概率论与数理统计1_8课后习题答案

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第一章思考题
1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？
2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死”，医生的说法对吗？为什么？
３．圆周率3.1415926是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保持了1000多年!以后有人不断把它算得更精确.1873年,英国学者沈克士公布了一个的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多!但几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了的608位小数,得到了下表:
数字0123456789

出现次数60626768645662445867
你能说出他产生怀疑的理由吗?
答：因为是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.
4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？
５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？
６．条件概率是否是概率？为什么？
习题
1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次
答：样本空间由如下4个样本点组成{(正,正，(正,反，(反,正，(反,反}（2）将两枚骰子抛掷一次
答：样本空间由如下36个样本点组成{(i,ji,j1,2,3,4,5,6}（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出
答：结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成.{(x,yx0,y0}2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1“甲未中靶”：A;(2“甲中靶而乙未中靶”：AB;(3“三人中只有丙未中靶”：ABC;
(4“三人中恰好有一人中靶”：ABCABCABC;(5“三人中至少有一人中靶”：ABC;

(6“三人中至少有一人未中靶”：ABC;或ABC;(7“三人中恰有两人中靶”：ABCABCABC;(8“三人中至少两人中靶”：ABACBC;(9“三人均未中靶”：ABC;
(10“三人中至多一人中靶”：ABCABCABCABC;(11“三人中至多两人中靶”：ABC;或ABC;3.设A,B是两随机事件，化简事件(1(A
B(A
B(2(ABABBAB
B(A
B
解:(1(A
(2(A
B(AB(A
ABBB,
ABB(AABB.
4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.
5P
0.3024.解：P10510
5．n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
解法一：试验可模拟为m个红球，nm个白球，编上号，从中任取k个构成一组，则总数为C，而全为白球的取法有C
kn
knm
种，故所求概率为1
kCnmkCn
。
解法二：令Ai—第i人中奖，i1,2,.k,B—无一人中奖，则BA1A2Ak，注意到
A1，A2，，Ak
P(BP(A1P(A2
不
P(
独
A3
立也
Ak
不互

斥：由乘法公式
A1A1A2
P(
A1Ak1
nm(nm1(nm2
nn1n2
CnkmCnkm(nmk1
同除k!,故所求概率为1k
nk1CnkCn
.
6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）
的概率是多少？
12C5C8C52
解：P(A4
C10
7．在1,1上任取一点X，求该点到原点的距离不超过
1155
1
的概率.5
解：此为几何概率问题：[1，1],所求事件占有区间[，]，从而所求概率为

1
1
P5.
25
2
8．在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间:0xa,0ya,0xya，
a
0x2
a
所求事件满足：0y
2
xy(axy
从而所求概率＝
SS
CDEOAB

1.4
9．从区间(0,1内任取两个数，求这两个数
1
的概率。4
解：设所取两数为X,Y,样本空间占有区域,
11
两数之积小于:XY,故所求概率
44
S(S(D1S(D
,P
S(1
的乘积小于
1
而S(D
1
(1
4
11
dx1(1ln4,故所求概率为4x4
1
(1ln4。4
10．设A、B为两个事件，P(A0.9，P(AB0.36，求P(AB。解：P(ABP(AP(AB0.90.360.54;
11．设A、B为两个事件，P(B0.7，P(AB0.3，求P(A解：P(A
B.
BP(AB1P(AB1[P(BP(AB]1[0.70.3]0.6.
12．假设P(A0.4，P(AB0.7，若A、B互不相容，求P(B；若A、
B相互独立，求P(B。
解：若A、B互不相容，P(BP(A
BP(A0.70.40.3；

若A、B相互独立，则由P(ABP(AP(BP(AP(B可得P(B=0.5.
13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.
解：设A{命中仓库}，则A{没有命中仓库}，又设Ai{命中第i仓库}(i1,2,3则P(A10.01,P(A20.02,P(A30.03，根据题意AA1A2A3（其中A1,A2A3两两互不相容）故P(AP(A1P(A2P(A3=0.01+0.02+0.03=0.06所以P(A1P(A10.060.94即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94
14．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少
订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比
解：设A{用户订有日报}，B={用户订有晚报}，则AB{用户至少订有日报和晚报一种}，AB{用户既订日报又订晚报}，已知
P(A0.5,P(B0.65,P(AB0.85，所以
P(ABP(AP(BP(AB0.50.650.850.3
即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%
15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。
解：设A{第一次取得次品}，B{第二次取得正品}，则
AB{第二次才取得正品}，又因为P(A
P(ABP(AP(B
A
1090
，则,P(BA
10099
1090
0.0909
10099
16.设随机变量A、B、C两两独立，A与B互不相容.已知P(B2P(C0且P(B
5
C，求P(AB.
8
解：依题意P(AB0且P(ABP(AP(B，因此有P(A0.又因

5
P(BCP(BP(CP(BP(C3P(C2[P(C]2，解方程
82[P(C]23P(C
5
08
151
P(C，[P(C舍去]P(B，P(A
442
BP(AP(BP(ABP(B0.5.
17．设A是小概率事件，即P(A是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A迟早总会发生（以概率1发生）.解：设事件Ai—第i次试验中A出现(i1,2,,n，∵P(Ai,P(Ai1，(i1,2,
,n，∴n次试验中，至少出现A一次的概率
为
P(A1
A2
An1P(A1
A2
An1P(A1A2
P(An（独立性）
An
1P(A1P(A21(1n
limP(A1∴n

A2An1，证毕.
18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是
111，，，534
求此密码被译出的概率。
解:设A，B，C分别表示{第一、二、三人译出密码}，D表示{密码被译出}，则
P(DP(ABC1PABC
1P(ABC1P(AP(BP(C1..
4233
.
5345
19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i的可靠度为pi，各元件正常工作或失效相互独立



解：(1系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为p1p2p3，从而所求概率为1(1p1p2p33；
2
[1(1p23].（2）同理得p1
20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概
率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.
解：设A1—第一第三台机器发生故障，A2—第一第三台机器发生故障，A3—第一第三台机
器发生故障，D—三台机器中至少有一台发生故障，则
P(A10.1,P(A20.2,P(A30.3，故
P(DP(ABC1PABC
1P(ABC1P(AP(BP(C10.90.80.70.496
21．设A、B为两事件，P(A0.7,P(B0.6,P(B0.4，求P(A
A解：由P(B0.4得
A
B.
P(AB
0.4,P(AB0.12,P(ABP(BP(AB0.48，P(A
P(ABP(AP(BP(AB0.82.
22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?
解：设A—某种动物由出生算起活到20年以上，P(A0.8，B—某种动物由出生算起活到25年以上，P(B0.4，则所求的概率为
P(ABP(B0.4
0.5P(BAP(BA
P(AP(A0.8
23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内
发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率。
解：设A—某地区后30年内发生特大洪灾，P(A0.8，B—某地区后40

