1. 能够利用短除法分解

2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构，而且表达形式唯一”

一、质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：短除法

例如：，（┖是短除法的符号） 所以；

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

；；；；；；；；.

模块一、分解质因数

【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分

【解析】 原式 【答案】

【例 2】 三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？

1【解析】 分解质因数：，可知这三个数是、和。 【答案】、和

【例 3】 两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少?

2【解析】 分解质因数： () ()，所以和为.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的。【答案】

【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题

【解析】 ，，所以是2184 【答案】

【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ．

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题

【解析】 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为和，它们的和为．

【答案】

【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

3【解析】 将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.

【答案】8533

【例 7】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________。

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题

【解析】 根据题意列式子如下：，因为分解质因数是与，所以，根据和差关系算出，，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，

【答案】

【例 8】 甲数比乙数大，乙数比丙数大，三个数的乘积是，求这三个数？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将分解质因数，，则其中必有一个数是或的倍数；经试算，，，恰好，所以这三个数即为，，.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里不符合要求，下一个该考虑，再下一个该考虑，依此类推．

【答案】，，

【例 9】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 分解质因数，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.

【答案】9

【例 10】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法（ ）。
A、3种 B、7种 C、11种 D、13种

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题

【解析】 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案为A

【答案】

【例 11】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

4【解析】 分解质因数，，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是.

【答案】18

【例 12】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

5【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．

【答案】52

【例 13】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

6【解析】 39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34×34×34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：

2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．

方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)． 【答案】6934

【例 14】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？

【解析】 4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14。 【答案】14

【例 15】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

【解析】 有140=2×2×5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是．

，倒数第三小的是。 【答案】

【例 16】 纯循环小数写成最简分数时,分子和分母的和是,则三位数

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 如果直接把转化为分数,应该是,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们

将分解质因数得:,这个最简分数的分母应小于,而且大于,否则该分 数就变成了假分数了,符合这个要求的的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是,也就是说,因此.

【答案】567

模块二、分解质因式

【例 17】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.

【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为11，不妨记为，那么，整理得()()，又，对应的、或、或、(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11.

【答案】2、11、13或3、7、11

【例 18】 word/media/image91_1.png如图，长方形周长为，面积为。另一个长方形，面积为，周长为。它的长是 ，宽是 。

【解析】 周长为则，长和宽的和为，因为，

因为，所以它的长是，宽是。

【答案】长是，宽是

【例 19】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答

7【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．

ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．

当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;

当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．

所以它们的乘积为11×2×17=374． 【答案】374

【巩固】 已知两个自然数的积是3363，差是2，则这两个自然数的和是_______.

【答案】57+59=116

【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．

【解析】 设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为7，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或3、5，所以这三个质数可能是3，5，7

【答案】3、5、7

【巩固】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到

，五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁

第6讲 分解质因数 教师版