选：A．

【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．

8．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°

【分析】由AB=AC知∠B=∠C，据此得2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED﹣∠C可得答案．

【解答】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，

又∵∠C+∠BAC=145°，

∴∠C=35°，

∵∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠AED=45°，

∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°，

故选：D．

【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．

9．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．

【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根

∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，

∴m≤3．

∵m为正整数，且该方程的根都是整数，

∴m=2或3．

∴2+3=5．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．

10．（3.00分）已知下列命题：

①若a3＞b3，则a2＞b2；

②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2；

③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；

④周长相等的所有等腰直角三角形全等．

其中真命题的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】依据a，b的符号以及绝对值，即可得到a2＞b2不一定成立；依据二次函数y=x2﹣2x﹣1图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得y1＞y2＞﹣2；依据a∥b，b⊥c，即可得到a∥c；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等．

【解答】解：①若a3＞b3，则a2＞b2不一定成立，故错误；

②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2，故正确；

③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；

④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确．

故选：C．

【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（　　）

A． B． C． D．2

【分析】利用直线l1：y=﹣x+1，即可得到A（2，0）B（0，1），AB==3，过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD=AO=，CD=BO=，进而得到C（，），代入直线l2：y=kx，可得k=．

【解答】解：直线l1：y=﹣x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，

即A（2，0）B（0，1），

∴Rt△AOB中，AB==3，

如图，过C作CD⊥OA于D，

∵∠BOC=∠BCO，

∴CB=BO=1，AC=2，

∵CD∥BO，

∴OD=AO=，CD=BO=，

即C（，），

把C（，）代入直线l2：y=kx，可得

=k，

即k=，

故选：B．

【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．

12．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．

【解答】解：如图，

在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，

∴BD=2，

连接DE，

∵∠BDC=90°，点D是BC中点，

∴DE=BE=CEBC=2，

∵∠DCB=30°，

∴∠BDE=∠DBC=30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠BDE，

∴DE∥AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴，

在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，

∴AB=3，

∴，

∴，

∴DF=BD=×2=，

故选：D．

【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．

13．（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为　﹣2　．

【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．

【解答】解：由题意知，

①+②，得：4a﹣4b=8，

则a﹣b=2，

∴b﹣a=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．

14．（3.00分）不等式组的非负整数解有　4　个．

【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．

【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，

解不等式x﹣≤，得：x≤8，

则不等式组的解集为x＜4，

所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，

故答案为：4．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

15．（3.00分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是　　．

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．

【解答】解：列表如下：

由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，

∴积为大于﹣4小于2的概率为=，

故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（3.00分）化简；÷（﹣1）=　﹣　．

【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．

【解答】解：原式=÷（﹣）

=÷

=•

=﹣，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

17．（3.00分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=　115　度．

【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．

【解答】解：

连接OC，

∵DC切⊙O于C，

∴∠DCO=90°，

∵∠D=40°，

∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，

∴的度数是130°，

∴的度数是360°﹣130°=230°，

∴∠BEC==115°，

故答案为：115．

【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题的关键．

18．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为　　．

【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．

【解答】解：∵3AE=2EB，

∴可设AE=2a、BE=3a，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴=（）2=（）2=，

∵S△AEF=1，

∴S△ABC=，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△ADC=S△ABC=，

∵EF∥BC，

∴===，

∴==，

∴S△ADF=S△ADC=×=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．

19．（3.00分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为　3　．

【分析】由双曲线y=（x＞0）经过点D知S△ODF=k=，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=，据此可得OA•BE=3，根据OA=OB可得答案．

【解答】解：如图，

∵双曲线y=（x＞0）经过点D，

∴S△ODF=k=，

则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，

∴OA•BE=3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴OB•BE=3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．

