数列求和的七种基本方法

甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)

数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.

1 运用公式法

很多数列的前项和的求法，就是套等差、等比数列的公式，因此以下常用公式应当熟记：

还要记住一些正整数的幂和公式：

例1 已知数列的前项和，求数列的前项和.

解 由,可得,，所以：

(1)当时,=.

(2)当时，

所以

例2 求.

解 设，本题即求数列的前项和.

高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列的前项和.

答案：.

高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列的前项和.

答案：.

高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列中，.

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

答案：(1)；(2).

高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.

(1)求及；

(2)设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通 项公式及其前项和.

答案：(1)；(2).

2 倒序相加法

事实上，等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.

例3 求正整数与之间的分母为3的所有既约分数的和.

解 显然，这些既约分数为：

有

也有

所以

例4 设，求和.

解 可先证得，由此结论用倒序相加法可求得答案为.

3 裂项相消法

例5 若是各项均不为0的等差数列，求证：.

证明 设等差数列的公差为：若，要证结论显然成立；若，得

例8 证明且.

证明

高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列的前项和为，已知，为整数，且.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

答案：(1)；(2).

高考题6 (2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.

(1)求的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)证明：对一切正整数，有.

答案：(1)；(2)；(3)当时，可得欲证成立.当时，，再用裂项相消法可得欲证.

高考题7 (2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)令=求数列的前项和.

答案：(1)，.

4 分组求和法

例9 求.

解 设，得.

所以本题即求数列的前项和：

例10 设数列的前项和满足，又，求数列的前项和.

解 在中，令可求得.

还可得

相减，得

所以是首项为1公差为2的等差数列，得

所以

当为偶数时，

当为奇数时，

总之，.

高考题8 (2014年高考北京卷文科第15题)已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前项和.

答案：(1)；(2).

高考题9 (2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记，求.

答案：(1)，.

高考题10 (2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列的前项和.

答案：.

5 错位相减法

高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列N*)满足.

(1)令，求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

解 (1).

(2)得.先写出的表达式：

①

把此式两边都乘以公比3，得

②

①-②，得

③

④

由等比数列的前项和公式，得

⑤

因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前项的符号都是“+”，但最后一项是“—”；(2)当等式③右边的前项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.

这里笔者再给出一个小技巧——检验：

算得了的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.

对于本题，已经算出了，所以.而由通项公式可知，所以求出的答案正确.

高考题12 (2014年高考课标全国卷I文科第17题)已知是递增的等差数列，是方程的根.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

答案：(1).

(2)用错位相减法可求得答案为.

高考题13 (2014年高考安徽卷文科第18题)数列满足N*.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设，求数列的前项和.

答案：(1)略.

(2)由(1)可求得，所以，再用错位相减法可求得.

高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*).

(1)证明：数列为等比数列；

(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.

答案：(1)略.

(2)可求得，所以，再用错位相减法可求得.

高考题15 (2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*).

(1)若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.

答案：(1).

(2)可求得，所以，再用错位相减法可求得答案为.

6 待定系数法

例11 数列的前项和 .

解 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得

先用错位相减法求数列的前项和：

所以有下面的结论成立：

若分别是等差数列、等比数列(其公比)，且均是与无关的常数，则数列的前项和，其中是与无关的常数.

由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：

可设(其中是常数).

可得，所以，解得，所以.

例12 求和.

解 得.

用待定系数法可求出该等式的右边为，所以.

七、求导法、积分法

例13 (1)求证：；

(2)求证：；

(3)求数列的前项和(此即例6).

解 (1)当时，显然成立.当时，由等比数列的前项和公式知，欲证结论也成立.

(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.

(3).

由(2)的结论中令，得数列的前项和为；又数列的前项和为.所以数列的前项和为

高考题16 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式R)的两边对x求导，得.由求导法则，得，化简后得等式.

(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式R，整数证明：.

(2)对于整数，求证：

(i)； (ii)； (iii).

答案：(1)在已知等式两边对求导后移项可得欲证.

(2) (i)在结论(1)中令可证.

(ii)由已知等式两边对求导后再求导，又令，得，即，再由结论(i)得结论(ii)成立.

(iii)在已知等式两边在[0,1]上对积分后可得欲证.

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