年内发生特大洪灾，P(B0.85，则所求的概率为
P(BAP(B0.15
P(B1P(B1110.25.
AA0.2P(AP(A
24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.
今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。
1）问取到白球的概率是多少？
2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A：取到白球，B：从甲球袋取白球
2443
1P(AP(A/BP(BP(A/BP(B5/9
66662P(B/AP(AB/P(A
P(A/BP(B2/9
2/5
P(A5/9
25、一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出
后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设Bi表示第i次抽出次品,(i1,2,由全概率公式
P(B2P(B1P(
B2
B1
P(B1P(
B2
B1
=
211021.121112116
26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h以上的概率.
解：设Bi{取到元件为i等品}(i=1,2,3，A{取到元件能工作500小时以上}则P(B195%,P(B24%,P(B31%
P(A
B1
90%,P(A
B1
B2
80%,P(A
B2
B3
70%
B3

所以P(AP(B1P(AP(B2P(AP(B3P(A
95%90%4%80%1%70%0.894
27．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率
解：以B分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：
i
P(B1=0.4,P(B20.35,P(B30.25,
P(A
B1
0.65,

P(A
B2
0.7,P(A
B3
0.85所求概率为P(A.由全概率公式得：
B1
P(B2P(A
B2
P(B3P(A
B3

P(AP(B1P(A
0.650.40.70.350.850.250.7175.
P(B1
A
P(B1AP(B1P(A|B10.26
0.3624
P(AP(A0.7175
28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的
概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.
解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有
P(A
B
0.95,P(A
B
0.90,P(B0.0005,所求概率为P(B
A
.
P(A
B
0.10,P(B0.9995.由Bayes公式得

P(BP(A
P(BP(A
B
P(BP(A

P(B
A

BB0.00050.95
0.00470.47%0.00050.950.99950.10
29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.
解:设A={敌机被击落}，B={i个射手击中}，i=1,2,3.则B,B,B互不相容.由题
i123意知：P(A以
B1
0.2,P(A
B2
0.6,P(A
B3
1，由于3个射手射击是互相独立的，所
P(B10.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P(B20.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436
P(B30.40.60.70.168
因为事件A能且只能与互不相容事件B,B,B之一同时发生.于是
123（1）由全概率公式得
P(AP(BiP(A|Bi0.3240.20.4360.60.16810.4944
i1
3


（2）由Bayes公式得
P(B3|A
P(B3P(A|B3
P(BP(A|B
i
i
i1
3

0.168
0.34.
0.4944
30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求
（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.
解：A——需经调试A——不需调试B——出厂则P(A30%，P(A70%，P(B|A80%，P(B|A1
（1）由全概率公式：P(BP(AP(B
A
P(AP(B
A

30%80%70%194%.
P(AP(B70P(ABA（2）由贝叶斯公式：P(A.
BP(B94%94
31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.
解：所求的概率为4p2(1p3.
32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n次
才取k次(kn红球的概率。
解：所求的概率为C
k1n1
191010
knk

33．灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h后，最多只有一个坏了的概率。解：由二项概率公式所求概率为
1
P3(0P3(10.23C3(0.220.80.104
34．（Banach问题）某人有两盒火柴，每盒各有n根，吸烟时任取一盒，
并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r根的概率。
解：设试验E—从二盒火柴中任取一盒，A—取到先用完的哪盒，P(A
1
，2
则所求概率为将E重复独立作2nr次A发生n次的概率，故所求的概率为
P2nr(nCn2nr
n
1n1nrC2((nr2nr.
222


第二章

思考题
1.随机变量的引入的意义是什么？
答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.
2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？
答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.
3.除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型.例：设随机变量X~U0,2，令




x,0x1;
g(x
1,1x2.
则随机变量Yg(X既非离散型又非连续型.
事实上，由Yg(X的定义可知Y只在0,1上取值，于是当y0时，FY(y0；
y1时，FY(y1；当0y1时，
FY(yP(g(XyPXy
于是
y
2

0,y0;y
FY(y,0y1;
21,y1.
首先Y取单点{1}的概率P(Y1FY(1FY(10
1
0，故Y不是连续型随2
机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y也不是离散型随机变量.
4.通常所说“X的概率分布”的确切含义是什么？
答：对离散型随机变量而言指的是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.

5.对概率密度f(x的不连续点，如何由分布函数F(x求出f(x？
答：对概率密度f(x的连续点，f(xF(x，对概率密度f(x的有限个不连续点处，可令f(xc（c为常数）不会影响分布函数的取值.
6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？
答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.
习题
1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.
解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,中任何一个实数,样本空间为，则X是定义在样本空间{t|t0}{t|t0}，若用X表示灯泡的寿命（小时）上的函数，即XX(tt是随机变量.
2．一报童卖报,每份0.15元,其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报,并规
定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数,试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.
解：{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}，而当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱}{X666}
3．若P{Xx2}1，P{Xx1}1，其中x1x2，求P{x1Xx2}.解：P{x1Xx2}P{Xx2}P{Xx1}
P{Xx2}[1P{Xx1}]1.
0,x02
4．设随机变量X的分布函数为F(xx,0x1
1,x1
试求（1）PX
131
P1XPX（2）（3）
242
解：(1PX

111F(；224
3399
F(F(10；441616
（2）P1X



（3）
1113
PX1PX1F(.
2224
5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的
乒乓球的个数是
一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.
解：设X表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X的所有可能
3121C3C2C3C32C3163
取值为0，1，2，∵P{X0}3，P{X1}3，P{X2}3
1010C510C5C5
∴随机变量X的概率分布律如下表所示：由F(x
xkx
P
k
可求得F(x如下:
X00.1
10.6
20.3
P
0,x0P{X0},0x1F(x
P{X0}P{X1},1x2P{X0}P{X1}P{X2},x2
0,x0
0.1,0x1，F(x的图形如图所示.0.7,1x21,x2
6．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射
击，命不中就
一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的概率分布解：
12345X

0.90.090.0090.00090.0001P
7.一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.
解：设Ai{第i次取得废品}，Ai{第i次取得合格品}，由题意知，废品数X的可能值为0，1，2，3，事件{X0}即为第一次取得合格品，事件{X1}即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有
P{X0}P(A1
9
0.75，12

P{X1}P(A（A）（P1A2P1
A2
A1A2
）
399
0.2045，121144
A3
A1A2
A3
P{X2}P(A（A）（P1A2A3P1
A1
）（P
A2
）=
3299
0.0409121110220
）（P
A4
A1A2A3
）
P{X3}P(A1A2A3A4P（A1）（P

A1
）（P
A1A2
32191
0.0045
1211109220

所以X的分布律见下表X
P
00.75
10.2045
20.0409
30.0045

8.从110中任取一个数字，若取到数字i(i110的概率与i成正比，即，求k.P（Xi）ki，（i1,2,,10）
解：由条件P，由分布律的性质（Xi）ki，（i1,2,,10）
p
i1
10
i
1,应有
ki1,k55.
i1
10
1
9.已知随机变量X服从参数1的泊松分布，试满足条件PXN0.01的自然数N.
解：因为X~P(1,PXY0.01所以PXN1PXN0.99从而
e
PXN0.99
k!k0
N
查附表得N4
10.某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一
次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有交通事故发生的概率.
ee2
，解得2，解：设X~P(，由题意：P(X1=P(X2，1!2!
所求的概率即为
e20
P(X02e2.
0!
11.一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.