20．（3.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：

①△ACE≌△BCD；

②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；

③DE2=2CF•CA；

④若AB=3，AD=2BD，则AF=．

其中正确的结论是　①②③　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①正确；

先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②正确；

先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CF•AC，最后用勾股定理即可得出③正确；

先求出BC=AC=3，再求出BD=，进而求出CE=CD=，求出CF=，即可判断出④错误．

【解答】解：∵∠ACB=90°，

由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，，

∴△BCD≌△ACE，故①正确；

∵∠ACB=90°，BC=AC，

∴∠B=45°

∵∠BCD=25°，

∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠AEC=∠BDC=110°，

∵∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠CED=45°，

则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°，故②正确；

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，

∵∠ECF=∠ACE，

∴△CEF∽△CAE，

∴，

∴CE2=CF•AC，

在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③正确；

如图，过点D作DG⊥BC于G，

∵AB=3，

∴AC=BC=3，

∵AD=2BD，

∴BD=AB=，

∴DG=BG=1，

∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2，

在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD==，

∵△BCD≌△ACE，

∴CE=，

∵CE2=CF•AC，

∴CF==，

∴AF=AC﹣CF=3﹣=，故④错误，

故答案为：①②③．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．

三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程

21．（8.00分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．

他们的各项成绩如下表所示：

（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；

（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；

（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．

【分析】（1）根据中位数的概念计算；

（2）根据题意列出方程，解方程即可；

（3）根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩，比较即可．

【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为：=89（分）；

（2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6

解得，x=86，

答：表中x的值为86；

（3）甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分），

乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分），

丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分），

∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．

【点评】本题考查的是中位线、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解题的关键．

22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．

（1）求BE的长；

（2）求四边形DEBC的面积．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；

（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；

【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠BDE=15°，

∴∠ADE=30°，

在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2，AD=DE•cos30°=6，

∴AB=AD=6，

∴BE=6﹣2．

（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，

∴BF=AD=6，DF=AB=6，

在Rt△DFC中，FC==4，

∴BC=6+4，

∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD=×（6﹣2）×6+（6+4）×6=36+6．

【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

23．（10.00分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？

【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；

（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．

【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，

根据题意得：=﹣30，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解．

答：该商店3月份这种商品的售价是40元．

（2）设该商品的进价为y元，

根据题意得：（40﹣a）×=900，

解得：a=25，

∴（40×0.9﹣25）×=990（元）．

答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

24．（10.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．

（1）求证：∠BCD=∠BEC；

（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．

【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；

（2）先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵DE是⊙A的直径，

∴∠DCE=90°，

∴∠BEC+∠CDE=90°，

∵AD=AC，

∴∠CDE=∠ACD，

∴∠BCD=∠BEC，

（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，

∴△BDC∽△BCE，

∴，

∵BC=2，BD=1，

∴BE=4，EC=2CD，

∴DE=BE﹣BD=3，

在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，

∴CD=，CE=，

过点F作FM⊥AB于M，

∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，

∴△AFM∽△BAC，

∴，

∵DE=3，

∴AD=AF=AC=，AB=，

∴FM=，

过点F作FN⊥BC于N，

∴∠FNC=90°，

∵∠FAB=∠ABC，

∴FA∥BC，

∴∠FAC=∠ACB=90°，

∴四边形FNCA是矩形，

∴FN=AC=，NC=AF=，

∴BN=，

在Rt△FBN中，BF=，

在Rt△FBM中，sin∠ABF=．

【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．

25．（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．

（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；

（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；

（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．

①求的值；

②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．

【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；

（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK=，最后用勾股定理即可得出结论；

（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=，CH=，再判断出△EMN∽△EHD，的粗，△ED'M∽△ECH，得出，进而得出，即可得出结论；

②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出，即可．

【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°

在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=，

∵O是BD中点，

∴OD=OB=OA=，

∴∠OAD=∠ODA，

∵OE=DE，

∴∠EOD=∠ODE，

∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，

∴△ODE∽△ADO，

∴，∴

DO2=DE•DA，

∴设AE=x，

∴DE=5﹣x，

∴（）2=5（5﹣x），

∴x=，

即：AE=；

（2）如图2，在矩形ABCD中，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB=3，

∴AE=CD=3，

∵EF⊥EC，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠CED=90°，

∵∠A=90°，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠CED=∠AFE，

∵∠D=∠A=90°，

∴△AEF≌△DCE，

∴AF=DE=2，

∴BF=AB﹣AF=1，

过点G作GK⊥BC于K，

∴∠EBC=∠BGK=45°，

∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，

∵∠KCG=∠BCF，

∴△CHG∽△CBF，

∴，

设BK=GK=y，

∴CK=5﹣y，

∴y=，

∴BK=GK=，

在Rt△GKB中，BG=；

（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，

∵AE=1，AD=5，

∴DE=4，

∵DC=3，

∴EC=5，

由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，

∴D'C=1，

设D'H=DH=z，

∴HC=3﹣z，

根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，

∴z=，

∴DH=，CH=，

∵D'N⊥AD，

∴∠AND'=∠D=90°，

∴D'N∥DC，

∴△EMN∽△EHD，

∴，

∵D'N∥DC，

∴∠ED'M=∠ECH，

∵∠MED'=∠HEC，

∴△ED'M∽△ECH，

∴，

∴，

∴，

∴；

②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，

∴∠MD'H+∠ED'N=90°，

∵∠END'=90°，

∴∠ED'N+∠NED'=90°，

∴∠MD'H=∠NED'，

∵D'N∥DC，

∴∠EHD=∠D'MH，

∴∠EHD'=∠D'MH，

∴D'M=D'H，

∵AD∥BC，

∴∠NED'=∠ECB，

∴∠MD'H=∠ECB，

∵CE=CB=5，

∴，

∴△D'MH∽△CBE．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．

26．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．

（1）求直线l的解析式；

（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；

（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；

（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+x﹣2，

∴当y=0时，得x1=1，x2=﹣4，当x=0时，y=﹣2，

∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），

∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，

，得，

即直线l的函数解析式为y=；

（2）直线ED与x轴交于点F，如右图1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°，

∴AC=2，

∴OD=，

∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，

∴△AOD∽△ACO，

∴，

即，得AD=，

∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，

∴EF∥OC，

∴△ADF∽△ACO，

∴，

解得，AF=，DF=，

∴OF=4﹣=，

∴m=﹣，

当m=﹣时，y=×（）2+×（﹣）﹣2=﹣，

∴EF=，

∴DE=EF﹣FD=；

（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，

理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如右图2所示，

∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，

∴tan∠OAC=，tan∠OCB=，AC=2，

∴∠OAC=∠OCB，

∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，∠GAM=∠OAC﹣∠BAG，

∴∠BAP=∠GAM，

∵点G（0，﹣1），AC=2，OA=4，

∴OG=1，GC=1，

∴AG=，，即，

解得，GM=，

∴AM===，

∴tan∠GAM==，

∴tan∠PAN=，

设点P的坐标为（n，n2+n﹣2），

∴AN=4+n，PN=n2+n﹣2，

∴，

解得，n1=，n2=﹣4（舍去），

当n=时，n2+n﹣2=，

∴点P的坐标为（，），

即存在点P（，），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG．

【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．

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