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第二章 随机变量及其分布

2.3 离散型随机变量的均值与方差

2.3.1 离散型随机变量的均值

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A级　基础巩固

一、选择题

1．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)

A．np(1－p) B．np

C．n D．p(1－p)

解析：依题意知，用电单位X～B(n，p)，所以E(X)＝np.

答案：B

2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为(　　)

A.0ef9ad36a0ee7ea42bae52fe3a069e9e.png B.29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png C.b4a1bd29551b3e109d3e9bf2ce8e5cb4.png D.80ebf94886e1f6f5c652decb7a74c1ff.png

解析：根据概率和为1，可得x＝0ef9ad36a0ee7ea42bae52fe3a069e9e.png，

所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝b4a1bd29551b3e109d3e9bf2ce8e5cb4.png.

答案：C

3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)

A．20 B．25 C．30 D．40

解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.png32bb4eb2bb22c4391fd7af29fdb8e891.png＝02504499b428f51fa6b6fc818f3a3a9d.png.所以X～B9e554d26a320d5bf8c8645ec538a337a.png.故E(X)＝80×ee0279b6043dfcdc02ea7234903d0266.png＝25.

答案：B

4．已知ξ～Bb7a73be548fca7ebc301d2e4765b5ba3.png，η～B78515d64aebf7ffe3b7da7638b6e5c94.png，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　)

A．5 B．10 C．15 D．20

解析：因为ξ～Bb7a73be548fca7ebc301d2e4765b5ba3.png，所以E(ξ)＝ed287d62b6f7373940278f847dad5c8c.png.又E(ξ)＝15，则n＝30.所以η～B7bc583e16421cf6fdc7264d0fd96fe94.png.故E(η)＝30×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝10.

答案：B

5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)

A.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png B.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png C．2 D.c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png

解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝8af7b5836b623932922b319a591253e3.png3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，P(X＝3)＝af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.pngbae3c9f3a70ec58c9ed3f9689a32456d.png3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png.

所以E(X)＝2×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋3×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＝c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png.

答案：D

二、填空题

6．已知X～B4ee124135931ff32987fe9cf08c3e02c.png，则E(2X＋3)＝________．

解析：E(X)＝100×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.

答案：103

7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．

解析：

答案：0.4

8．对某个数学题，甲解出的概率为6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，乙解出的概率为265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．

解析：P(X＝0)＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png×70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png＝343a241c63d219b63bb365dc3fad756c.png，P(X＝1)＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png×70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png×265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png＝760fbccbf128081668810b03f3374e35.png，P(X＝2)＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png×265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png＝8db185e41909a263e0689b1045d8f254.png，E(X)＝dc866eef79e88f092d61a4fa7979d39c.png＝125d65474001e6d35b4ce6bb66db5a38.png.

答案：125d65474001e6d35b4ce6bb66db5a38.png

三、解答题

9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：

(1)一次投篮时投中次数X的均值；

(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．

解：(1)X的分布列为

则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，

即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.

(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．

故E(Y)＝5×0.6＝3，

即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.

10．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，乙胜的概率为6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．

解：由题意，X的所有可能值是3，4，5.

P(X＝3)＝C828c9dac2126e9cdc2b73d00d58fb6ed.png×95c0be41f06c937f5008a28f229ae657.png4744dff1299a0f01e2c328a997c4a491.png＋Cf3e795895d32ae1f9ef4ab858669d479.png×346779e2e4d8c9a97904c3dee2962893.png4744dff1299a0f01e2c328a997c4a491.png＝03afd843f43b4ecfffad05e087441797.png；

P(X＝4)＝C3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png×95c0be41f06c937f5008a28f229ae657.png06299c7f245058dce10aab1556318511.png×81efe4c12a4c143aaaa5b2d61cc61e7e.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋C3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png×346779e2e4d8c9a97904c3dee2962893.png06299c7f245058dce10aab1556318511.png×03afd843f43b4ecfffad05e087441797.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＝04bc339c8bd33d5720698c739040b262.png；

P(X＝5)＝C16a448ff03551b36aa630e85e42fae4b.png×95c0be41f06c937f5008a28f229ae657.png06299c7f245058dce10aab1556318511.png×3f8f602036bd660d354768900376a8cf.png06299c7f245058dce10aab1556318511.png×03afd843f43b4ecfffad05e087441797.png＋C16a448ff03551b36aa630e85e42fae4b.png×346779e2e4d8c9a97904c3dee2962893.png06299c7f245058dce10aab1556318511.png×3ef43016c53b16afb7e6edf3e36bbc55.png06299c7f245058dce10aab1556318511.png×81efe4c12a4c143aaaa5b2d61cc61e7e.png＝35a25dca6e95b3e2b363ac97cc519532.png.

所以X的分布列为：

所以E(X)＝3×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋4×04bc339c8bd33d5720698c739040b262.png＋5×35a25dca6e95b3e2b363ac97cc519532.png＝38565dca1da204e68c8f471474a457b1.png.

B级　能力提升

1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　　)

A．0.765 B．1.75

C．1.765 D．0.22

解析：依题意X的可能取值为0，1，2，

P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；

P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；

P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.

所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.

答案：B

2．设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________．

解析：因为P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，

P(X＝3)＝3a＋b，

所以E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，

所以14a＋6b＝3.①

又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，

所以6a＋3b＝1.②

由①②可知a＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，b＝－6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，所以a＋b＝－fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png.

答案：－fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png

3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？” 代替)，其表如下：

(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；

(2)求E(X)；

(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．

解：(1)由分布列的性质可知

0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.

故0.？5＋0.1？＝0.40.

由于小数点后只有两位有效数字，

故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.

即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0. 15.

(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.

(3)法一　由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，

E(η)＝E(X)＝3.50.

法二　由于η＝2X－E(X)，

所以η的分布列如下：

所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.

2019人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.3-2.3.1离散型随机变量的均值 Word版含解析