解：设X表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，X~(100,
1
，所求1000
的概率即为P(X0，P(X1，P(X2三者之和.而100个工作时内故障平均次数为100
1
0.1，根据Poisson分布的概率分布近似计算如下：1000
P(X2
0
0!
e


1
1!
e


2
2!
e0.904840.090480.004520.99984

故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.
12.设X~U2,5，现对X进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率.1
2,2x5
解：fx3，令AX3，则pPA，令Y表示三次重复独
30,其余
2
立观察中A出现次数，则Y~B3,，故所求概率为
3
2021321PY2CC3.273333
2
3
2
1
3
0
13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.
解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率p2/3，不发病率q1/3，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X，则XX
k21PXkC5033
k
B(50,2/3，X的分布律为
50k
(k0,1,2,,50
2x,0x1
14.设随机变量X的密度函数为p(x，用Y表示对X的
0,其它
3次独立重复观察中事件{X}出现的次数，求P{Y2}.
1
2
解：Y
(3,p，pP{X}2xdx
0
12
12
1
，由二项概率公式4

139
.P{Y2}C32(2(
4464
ax2ex,
15.已知X的概率密度为f(x
0,
x0
，试求：x0
（1）、未知系数a；（2）、X的分布函数F(x；（3）、X在区间(0,内取
1

值的概率.
解：（1）由axe
0
2x
dx1，解得a

22
.
(2F(xP(Xxf(xdx，∴当x≤0时F(x0,当x>0时，

F(xaxe
0
x
2x
ex22
dx1(x2x2,
2
122
1(x2x2,x0
∴F(x2.
0,x0
（3）P(0X1F(1F(01.
2e
16.设X在(1,6内服从均匀分布，求方程x2Xx10有实根的概率.解:“方程x2Xx10有实根”即{X2}，故所求的概率为
5
P{X2}=
4.5
17.知随机变量X服从正态分布N(a,a2，且YaXb服从标准正态分布
N(0,1，求a,b.
解：由题意
a2b0
(a022
aa1
解得：a1,b1
18.已知随机变量X服从参数为的指数分布，且X落入区间（1，2）内
的概率达到最大，求.解：P(1X2P(X1P(X2e
e2e20,即12e0，

e
2
令
g(,令g(0，即

∴ln2.
19．设随机变量X
N(1,4，求P(0X1.6，P(X1.
011.61
X221.6101
((0.3094
22
11
P(X1((00.5.
2
解：P(0X1.6P(
20.设电源电压X~N220,252，在X200,200X240,X240电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：
（1）该电子元件损坏的概率；
（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率.
解：设A1X200,A2200X240,A3X240，D—电子元件损坏，则（1）
A1,A2,A3完备，由全概率公式







PDPA1PDAPA2PDAPA3PDA，
1
2
3
200220
今PA10.810.80.212，
25
同理PA20.80.820.810.576，
PA310.2120.5760.212，从而PD0.062.
（2）由贝叶斯公式
PA2PDA0.5760.001
A2P0.009.2DPD0.062
21.随机变量X的分布律为
－2－1X
0
1
3
P
1516151151130
求YX2的分布律
0X2
149
解：
1P
.5

730151130
22.变量X服从参数为0.7的0－1分布，求X2及X22X的概率分布.

解．X的分布为
P0.30.7
易见，X2的可能值为0和1；而X22X的可能值为1和0，由于
P{X2u}P{Xu}
X
01
(u0,1，可见X2的概率分布为：


X2P
00.3
10.7
由于P{X22X1}P{X1}0.7，P{X22X0}P{X0}0.3，可得X22X的概率分布为

X22XP
-10.7
00.3
23.X概率密度函数为fX(x
1
，求Y2X的概率密度函数fY(y.2
(1x
解：y2x的反函数为x
yy2y
，代入公式得fY(yfX((.2
22(4y2
24.设随机变量X~U0,2，求随机变量YX2在0,4内概率密度fYy.解法一（分布函数法）当y0时，FYy0,y4时FYy1，当0y4时，
FYyPXyFX
y
11
fy,0y4X
2y4y从而fYy
0,其余

解法二（公式法）yx2在0,2单增，由于反函数xy在0,4可导，xy'从而由公式得
12y
，


11
fy,0y4X
2y4yfYy
0,其余

ex,x0
（x25.fX，求YeX的密度.
0,x0
解法一（分布函数法）因为X0，故Y1，当y1时，FYyPXlnyFXlny，

11lny12,y1fXlnyeyyyfYy.
0,y1
解法二（公式法）yex的值域1,，反函数xlny，故
1
flnylny',y1X
y2fYy.
0,y1

26.设随机变量X服从(0,1上的均匀分布，分别求随机变量YeX和
ZlnX的概率密度fY(y和fZ(z.
解：X的密度为f(x
1,若0x1
，
0,其它
（1）函数yex有唯一反函数，xlny，且1Ye，故
1fX(lny(lny,1yey,1ye
.f(y
0,其它其它0,
（2）在区间(0,1上，函数zlnxlnx，它有唯一反函数xez，且Z0，从而
zzfX(e(e,z0e,z0
.fZ(z
0,其它其它0,
z
27.设fXx为X的密度函数，且为偶函数，求证X与X有相同的分布.


证：即证YX与X的密度函数相同，即fYyfXy.证法一（分布函数法）
FYyPXyPXy1PXy1FXy，pYypXy1pXy，得证.
证法二（公式法）
由于yx为单调函数，pYypXyypXypXy.
28.设随机变量X服从正态分布N(,2，,0，F(x是X的分布
'
函数，随机变量YF(X.求证Y服从区间[0,1]上的均匀分布.
证明：记X的概率密度为f(x，则F(X函数，其反函数F1(x
存在，又因0F(x1，因此Y的取值范围是[0,1].即当0y1时
FY(yPYyPF(XyPXF1(yF[F1(y]y.

x

f(tdt.由于F(x是x的严格单调增
于是Y的密度函数为
1,0y1
pY(y
0,其它
即Y服从区间[0,1]上的均匀分布.
第三章思考题
1(答:错2(答:错3答:错习题
1解：P{XY}P{X1,Y1}P{X1,Y1}(已知独立P{X1}P{Y1}P{X1}P{Y1}
11111.22222
由此可看出,即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布,X与Y一般情况下也不会以概率1相等.2解：由
p
i
j
ij
=1可得：b0.14,从而得：

XY
01
012
P{Yj}
0.060.150.090.30.140.350.210.70.2
P{Xi}
0.50.31
P{Xi,Yj}P{Xi}P{Yj}i0,1,2;j0,1.故X,Y相互独立.P{X1,Y1}F(1,1P{X0,Y0}P{X0,Y1}

