第六章 机械运动和机械波

思考题

6-35简谐振动中相位为φ、π+φ、2π+φ、3π+φ、….时描述的是同一运动状态吗？为什么？

6-36 对一简谐振动系统，画出其动能和势能关于时间变量的曲线，并分析两者反相的物理意义。

6-37 将单摆摆线从铅直方向拉到φ角的位置撒手任其摆动。这里φ角是初相位吗？若不是，它将对应什么物理量？

6-38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟，并让水从球体缓慢流出，试描述其摆动周期的变化情况。

6-39 利用受迫振动的稳定解（6.19）式说明为什么恒力不能导致受迫振动。（提示：恒力的频率ω可视为零）

6-40 在太空中能听到声音吗？为什么？

6-41 在较长时间间隔（Δt>>T）内，任意以t为变量的正弦（或余弦）型函数的平均值均为零，例如：==0，其中α是任意常数。

试据此推导（6.11）、(6.12)及(6.40)式。

6-42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被察觉，但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。

6-43 描述机械波时间周期性的物理量由周期T、频率v和圆频率ω给出。类似地，我们可以用、、描述波的空间周期性，试说明这三个量对应的物理意义。

6-44 试解释弦乐器的以下现象：

（1） 较松的弦发生的音调较低，而较紧的弦则音调较高；

（2） 较细的弦发生的音调较高，而较粗的弦则音调较低（古人称之为“小弦大声，大弦小声”）；

（3） 正在振动的两端固定的弦，若用手指轻按弦的中点时，音调变高到两倍，若改按弦的三分之一处时，音调增至三倍；

（4） 用力弹拨琴弦（而非用手指按弦）时，能同时听到若干音调各异的声音。（提示：音调高低与弦振动的频率成正比。此外，在（4）情形中弦以基频振动的同时还以若干泛频振动。）

习题

6-1 如题6-1图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线oc通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属丝受到扭转，从而产生一个扭转的恢复力矩。若扭转角度很小，圆盘对oc周的转动惯量为I,扭转力矩可表示为M=-kθ，求扭摆的振动周期。

解:由转动方程

6-2 一质量为m的细杆状的1m长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。

解: 复摆(物理摆)小角度振动时方程为:

题6-2 图

6-3 有一立方形的木块浮在静止水中，静止时浸入水中的部分高度为a。若用力稍稍压下，使其浸入水中部分的高度为b，如题6-3 图所示，然后松手 ，任其做自由振动。试证 ，如果不计水的粘度阻力，木块将做简谐振动，并求振动的周期和振幅。

解：浮力与重力相等处于平衡状态有：

6-4 一质量为1.0 × 10-3 kg的质点，做简谐振动，其振幅为2.0×10-4m，质点再离平衡位置最远处的加速度为 8.0×103m/s2。

（1） 试计算质点的振动频率；

（2） 质点通过平衡位置时的速度；

（3） 质点位移为1.2×10-4m时的速度；

（4） 写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。

解：

6-5 如题6-5图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长ɭ=10cm;将振子向下拉一段距离d=2.0cm，并将位移方向给它一个向下的初速度v0=10cm/s，任其运动，不计空气阻力，试求：

（1） 振动频率

（2） 振幅A

（3） 初始相位φ

（4） 振动表达式。（取10m/s2）

解：（1）振动频率

（2）振幅

（3）初相位

（v0>0取正号，v0<0取负号）

（4）振动表达式X=0.02cos(10t-0.46)(m)

6-6 一不计质量，自然长度为的弹簧，两端分别系上质量为m1和m2的质点，放在光滑的水平桌面上，开始时手持m1和m2把弹簧拉长至 ，停止不动，然后两手同时放开，试问 这系统将如何运动？

解:无外力整个过程质心不动, t时刻m1和m2位置分别为x1, x2故有:

此时系统做振幅为A，圆频率为w的简振动。

6-7 有一鸟类学家，他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上，他想测得这只鸟的质量，但不能捉住来称量，于是灵机一动，测得这鸟在数枝上在4s内来回摆动了6次，等鸟飞走以后，他又用1kg的砝码系在大鸟原来落得位置上，测出树枝弯下了12cm，于是很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类学家是怎样算的？你想到了这种方法了吗?这只鸟的质量是多少？

解：树枝与鸟形成一个谐振子。

6-8 如题6-8图所示，有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的质量为m/，开始时处于静止平衡状态，有一 发质量为m的子弹以速度v0沿弹簧方向飞来，击中振子并埋在其中，试以击中时为计时零点，写出此系统的振动表达式。

解：碰撞时动量守恒，碰撞后机械能守恒。

6-9 如题6-9图所示振动系统，振子是一个做纯滚动的圆柱体，已知 圆柱体的质量为m，半径为R，弹簧的劲度系数为k，并且弹簧是系在圆柱体的中心旋转对称轴上。试求这一振动系统的频率。

