如何提高数学的思维能力

陕西洋县（723300）刘大鸣

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程.其表现是学生从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维活动，立体式地展示问题、提出过程，在温故知新的联想过程中产生强烈的求知欲，尽可能地参与概念的形成和结论的发展过程，并掌握观察、实验、归纳、演绎、类比、联想、一般化与特殊化等思考问题的方法.在数学复习中如何才能提高数学的思维能力？

1 一题多解，培养思维的广阔性。

一题多解中的“题”是指一切数学问题，包括基础知识、原理和方法，“解”是指对一切问题数学问题多种不同的理解和与解决问题的过程、策略、方法与结果.对于一个数学问题只有“善于观察，全面多方位的感知，多方法推导，多形式的记忆，多角度的表述，多层次运用，多关系探寻，多途径转化”，才能培养思维的广阔性.

例1 过点P引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程.

简析：，对条件和目标函数式不同的思维认识，将产生不同的解法.法1：选截距式过，则如何求 的最小值？若观察、联想、类比不等式求最值的方法和技巧及整体思维，则可整体代入， ；法2： 多关系探寻条件的特殊性，由点的坐标适合方程可三角换元，. 法3：多途径转化，降元意识代入,化归为假分式类函数最值，部分分式，均值不等式求解.由解出，则

法4 多关系探寻，引入倾斜角沟通，则 2 一题多解，一点串线，培养思维的开阔性。

“变换”是数学中最有用的概念之一.数学复习中对数学概念、法则、定理、公式、题目等从“变换”的角度去联想，去开拓，不但可以达到一点串线、举一反三牵动全面知识的目的，而且还能将知识和思想方法深化，提高分析问题解决问题的能力和“发散思维”的能力.

例2 椭圆 长轴的右端点为A，若椭圆上存在一点，使，求此椭圆的离心率的范围.

简析：离心率的范围其实质为一个不等关系，如何构建不等式？不同的认识将产生不同的思维解法.研究其解法，一点串线，思维发散，可得到圆锥曲线参数范围求解的常见的思想和方法.法1 注意交点的意义，构建两直线的交点在椭圆上，利用非负实数构建不等式解之.如图，OP的方程为 ，则AP方程为 ，解交点P在上，代入解出，由非负实数构建 ，而，则，故椭圆的离心率的范围为 .法2 解交点，利用圆锥曲线的范围构建不等式解之.可设点利用垂直条件或构造圆和椭圆相交，解析法联立方程组，和 ，降元有，则,解得离心率的范围为 .法3，4，5降元化二次方程，或配方非负实数构建或判别式恒大于0下，用韦达定理由两根之和或两根之积范围构建不等式解得.法6 应用点参式代入，化归为三角函数的有界性简化求解.设P，由得，，注意目标意识解出，解得离心率的范围为 .

注：对6种不同的思维解法的深入研究，可得到处理圆锥曲线中参数范围的求解方法“利用非负实数构建不等式解范围(2002年高考解析几何题求解中有体现);或利用曲线范围构建不等式解范围（86、9、2000、2002高考解析几何问题求解中的方法）；点参式代入化归三角的有解性求解”.

3 探索未知，猜想结论，培养思维的创造性。

复习中，应做到用自己学过的知识，通过多方位观察、纵横联系、积极探索、大胆猜想得出可能的结果，培养自己的探索性精神和创造思维.

例3 已知数列和，其中为常数，且.你能否用来表示，并证明你的结论。

简析：观察、猜测、归纳数列的通项公式，用数学归纳法证明，这是求解数列通项的最常见的思维方法.易知是首项和公比均为的等比数列，则，，…，依次观察,注意其项数和每项的次数及排列规律猜想，.下面用数学归纳法证明.，等式成立；假设时，等式成立，即有 ，从题设入手，用假设，这就是说时等式也成立.故对于一切自然数猜测成立.

4 特殊问题一般化，深化提高，培养思维的深刻性.

将特殊问题一般化，借助于一般性问题来解决特殊性问题，这是“以进求退”的一种辨证思维方法，往往能达到简化解答问题的目的.

例5 设 .

简析:直接证明比较困难,不妨将特殊问题一般化,观察不等式可改写为 .由此,可改证一般形式,得出新命题:的证明. 对均值不等式 ,赋值.令得,,即成立.再以代入的原不等式成立.

5由一般到特殊，培养思维的敏捷性.

例3 （89高考）是否存在常数a,b,c使得等式 对一切自然数n都成立？并证明你的结论.

简析：本题学生都知道用数学归纳法证明，但如何确定常数a,b,c缺少方法导致思维中断.事实上，若注意特殊性可构建方程组或裂项用公式求数列和即可.只需对n特殊赋值，构建方程组，令n=1，2，3代入等式，构建方程组，，解得，.以下用数学归纳法证明（略）;法2，注意等式左端特殊数列和，裂项用连续自然数的和及连续自然数平方和、立方和公式求和，对照待定系数a,b,c，但需记公式

6 暴露解题的思路及尝试探索和偏差纠错过程，培养思维的批判性.

例6 设P是双曲线右半支上除顶点外的任意一点，为左、右焦点，，双曲线的离心率为.

简析:解析几何和三角的综合问题,多方面探索变换,注重解题思维过程中的偏差纠错的学习体验的积累,培养思维的批判性.思维1，从结论入手，用半角公式，代入结论得，则，苦于式子繁杂，难以找到与已知的连结点，尝试失败.思维2，尝试变结论为，，则比思维1较简单点，但仍然存在和已知如何沟通的问题？此时，应分析和挖掘题设，焦点三角形中，定义及正弦定理的使用，易知，，注意结论的目标意识，用等比定理有，，则，化半角，和差化积约项即为思维2.对思维1，也化半角，和差化积约项变形为.于是思路接通.

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