P{X1,Y0}P{X1,Y1}0.060.140.150.350.7
3解:p11P(X1,Y1P(AB
P(AP(BA

X1
112
2
0
Y
10
1,12
112
8
p12P(X1,Y0P(ABP(AP(BA
1212

121436
所以:P(BA1P(BA
2,3
P(AB1
P(AB
P(AB12
因为:P(BAP(BA1,
p21P(X0,Y1P(ABP(BAP(BP(AB
p221
1118
,结果如表所示.1261212
3
3
4解:X的边缘分布律为P{X1}1,P{X2}2
Y的边缘分布律为P{Y1}12,P{X2}12Y1的条件下X的条件分布为P{X1Y1}
P{X2,Y1}
1
P{Y1}
P{X1,Y1}
0
P{Y1}
P{X2Y1}
X2的条件下Y的条件分布为
P{Y1X2}
P{X2,Y1}2
,3P{X2}

P{Y2X2}
P{X2,Y2}1
,
3P{X2}
5解：（1）由乘法公式容易求得(X,Y分布律．易知，放回抽样时
P{X0}5,P{X1}1,P{Y0}5,P{Y1}1,
6666
且P{Xi,Yj}P{YjXi}P{Xi}P{Xi}P{Yj}于是(X,Y的分布律为
（2）不放回抽样，则P{X0}5,P{X1}1,,
i0,1;j0,1.
XY
0
01
66
1
25
36536536136
在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个．故P{Y0X0}9
,P{Y1X0}2,1111
又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故
XP{Y0X1}10
,P{Y1X1}1,
1111
Y
01
01
且P{Xi,Yj}P{YjXi}P{Xi}i,j0,1于是(X,Y的分布律为
45
661066166166
放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立．
1
,axb,cyd,
6解f(x,y=(ba(cd
0,否则.
11,axb,cyd
f(y,Y=cdfX(xba
xbyd0,xa0,yc
随机变量X及Y是独立的.
62F(x,y
7解（1）f(x,y==2
(4x2(9y2xy

（2）X的边缘分布函数
FX(xF(x,
1x1x
=(arctg((arctg.
2222222
由此得随机变量X的边缘分布密度函数
fX(x
2d
FX(x
(4x2dx

同理可得随机变量Y的边分布函数
FY(yF(,y
1y1y
=((arctg(arctg3232222
Y的边缘分布密度函数
fY(y
3d
Fy(y2dy(9y
23
=f(x,y，所以X与Y独立.22
(4x(9y
（3）由（2）知fX(xfY(y=
8解因为X与Y相互独立，所以X,Y的联合概率密度为
f(x,yfX(xfY(y
1e2

12
x2y2e2
,x,y12
1
r2
2rdr

r21

211e2,0
P{Z2}
x2y21

x2y2
2dxdy

0
2
de
0
e
P{Z1}
1x2y24

12
x2y2
e2dxdy
12
0
2
d
r22
e2rdr1

r2
2
e21
e

1
2
e2,
P{Z0}
2

xy4
2
1e2

x2y2
2dxdy

12
0
2
de
2

r2
2rdr
e

r2
22
e2,
12.
所以，Z的分布律为:P{Z0}e
,P{Z2}1e
A
9解：（1）由f(x,ydxdy=1，即1Ae(3x4ydxdy，即
0012
A12
2
,P{Z1}e

12
e
2


12e(3x4y,x0,y0
,因此f(x,y=
其它0,
（2）X的边缘概率密度为当x0，fX(x=当y0，fY(y=
0


f(x,ydy=12e(3x4ydy=3e3x，
0

f(x,ydx=12e(3x4ydx=4e4y，
0

3e3x,x0,
可知边缘分布密度为：fX(x=
其它,0,
4e4y,y0
fY(y=
其它,0,
（3）P{0X1,0Y2}=12
10解因为

2(3x4y
edxdy00
1
(1e3(1e8


1111
f(x,ydxdy=1，即cxdxy2dy1，c1,c6
0023
对任意0x1，fX(x=


f(x,ydy=6xy2dy2x，
0
1
2x,
f(x所以X=
0,
对任意0y1，fY(y=
0x1,
其它,

1


f(x,ydx=6xy2dx3y2,，
0
3y2,
所以fY(y=
0,
0y1,

其它,
故f(x,y=fX(xfY(y，所以X与Y相互独立.11解由SD
1
e2
1
dxlnxx
e21
2
1x0
当1xe时，fX(x所以:fX(2
2

1x0
f(x,ydy
11dy,其它fX(x=0.22x
1
.4
12解（1）X，Y的边缘密度为分布密度为：fX(x=
x1dy2x,0x1
x

fY(y=1dx1y,1y1
y
1
1
,yx,f(x,y
故fXY(xy==1y
fY(y
其它,0,
1
f(x,y,
=2xfYX(yx=
fX(x
0,
xy1,
其它,

（2）因为fX(xfY(y1yf(x,y=1，故X与Y不相互独立.
13证设X的概率密度为f(x，Y的概率密度为f(y，由于X,Y相互独立，故(X,Y的联合密度为f(x,y=f(xf(y.于是
P{XY}
xy
f(xf(ydxdyf(xf(ydxdy

f(xdxf(ydy
xy
f(ydy
P{XY}
xy

f(xdxf(ydy
y
交换积分次序可得：


f(xdx
x
f(ydy


f(xdx所以
P{XY}P{XY}1－P{XY}
故P{XY}
1
.2
14解设pP(A，由于X,Y相互独立同分布，于是有
P(BP{Ya}P{Xa}P(Ap,则P(B1p,又
P(ABP(A+P(B－P(AP(B=p+（1p－p1p=p2p1
解得：p1
79
12
,p2,因而a有两个值.33
a1a11a115
由于P(AP{Xa}dx，所以，当p1时，由=得a
1233232

当p2
27a12时，由=得a.
3332
15解（1）XY的可能取值为2，3，4.且
P{XY2}P{X1}P{Y1}
1
,4
1111144442
P{XY3}P{X1}P{Y2}P{X2,Y1}P{XY4}P{X2}P{Y2}
1,4
111
故有:P{XY2},P{XY3},P{XY4};
424
11
（2）由已知易得P{2X2},P{2X4};
22
16解由已知得
(X,Y(1,2(-1,-1(-1,0(1,-2(1,-1(1,0(3,-2(3,-1(3,0
222
概率
1
12
-31
112
-20
3
12

2
122

112
-1
0
2
12
15
024
2
12
33
XYXY
所以有
-1-1
-3
2
1212
5232
XY-3P

XY
-2-1
-3-1
22
13
113212212121212121212
-101
11
3
2
1
5212
2
352
P
3
12121212
2
1212

17证明：对任意的k0,1,,n1n2,我们有
P{Zk}P{Xi}P{Yki}（因为X与Y相互独立）
i0
k

=
iin1ikikin2(ki
CnpqCnpqi0k
1
2
k
k
=(

i0k
1
iki
CnCnpkqn1n2k（利用组合公式12
kn1n2k
C
i0
i
mkikCnCmn）
=Cnnpq
2

即ZXY～b(n1n2,p
18解ZXY在[0，2]中取值，按卷积公式Z的分布密度为：

10
fZ(z
f
X(xfY(zxdx
fY(zxdx,
0x1,0x1,
如图，其中:即:
0zx1,z1xz,
z1xz0x1
0x1z1xz
z10
z
1
x
0z1时