解：设平衡点为弹簧原长时，又弹簧质量不计，对圆柱体在运动中受力有：

6-10 如题6-10图所示，弹簧的劲度系数为k，定滑轮的质量为m/，半径为R，转动惯量为,物体的质量为m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑动。

(1) 试 求这一振动系统的振动频率。

(2) 如果在弹簧处于原厂时由静止释放物体m，m向下具有最大速度时开始计时，并令m向下运动为x的正坐标，试写出m的振动表达式。

解：（1）设弹簧原长平衡时，伸长x kx0=mg 以伸长时 m所在点为坐标原点，运动中，有：

对于m有：

联立两式子有：

设弹簧原长时，释放m

振动表达式为：

6-11 在LC电路中，电容极板上的电荷量若为q，电容器将储存能，流经电感中的电流若为i，电感中将储存磁能,且常量，试求LC电路的固有振荡频率。

解：

6-12 假定有两个质量均为m的离子，它们之间的势能为

（1） 试用a和b 表示其平衡位置；

（2） 试证明其振动角频率为

解：（1）保守力平衡点f=0。

（2）作微振动f可写成

将f一级近似

6-13质量m=1.0×10-2kg的小球与轻质弹簧组成的振动系统，按的规律振动，式子各量均为SI单位，求：

（1） 振动的角频率、周期、振幅和初始相位；

（2） 振动的速度和加速度（函数式）；

（3） 振动的总能量E；

（4） 振动的平均动能和平均势能；

（5） t=1.0s 、10s等时刻的相位。

解： 与振动表达式

比较可以直接得到

6-14 在阻尼振动系统中，量叫做弛豫时间。

(1) 证明的量纲是时间；

(2) 经过时间 后，这振动的振幅变为多少？能量的最大值变为多少？

(3) 把振动减小到其初值的一半所需要的时间（用表示）；

(4) 当经过的时间等于上述(3)中求出的2倍、3倍……时，求振幅的值。

解：（1）

（2）

（3）

（4）

6-15 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接触即受一次震动，使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长 12.5cm，弹簧平均负重5.5 ×103kg,而弹簧每受到1.0×103kg力将压缩16mm。试问 ，火车速度多大时，振动特别强？

解： 固有振动周期等于强迫力周期时发生共振。

6-16 已知 两个方向的简谐振动

(1) 求它们合振动的振幅和初始相位；

(2) 另有一个同反向的简谐振动x3=0.07cos(10t+φ), 问φ为何值的时候，x1+x3振幅为最大？φ为何值的时候，x2+x3的振幅为最小？(各量皆用SI单位。)

解：

A最大时

A最小时

6-17 一质点同时受到两个同频率的和同方向的简谐振动的作用，它们的运动方程分别为x1=1.7×10-2cos(2t+)和x2=0.6×10-2cos(2t+),试写出质点的运动方程。

解：仍是谐振动

6-18 一待测量频率的音叉与一频率为440Hz的标准音叉并排放置，并同时振动，声音响度有周期性的起伏，每隔0.5s 听到一次最大响度的音（即拍声），问拍频是多少？音叉的频率可能是多少？ 为了进一步唯一确定其值，可以在待测音叉上滴下一滴石蜡，重做上述实验，若此时拍品变低，则说明待测音叉的频率是多少？

解：已知T0.5s，得拍频

或者

若在待测音叉上滴上一滴石蜡，其频率变低，如果再测，拍频变低

成立

6-19 (1)波源的振动表达式为,我们的计时零点是怎样选择的？如果以波源所在处为原点，波沿着x正方向传播，那么对应的波函数应该怎样写？（设波速为v）（2）如果选取波源向正方向振动，且位移为A/2的时刻为计时零点，波源处为坐标原点，波速仍为v ，波函数该怎样些？（3）如果在上题中把波源的位置订为x0 点，波函数又怎样写。

解：（1）波源初相位是0，是恰好在正的最大位移处开始计时，若X与同向，波函数为

（2）如下图所示 又因为

（3）若波源在X0点，若X与同向，任意X的振动要比X0点落后X点t时刻的振动是X0点在时刻的振动

其中

6-20 一沿很长弦线行进的横波波函数为式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率波速、波的传播方向和波线上质远的最大横向振动频率。

解：

X点比原点位相超前，与X反向

又

6-21 题6-21 图中的曲线(a) 和（b）分别表示t=0s和t=2.0s的某一平面简谐波的波形图，试写出此平面简谐波的表达式。

解：从曲线(a)可以看出A=2，，用余弦函数表示时

6-22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐波的波形曲线如图所示，试分别说明图中A、B、C、D等各点在该时刻的振动方向，并做出T/4前和T/4后的波形图。

解：

6-23 已知一列波速为v、沿x正向传播的波在t=0时的波形曲线如图所示，画出图中A、B、C、D各点在第一周期内的振动曲线。

解：A点，t=0时，y=-A振动表达式y=Acos(ωt+π)

