大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导

第一章 函数

一．本章重点

复合函数及分解，初等函数的概念。

二．复习要求

1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中

⑴. 对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：

⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.

4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、 知道分段函数，隐函数的概念。

. 三．例题选解

例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？

⑴.

⑵.

分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。

解：

⑴.⑵.

例2. 的定义域、值域各是什么？＝？

答：

是

的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知的定义域是，值域为.

四．练习题及参考答案

1.

则f(x)定义域为 ，值域为

f(1) = ； .

2.

则f(x)定义域为 ，值域为

f(1) = ； .

3.分解下列函数为简单函数的复合：

⑴.

⑵.

答案：

1.（-∞ +∞）, ,

2.

.3. ⑴.

⑵.

自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；

习题一.（B）.11.

第二章 极限与连续

一．本章重点

极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。

二．复习要求

1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。

2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：

3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：

当→0时,有：

～； ～

～;

～;

～

～.…….

（参见教材P79）

4.掌握两个重要极限:

(Ⅰ).

(Ⅱ).

记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限：

5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：

当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：

.

6. 掌握函数间断点及类型的判定。

函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必至少有下列三种情况之一发生：

⑴、在点无定义；

⑵、不存在；

⑶、存在，但.

若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即存在时），称为的可去间断点；

时称为的跳跃间断点。

不是第一类间断点的都称为第二类间断点。

7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。

8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。

三.例题选解

例1.单项选择题

⑴下列极限中正确的是（ ）

A. B.

C. D.

⑵ 当时，是的

（ ）

A.低阶无穷小； B.高阶无穷小；

C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；

D. 等价无穷小；

分析与解：

1． A与 C显然都不对，对于D,

记，

则

∴

即D也不对，剩下的B就是正确答案。

2． 由于

∴ 应选择D.

例3.求极限：

解: 此极限为型

∵当时，有

～, ～

∴

此极限为型，可用重要极限。

＝

.

例2．判断函数 的间断点，并判断其类型。

解：由于

∴是函数y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。

∵

∴ 为函数 y 的可去间断点；

∵

∴ 为函数 y 的第二类（无穷型）间断。

例3．函数

在点处连续，求常数k .

分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是

∵ ∴

四.练习题及参考答案

1.填空

.当时，与

相比，是

__________________无穷小；

. __________________；

⑶.______________.

2.单项选择题

．设，下面说法正确的是________；

A. 点都是可去间断点；

B. 点是跳跃间断点，点是无穷间断点；

C. 点是可去间断点，点是无穷间断点；

D. 点是可去间断点，点是跳跃间断点；

．下面正确的是______________.

A. ； B. ；

C. 不存在； D. .

答案:1. .同阶而不等价的 ；. ；⑶..

2. .C; .B .

自我复习.习题二(A)

11. (4).24. ⑴,(4),⑺.

27.⑴. (4).28.⑴,⑵.

30.⑵.37．⑴,⑶.

习题二(B).14.

第三章 导数与微分

一.本章重点.

导数的概念，导数及微分的计算.

二.复习要求

1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。

导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式：

.

2.知道导数的几何意义，会求在处的切线方程。

3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：

运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； 复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。

4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。

5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。

6.掌握函数可微,可导及连续的关系。

三.例题选解

例1.求下列函数的导数：

． ，求

⑵．=, 求.

⑶．设=，求

⑷. ,求

解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：

.

⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。

原方程两边取对数：

上式两边对求导，视为中间变量:

=

注：本题除此方法外，也可以：

3． ∵ .

∴

⑷.

例2. 设在处可导,且.

求

分析:将在处的导数的定义式理解为结构式:

=

其中为或的函数.且当时,即可.

解:

例3．求曲线 在点

处的切线方程。

解：显然，点在曲线上，

现求切线的斜率，即

曲线方程两边对x求导：

解得

∴＝1

切线方程为：

即

例4、设

试讨论在处的连续性及可导性。

分析与解：由已知，；

（1）讨论在处的连续性。

∵

∴在处连续。

（2）讨论在处的可导性。

分段函数在分段点的导数必须用定义求：

即存在

四.练习题及参考答案

1.单项选择题

.设

下面说法正确的是（ ）.

A.在不连续；

B. .在连续，但不可导；

C. 在可导，且；

D. 在可导，且.

2.填空题

在处可导，且,则

（1）

3.求函数的导数或微分：

, 求

⑵,

求

⑶．，求.

4.设确定是的函数，求

，并求出函数在点的切线方程。

5、证明：（1）若是偶函数且可导，那么是奇函数，（2）若是奇函数且可导，那么是偶函数，

答案：1.D. 2.

3.⑴.

(2). ；

⑶..

4.；

切线方程：.

自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；

47.⑴，⑵．54.

习题三(B) 1 ；3；11.

第四章 中值定理与导数的应用

一.本章重点

求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；

二.复习要求

1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。

2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型或“”型未定式才能使用法则。

⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.

⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。

3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。

4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.

5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.

6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.

三.例题选解

例1. 求下列极限

(1).

(2).

(3).

解：

(1)

.

(2) 原式为幂指型不定式（型），利用代数变换：，得：

其中

（代换）

（）

. ∴原式＝

(3)

=

= （代换）

（洛必达）

＝.

例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。

解：函数的定义域为

，

。

令，得驻点，

；无不可导点。

两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：

令

得 ，无不存在的点。曲线的

凹向及拐点列表讨论如下：

由上面的讨论看出：

函数的单减区间为 ；

单增区间为。极小值是，

极大值是。

曲线的凸区间是

凹区间是。

曲线的拐点有三个：，

，。

例3.证明不等式

分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令

则问题转化为证

即证在时，单减。

∵

∴时，单减，有

∴也单减，有， 证毕。

例4.证明：对任意，有

分析： 本题为恒等式的证明。我们设

由拉格朗日定理的推论，若能证明

则，再确定

即可。

证：当时，

∴

∵

∴ ，证毕！

例5求出函数在区间

上的最大、最小值。

解：显然函数在闭区间

上连续，因而必存在最大、最小值。

由，解得区间内的可疑点为：

. 比较以下函数值，

得 .

例6.某食品加工厂生产单位的总成本为，得到的总收益是，求出生产该商品单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。

解：⑴.利润函数

边际利润函数.

⑵.当时，

⑶.令

解得：

，

∴产量单位时，可获最大利润。

注：设函数可导，导函数也称为边际函数。

四.练习题与参考答案

1. 求极限

(1)

⑵

⑶

2. 证明. 当时，有:

.

3证明：

4 .求单调区间和极值，凹凸区间和拐点。

5. 证明当时，有：

，并求出常数C.

参考答案：

1. (1). ； ⑵. ； ⑶..

4. 单增区间；

单减区间；极大值，

极小值；

上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）.

5. .

自我复习：

习题四 （A）

8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。

习题四 （B） 10；12.

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