0z11z2x
1z2时

z
0z1,01dxz,

z1dx2z,1z2,
从而：fZ(z
z10,其它。
19解因为X1,X2,X3相互独立，故2X13X2X3～N(0,36,所以：
P{02X13X
2
X
3
6}P{0
2X13X2X30
1}
6
(1(00.3413.
xx1e1,x10,
20解f(x1
x10.0,
x2ex2,x20
f(x2，
x20.0,
设两周的需求量为Z，则ZX1X2,当z0时

fZ(zfX1(x1fX2(zx1dx1x1ex1(zx1e(zx1dx1
0
0
23zx1x1
ez=x1(zx1edx1(
023z
z
z
0
zz
z3ez
3!
z3ez
,z0
故fZ(z3!
0,z0
21解（1），当x0时fX(xe
x
0
1
1
(xyeydyex(xydey
022
1
ex(xyey
2
1xy
ed(x0e02

y（积分时，x是常量）
1x1x
xee(ey22

0

1x
e(x12
当x0时，fX(x0,同理，当y0时，fY(y
1y
e(y1，当y0时，fY(y02
因为fX(xfY(yf(x,y，故X与Y不相互独立.
（2）当z0时，

z102
fZ(zf(x,zxdx
(xzxe(xzxdx
1zz1
zedxz2ez
022
当z0时，fZ(z0
2
22解设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,20i1,2,3,4.令
Ymin{X1,X2,X3,X4}则所求概率为
P{Y180}P{min(X1,X2,X3,X4180}P{X1180,X2180,X3180,X4180}
=（由独立性）P{X1180}P{X2180}P{X3180}P{X4180}=[P{X1180}]而P{X1180}1P
4
X1160180160
1(10.1587
2020
因此P{Y180}0.158740.000634

23解由于设X1,X2,X3相互独立，均服从指数分布.因而它们的联合密度函数为：
(1x12x23x3123e,xi0,i1,2,3
f(x1,x2,x3
其它0,
事件{min(X1,X2,X3X2}等价于{X1X2,X3X2}，因而所求概率为：
P{min(X1,X2,X3X2}P{X1X2,X3X2}

x1x2
x3x2

0
f(x1,x2,x3dx1dx2dx3
x
2


dx2dx1
x
2
123e
(1x12x23x3
dx3
0
dx2
x2
12e
(1x12x23x2
dx1


0
2e
(123x2
dx2
2123
.

习题四参考答案
1111111+0×+×+1×+2×=362643121111112
（2）E(X1=2×+1×+×+0×+（-1）×=
36264312111111352
（3）E(X=1×+0×+×+1×+4×=.
364642412
1解（1）E(X=（-1）×2解E(X=


xf(xdxxexdx1
0

0
0

E(X2=
2x0
f(xdxx2exdxx2dex

x

x
0
0

x2ex0
2xedx2xde

2xex0
2
1
x
edx0
5
2
3解因为X，所以E(XYE(XE(YY相互独立，=
0
2x2dx
ye(y5dy
22(y5(y5
yde[ye353

5
e(y5dy]4
5


4证明显然f(x.0，
且


f(xdx
1

1x2

1
dx
1

arctgx0
11
arctgx01.2
所以f(x是一个分布密度,但
E(X

xf(xdx
1

1x2

x
dx
1111
ln(1x20ln(1x2022
不存在，所以随机变量X的数学期望不存在.
5解A:表示售出设备一年内调换，Y:表示调换费用.则净赢利的数学期望为：
pP(AP{X1}
净赢利的数学期望为：
1104
e
x4dx
1e

14,
E(100Y(100ykpk(1000e
k

14
(100300(1e

14
=100e

14
200(1e300e

14

14
20033.64（元）
1
,axb,
6解直径X～f(xba所以：
其它.0,
X2bx22
E(SE(E(Xdx
a444ba
1x3
=
4ba3

b

a

12
(a2abb2.
7解（1）X,Y的边际分布见表上，故E(X1×0.4+2×0.2+3×0.4；
E(Y=-1×0.3+1×0.3=0.
（2）Z的可能取值为
Z-1
pk
11111,,,0,,.1.
2332易知Z的分布律如表为
1
故E(Z=-1×0.2×0.1
2

110
32
0
1
3112
0.20.10.40.10.10.1

1111×0.1+×0.1+×0.1+1×0.1=，
32315
解法2E(Z
X
i
j
Yj
i


i
j
YjXi

111000111
0.20.100.100.30.10.10.1123123123

1
.15
2
2
2
（3）E(Z=E(XYE(XE(Y2E(XY
10.440.290.410.310.32E(XY

5.42E(XY,

XY-1-2-30
pk
0.20.10
123
XY的可能取值为-1，-2，-3，0，
1，2，3.且有如表的概率分布：
0.40.10.10.1
E(XY=-1×0.2+（-2）×0.1
+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2所以E(Z=5解法2E(Z
(XiYj2
i
j
2
2
2
2
2
=(110.2(210.1(310(100.1(200(300.3+(1120.1(2120.1(3120.15
8解：令Z1max(X,Y,则Z1的取值为0，1，
2
P{Z10}P{max(X,Y0}P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}P{Z11}1P{Z10}
3,4
1,4
故：E(Z1E(max(X,Y0
13311,类似可求得E(min(X,Y.4444
x23
012ydy4x,x(0,1,
9解fX(x
其它.0,

122
y12ydx12y(1y,y(0,1,
fY(y
其它.0,
所以E(X
144
xf(xdx4xdx.0X0
5
113
E(YyfY(ydy12y3(1ydy
005
1
E(XY
10
1
00

x
xyf(x,ydydx
y0
1
00

x
xy12y2dydx
10
1
2
10
E(X2Y2x2fX(xdxy2fY(ydy4x5dx12y4(1ydy
=
2216.3515
1ex,x0,
10解:X,Y的分布函数为F(x则Zmax(X,Y的分布函数
0,x0.
Fz(zP{Zz}P{max(X,Yz}P{Xz,Yz}P{Xz}P{Yz}F2(z
2(eze2z,z0(z于是Z的密度函数为fZ(zFZ
z00,
从而E(Z
0

2(eze2zzdz
3
2
11解：设随机变量X表示取得合格品以前已取出的次品数，则X的可能取值为0，1，2，3；下求取这些可能值的概率，易知
939
0.75,P(X10.204,121211

3293219
P(X20.041,P(X30.005
1211101211109P(X0
由此可得：
EX00.7510.20420.04130.0050.301，
EX200.7510.20440.04190.0050.413，
DXEX2(EX20.4130.30120.322,DX0.3220.568.
12解E(X=
kq
k1

k1
pp(12q3q2
(q1p

qp123
.=p(qqq=p=1q(1q2
p
E(X=
2
k
k1

2
q
k1
pp(kqk
k1

(q1p
=p(q
q1k1k
kqp[q(q]p[q(]=p21qk1k1(1q

(1q22(1qqp(1q1q
p2其中“′”表示对q的形式导数.43
(1q(1qp
所以D(X
q
2p
13解因为P{X1}P{X2},故有：

1!
e


2
2!
e

，故2，所以：
E(X2,D(X2.
14证明：因为E{(Xc}D(XE(X2cE(XcE(XE(X=c2cE(X[E(X][cE(X]0.所以D(XE{(Xc},对于cE(X.
2
2
2
2
2
2
2
2
2

15解E(X
0
x222
0

x
22

x222


e
x22
dx
0


x222
xde

=-xe
+0

e
2

dx2
0

12

x222
edx

2
2


12

x222
edx

2



E(X
0
22x2

x
32

x222

e
dx
0
x222

xde
2

x222

=xe
22+20
x2

0
xe

dx2
0
2


x222
ed(
x22
2

222
=2e202.