B点，t=0时，y0=0，并且V0<0见图>

所以y=Acos(ωt+π/2)，φ=π/2

6-24 在直径为14cm的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为9.0×10-3W/m2，频率v=300Hz，波速v=300m/s，求：（1）最大哪能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差为2π的两波面间）的总能量。

解：（1）

（2）

6-25声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移波函数为时，对应于压力变化的波函数为

是相对于为扰动时压力的压强变化值，是介质的体密度。

（1） 人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化pm约为28N/m2（正常的大气压强约为1.0×105N/m2）若这一强度波的频率为1000Hz，试求这声波所对应的最大位移。

（2） 在频率为1000Hz的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为 2.0×10-5N/m2,试求相应的位移振幅，设=1.29kg/m3，v=321m/s。

解：（1）最大位移：

（2）最小位移：

6-26无线电波以3.0×108m/s的速度传播，有一无线电波的波源功率为50kW，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源200km远处无线电波的能量密度。

解：

6-27 如图所示，设B点发出的平面横波在B点的振动表达式为

沿BP方向传播；C点发出的平面横波在C点的振动表达式为

沿CP方向传播，两式中各量均为SI单位，设BP=0.4m ，CP=0.5m，波速为0.2m/s，求：（1）两列波传达到P处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求P点的合成振幅；（3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？

解：

（1） 因为是两个同频率的波

所以

（2） 如果振动方向也相同，得到两相干波

（3） 如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动，

6-28 题6-28图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S是电磁铁作用下的振动膜片，D是声波探测器，例如耳朵或传声器，路程SBD的长度可以改变，但路径SAD却是固定的，干涉仪内充有空气，实验中发现，当B在某一位置时声强有最小值（100单位），而从这个位置向右拉1.65cm到第二个位置时声强就渐渐上升到最大值（900单位）。试求：（1）由声源发出的声波的频率以及（2）当B在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达D处时二路声波的分振幅之比（已知声速为340m/s）。

解法一：极大为波腹，极小为波节，相邻波腹波节间距：

解法二：D处干涉极大，极小取决于波程差，相邻极大和极小只差半个波长，

故有

题6-28图

6-29 在同一介质中的两个相干波源位于AB两点，其振动方向相同，振幅皆为5cm/s，频率皆为100Hz，但A点为波峰时，B点为波谷，且在此介质中波速为10m/s，设AB相距20m，经过A点做一条垂线，在此垂线上取一点P，AP=15cm，

（1） 试分别写出P点处两波在该点的振动表达式；

（2）求两波在P点的相位差；

（3）写出干涉后的振动表达式（波动中振动幅不变）。

解：（1）

（2）

（3）相消干涉A=0，所以y=0

6-30在一个两端固定的3.0m长的弦上有3个波腹的“驻波”其振幅为1.0cm，弦长波速为100m/s（1）试计算频率；（2）若视为人、反射波叠加的理想驻波，写出产生此驻波的两个波的表达式。

解：（1）

（2）若为理想驻波

驻波端点为节点，x=0，表达式为

设入射波波函数

则反射波波函数

显然

即

6-31 如图所示，S是一个由音频振荡器和放大器驱动的小喇叭，音频振荡器的频率可调范围为1000-2000Hz，D是一段用金属薄板卷成的圆管，长45cm。

（1） 如果在所处温度下空气中的声速是340m/s，试问当喇叭发出的频率从1000Hz改变到2000Hz时，在那些频率上会发生共鸣？

（2） 试画出各次共鸣时管的位置波节、波腹图（忽略末端效应）。

解：形成驻波圆管两端（开口）为波腹

（3）(4）（5）频率会发生共鸣。

6-32 如题6-32图所示是一个测量空气中声速的装置。把频率为v的振动着的音叉置于管的开口端，管内装有水，而管中空气柱的长度可以由水面的升降加以改变。当水面由管的顶端渐渐下降距离a时，声音的强度达到最大值。求空气中声速。若用1080Hz音叉时，测得d=15.3cm，求声速值是多少？

6-33 有一提琴弦长50cm，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是A调（440Hz），试问要奏出C调（528Hz）手指应该按在什么位置?

解：提琴弦两端固定，谐振时，两端必为波节

基调

6-34 蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声波脉冲导航非常有效（这种超声波脉冲是持续1ms或不到1ms的短促发射，并且每秒重复发射几次）。假设蝙蝠所发超声频率为39×103Hz，在朝着表面平直的墙壁飞扑的期间，它的运动速率为空气中声速的1/40，试问它听到的从墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？

解：蝙蝠以V1向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以V1向运动的多普勒效应的声音：V1=v v’/(v-v1)

此声音又被以V1运动的蝙蝠接收，其频率为：

机械运动和机械波思考题35简谐振动中相位为φπφ2π