16解：由正态分布与均匀分布的方差知
(ba2164
E(X0,D(X4,EY2,D(Y,
12123
由于X与Y相互独立，因此2X与3Y也相互独立，从而
D(XYD(XD(Y4
416,33
D(2X3YD(2XD(3Y4D(X9D(Y28,
41
E(X2Y22E(X22E(XE(Y4E(Y284(429
33
17解(1记X
5
X
i1i
5
i
X1X2X3X4X5,
则E(X
5
E(X
i1
2002401802603201200
D(XD(Xi2252402252652701225
i1
即X～N(1200,35.(2X
2
X
i1
5
i
～N(1200,35.所以
2
X1200T1200T1200
P{XT}P0.99(查表(2.33
353535
T1200
2.33,T352.3312001282(kg35

abEX3,b4,2ab6,
18解(1由已知有:所以:,22
DX(ba1(ba4a2,
123
1
,2x4,
f(x2
0,
(2P{X2}0(3P{1X3}
1
.2
19解:因为YnX,所以X与Y成负线性关系,从而XY1;
或直接计算:XY
Cov(X,YD(XD(Y
,D(YD(nXD(X,
Cov(X,YE[(XE(X(nXnE(X]E(XE(X2D(X
故XY1.
20解:D(2XY4DXDY2Cov(2X,Y4DXDY4Cov(X,Y
4DXDY4XYDX
DY4251640.42516148,
D(X2YDX4DY4Cov(X,Y2541640.4251657
21证明：显然E(XY11P(ABP(ABE(XP(A,E(YP(B,而由XY0
E{[XE(X][YE(Y]}0,E(XYE(XE(Y0,E(XYE(XE(Y,P(ABP(AP(B
即X和Y相互独立.即：任意两个服从0—1分布的随机变量若不相关，必相互独立.

x
1dy2x,0x1,
22解fX(xx
其它.0,1
y1dx1y,1y1,
fY(y
0,其它.
故E(X
0
1
12
2xdx,E(Y(1yydy（关于y奇）=0
132
E(XY
1x
xdxydy0x

(关于y奇0
故Cov(X,YE(XYE(XE(Y0.
1
,00
23证明:因为Xcos,Ysin,～U(0,2,即f(2,
其它0,
所以E(XY
1
2
0
2
cossind0,
12
2
2
E(X
12
0
2
cosd0,E(Y
2
0
sind0,
故Cov(X,Y0,从而XY0,但X者并不独立.
24解(X,Y的密度为f(x,y
Y1,即表示X,Y有依赖关系,故两
1,0,
0x,y1,
其它.
，
于是
10
E(XYE(Y
10
10
0
1
1
xydxdy
14
E(X0
1
xdxdy
12
，
0
ydxdy
1，2
所以：Cov(X,YE(XYE(XE(Y0.，又因为D(X0,D(Y0故：XY0．
注：其实由于区域D为矩形域，且(X,Y服从D上的均匀分布,从而X与Y独立，故X

与Y不相关，即XY0．
25解E(Z1(,E(Z2(,
E(Z1Z2E(2X22Y2，
由D(XE(X[E(X]E(XD(X[E(X]同理E(Y,故E(Z1Z2((因X,Y相互独立，故D(Z1D(XD(Y(同理D(Z2D(XD(Y(故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ZZ
12
E(Z1Z2E(Z1E(Z2
D(Z1D(Z2
(22(22(22222
.2
2222(
2
2
2
26证明对tR,有E(VtW20,即tE(W2tE(VWE(V0,这是以E(W,E(VW,E(V为系数的二次曲线问题q(tatbtc0
2
2
2
[2E(VW]24E(W2E(V2=4[E2(VWE(W2E(V2]0,
即[E(VWE(WE(V]
27解：P{5200X9400}1P{X5200}P{X9400}
2
2
2
1P{(X5200(P9400}1PX73002100(由切比雪夫不等式
1
700221002
1
18
.99
ex,x0,
28解X1,X2,X16独立同分布于指数分布f(x则
0,x0.
E(Xi
0

xexdxxdex
0
x
0

xe
exdx
0

1

ex
0

1

,

E(Xi2
xe
0

2x
dx
0
2x
xde
0
xe
2x
0
2
xexdx
2

xex
0

0
2

exdx
2

2
,
D(XiE(Xi2[E(Xi]2
已知E(Xi
2

2

1

2

1

2
i1,2,,16.
1

100D(Xi
1

2
1002,
16i1Xi160019201600
由定理4P{Xi1920}1P
40016100i1
16
=1-(0.8（查表）≈1-0.7881=0.2119
29解设第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k1,2,,100,则Xk为独立同分布系列,且E(Xk2,
2
D(Xk1.69,命中目标的总次数XXk,由独
k1
100
100
立同分布的中心极限定理k1
Xkn
n
(近似～N(0,1,因此,所求概率为
1801002X10022201002
P{180X220}P
1001.691001.691001.69
(
202020
(2(10.8759131313

30解设每部分的长度是一个随机变量Xk(k1,2,,10,且X1,,X10相互独立同分布,X
k1
Xk为总长度,又
10
n10,E(Xk2,2D(Xk0.052,n0.0510,由独立同分布
的中心极限定理k1
Xkn
n
(近似～N(0,1,因此,产品合格的概率为
10

X20X200.1
P{X200.1}P0.6325P
0.05100.05100.0510

2(0.632510.4714
100
31解由独立同分布的中心极限定理P{
Xi90}
i1

10090Xi1i1(100.7422
1
100240Xi
i1
32解：设老人死亡数为X,X～b(n,p,n10000,p0.017，保险公司亏本当且仅当
2000X4010000,即X200，于是，由棣莫佛—拉普拉斯定理XN(np,npq故公司亏本的概率：P{X200}1(
200npnp(1P
1(2.3210.01017．
33解（1）X：表损坏数，则X～b(100,0.1,由定理6
X101510
P{X15}P(3.50.9525
1000.10.91000.10.9
（2）X：表损坏数，则X～b(n,0.1,设N为0.2n取整，由定理6
X0.1nN0.1nN0.1n
P{XN}P0.95
0.3n0.3n0.3n
查表得(1.650.95(1.650.05
nN0.1n0.2n0.1n
0.95(1.65n25,
0.3n0.3n3
34解（1）由定理4P{4.9X5.1}P{4.980

80i1
Xi5.180}

8=P
800.3
=

80i1
Xi800.5800.3


800.3

8
888
=212(1.6331（查表）
242424
20.948410.8968
（2）E(XiYi0,D(XiYi20.3,
8
P{0.1XY0.1}P
8020.3



8020.38020.3

i1
80
(XiYi
8
22221
333
=2(1.1551(查表20.874910.7498.35解P{X1}P{1X1}

nP20n

n
Xni1i
20n

n
(由定理420n

nnn
220202010.95.
n
0.975(查表(1.96n(1.962021536.641537.20

参考资料：
1概率论与数理统计，第三版，浙江大学，盛骤等编.高等教育出版社.2001年12
月.
2概率论讲义，第二版，沈恒范编，高等教育出版社.1987年3月.
3概率论，同济大学数学教研室主编，第一版，高等教育出版社.1993年3月.4概率论与数理统计典型题，龚冬宝，王宁编，西安交通大学出版社，2000年6
月.
第八章

思考题
1.答:
方差分析与回归分析都是考察所研究的某一指标与试验因素(条件的关系的.方差分析考察的是因素对指标的影响是否显著,回归分析考察的是因素的取值与指标的取值存在一种什么样的相关关系.
因素可以分为两大类,一类是属性的,一类是数量的.属性的因素一般无数量大小可言,只是性质的不同,如种子的品种,机器的型号,材料的品质,加工的工艺等等.数量的因素可以在一定范围内取值,如人的身高,体重,试验的温度,产量,产品的合格率等等.也有本来是数量而属性化的,如施肥量可以是某个数量,但有时将它局限在某些范围内而分为高,中,低几个层次,就属性化了.
当所考虑问题的因素是属性的时,问题属于方差分析的范畴;当所考虑的因素是数量时,问题属于回归分析的范畴.
2.答:
方差分析的种类很多.在不同类型的方差分析中,因素可以增加或减少,数据结构可以发生变化.但是以下三个重要的假定是不变的.
(1正态性假定有了正态性假定后,数据xij认为取自N(,,由此求得的各种
2
离差平方和(如比值
SE
2
~2分布,从而定义F分布函数.没有正态假定,就没有2分
布,也没有F分布与统计推断.
(2方差齐性假定假定数据xij来自方差为的正态总体,只有这样才能在相同的条件(相等下来分析问题.考察指标的变化,才可以建立统计假设H0,才有方差分析检验.
(3线性假定线性假定指数据xij的取得仅通过线性运算,这样才可以把数据xij
当线性模型处理,也才可以施行方差分析方法.
在大数定律和中心极限定理下,正态性假设是易于确立的.数据的线性假设也符合实际,易于成立.但是,方差齐性假设不易确立.例如对于二项分布来说,其样本的方差
2
2
S2
p(1p
随p而变化,对于不同的数据,很难保持方差齐性,所以常常用数据变化n
来实现.
在方差分析中,三个假定缺一不可,否则方差分析就失去了依据.3.答:
进行回归分析,对参数的检验对象要求必须满足以下三个基本条件:
(1正态性被检验的对象或者因变量必须是服从正态分布N(,的随机变量.
2

(2方差齐性被检验的各个总体的方差,应该是相等的.
(3独立性对被检验的各对观察数据而言,从概率意义上理解为是独立取得的.处理实际问题时,往往不能事先预知这三条是否满足.像方差分析一样,正态性可由大数定律和中心极限定理来确定,方差齐性的检验用F检验来进行,而独立性一般凭实际经验判断.一般有一个近似结论就可以进行回归分析了.4.答:
以一元线性回归为例.其模型为
yiabxi,i~N(0,2i1,2,...,,n
最小二乘估计是指对n对试验数值(x1,y1,(x2,y2,,(xn,yn,作离差平方和
Q(a,byi(abxi
2
i1
n
ˆ,则yˆminQ(a,b的aˆxˆ,bˆaˆbˆ和b利用微积分中的极值原理,求出Q(a
为所求线性回归方程.
22
最大似然估计是由,i~N(0,i1,2,...,,n,则yi~N(abxi,,得样本的
极大似然函数
L(
1
2
n
exp[
n
122
(y
i1
n
i
abxi2]
要使L取得最大值,则应使得方法,求得使
(y
i1
i
abxi2为最小.用与最小二乘估计中同样的极值
Q(a,byi(abxi
2
i1
n
ˆ,得线性回归方程yˆx.ˆaˆbˆ和b最小的a
由于两种方法讨论的都是Q(a,b
2ˆ,故最小ˆ和by(abx,而且由此求得aiii1n
二乘估计与最大似然估计的结果是相同的.
5.答:
ˆx已经确定,并经检验确认回归显著,则对给定的x,y,置信ˆaˆb当线性回归方程y00
度为1的预测区间为:

1(xix2
ˆ0t2(n2ˆ1(y
nSxx
其中Sxx
(x
i1
n
i
x2
由此可知,影响预测精度的主要因素为:(1.一般,越小,精度越高.
(2n.n越大,精度越高,所以应尽量扩大样本容量.
(3自变量的取值xi.xi应尽量避免过于集中,但预测点x0离x越近时,精度越高.
2
2
习题
1.解:分别以1,2,3表示三种内容的广告宣传的某种大型机械平均销售量,检验假设H0:123H1:1,2,3不全相等,其中0.05.计算方差分析表得如下:
表8-1方差分析表
方差来源因素A
误差总和
对
给
定
平方和2668.171098.53766.67的

自由度2911
均方1334.09122.06
F值
10.93
，因
为
0.05，查表得F0.05(2,94.26
F10.93F0.05(2,94.26，所以拒绝H0，即认为广告宣传内容的不同对某种大型
机械销售量的影响是有显著的.
2.解:分别以A,B,C表示三个厂家生产的电池的平均寿命,检验假设
H0:ABCH1:A,B,C不全相等,其中0.05.
计算方差分析表得如下:
表8-2方差分析表
方差来源因素A误差总和
平方和615.6216.4832
自由度21214
均方205.218.03
F值
11.38

对给定的
0.05，查表得F0.05(2,123.89，因为
F11.38F0.05(2,123.89，所以拒绝H0，即认为不同厂家生产的电池的寿命是有
显著差异的.
由均值差jk=jk的置信水平为1的置信区间为:
[XjXkt(nsSE(
2
11]njnk
,
t0.025(nst0.025(122.1788x1
213
42.65
,
x2
150
305
,
x3
222
44.4,5
t0.025(12SE(
11216.4112.1788(5.8517.故AB,AC,及njnk1255
BC的置信水平为0.95的置信区间分别为
(42.6305.8517(6.7483,18.4517,(42.6305.8517(7.6517,4.0517,(3044.45.8517(20.2517,8.5483.
3.解:
表8-3直观分析计算数据表
列
号水平试验号123456789
A1
B2
C3
4
转化率
yi(%

1.721.821.801.921.831.981.591.601.80
1(46011
2(49022
3(520331(2502(2703(3001231231(甲2(乙3(丙231312

k1jk2j
k3j
5.345.735.00
1.780
1.910
1.6670.243
5.235.255.59
1.743
1.750
1.8630.12
5.305.555.22
1.767
1.850
1.7400.11

y
i1
9
i
16.07
y1.786


k1jk2j
k3j
Rj


(1由上述表中的计算按极差Rj的大小选取各因子的重要性,其顺序是:ABC;
(2因为试验指标越大越好,因此按max(k1j,k2j,k3j原则选取各因子的水平,得最优搭配方案:A2B3C2.
4.解:最好的生产工艺条件是:A2B2D1C1E1
5..解:现在n10,为求线性回归方程,所需计算列表如下:
序号12345678910

xi
1001101201301401501601701801901450
yi
45515461667074788589673
xi2
10000121001440016900196002250025600289003240036100218500
yi2
202526012916372143564900547660847225792147225
xiyi
450056106480793092401050011840132601530016910101570




Sxx218500Sxy
1
145028250101
10157014506733985
10
于是,可得b,a的估计值为
Sxyˆb0.48303Sxx
nn
1111aˆxi(yib67314500.483032.73935ni1ni11010
从而回归方程为
ˆ2.739350.48303x.y
6.解:
(1画出散点图略.
ˆx.ˆaˆb(2求线性回归方程y
现在n7,为求线性回归方程,所需计算列表如下:序号1
234567

xi
0.100.300.400.550.700.800.953.8
yi
1518192122.623.826145.4
xi2
0.010.090.160.30250.490.640.90252.595
yi2
225324361441510.76566.446763104.2
xiyi
1.55.47.611.5515.8219.0424.785.61



1
Sxx2.5953.820.5321
71
Sxy85.613.8145.46.6786
7
于是,可得b,a的估计值为

Sxy6.6786ˆb12.5503Sxx0.5321nn
1111aˆxi(yib145.43.812.5513.9584ni1ni177
从而回归方程为
ˆ13.958412.5503x.y
Se1n12ˆ2Sˆˆ(yy(Syyb(3的无偏估计:iixx
n2n2n2i1
2
2
将n7,Sxx2.595
11
3.820.5321,Syy3104.2145.4284.03,771ˆ12.5503代入得,ˆ2(84.0312.550320.53210.0432b
5
(4检验假设H0:b0,H1:b0.
t
ˆbˆ
Sxx
12.55030.0432
0.532144.0462,t0.025(52.5706
因为t
ˆbˆ
Sxx44.0462t0.025(52.5706,所以拒绝原假设H0:b0,即认为
回归效果显著.
(5b的置信水平为0.95的置信区间:
ˆt(n2(b
2
ˆSxx
(12.55032.5706
0.04320.05321
(11.82,13.28.
ˆˆ(0.50aˆ0.50b(6当x0.50,(0.50a0.50b,其点估计为
t
ˆ(a0.50bˆ0.50baˆ
1(0.50x
nSxx
2
~t(n2,则所求的置信区间为:
1(0.50x2ˆˆ0.50bt(n2ˆ(a
2nSxx
1(0.500.54292
=(13.95840.5012.55032.57060.0432
70.5321

=(20.03,20.44
(7当x0.50,Y0的置信水平为0.95的预测区间为:
1(0.50x2
ˆ0t(n2ˆ1(y
2nSxxˆ013.958412.55030.5020.23而y
1(0.50x21(0.500.54292
ˆ1t(n22.57060.043210.57
2nSxx70.5321
得预测区间为(19.66,20.80.
7.解:(1画出散点图略.作散点图所示.
看起来呈指数关系,于是令ZlnY.
记ZilnYi,并作(xi,Zi的散点图如图所示,可见各点基本上处于一条直线上.
设Zabx,~N(0,
2
ˆ0.272,aˆ3.848经计算可得b
ˆ3.8480.272x从而有z
将上述结果代回原变量,得曲线回归方程为
ˆ0.0213e0.272x.y
又可求得
ˆb
t
ˆ
(x
i1
n
i
x218.3537t0.025(52.5706
由此可见,线性回归效果是高度显著的.
ˆ3.8480.272x(2解:根据(1知回归方程为z
把x30C代入回归直线方程,得

ˆ03.8480.272304.312z
2
SxySe1n12
ˆi=ˆ(yiy(Syy=n2n2i1n2Sxx2

=
0.1622
=0.032445
ˆ0.1801
1(xix2
ˆ1t2(n2
nSxx
1(3027.42862
=2.57060.18011
77(773.428627.42862
=0.5046
因此,红铃虫产卵期温度x30C时,产卵数lnY0的预测区间(0.05为

1(xix2
ˆ1ˆ0t2(n2(z
nSxx
=(4.3120.5046,4.3120.5046=(3.8074,4.8166
所以,红铃虫产卵期温度x30C时,产卵数Y0的置信水平为0.95的预测区间为

(45,124.
2
8.解:设Yb0b1x1b2x2,~N(0,,因为
1163924b0
1183824.5BXY,,b1..............b21214926

代入经计算可得,
ˆb18.107801ˆˆBb1(XXXY0.22180.0556ˆb2
于是得到回归方程为
ˆ18.10780.2218x10.0556x2y

9.解:分别以1,2,3表示三种售价下的五个商场的平均日销售量,检验假设
H0:123H1:1,2,3不全相等,其中0.05.
计算方差分析表得如下:
表8-4方差分析表
方差来源因素A误差总和
平方和23.333457.33

自由度21214
均方11.6652.833
F值
4.12
对给定的
0.05，查表得F0.05(2,123.89，因为
F4.12F0.05(2,123.89，所以拒绝H0;
若取0.01，查表得F0.01(2,126.93，因为F4.12F0.01(2,126.93，所以应接受H0.
讨论:由所给的数据,在0.05的显著水平下,我们有足够的理由认为各售价水平的衬衫日销量有所不同;从所给的数据看,低价位的销量要高于高价位的销量.但对于0.01,我们没有足够的理由认为各售价水平的衬衫日销量有所不同.我们由此看到,的大小体现了保护原假设的程度.

10.解:在商业活动中,预测某商品在某地区的投放量对于厂家是十分重要的.若投放量远远大于销量,则造成产品积压以及运输费用的增加等,给厂方造成损失.若投放量过少.,同样会影响厂家的经济效益.因此,对商品的投放量作科学的分析是至关重要的.(1首先建立回归模型:
2
设Yb0b1x1b2x2,~N(0,,因为
12742450162b0
11203254120
X,Y,Bb1.
.............b213702605212
代入经计算可得,
ˆb3.452601ˆˆBb1(XXXY0.49600.0092ˆb2

于是得到回归方程为
ˆ3.45260.4960x10.0092x2y
(2预测:
将x1220,x22500代入上式,得关于该城市的防晒霜的销售量预测值为:
ˆ03.45260.49602200.00922500135.573(箱.y


概率论与数理统计1_8课后习题答案

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