本科毕业论文（设计）

题 目 解析傅里叶变换

2013 年 4 月 30日

解析傅里叶变换

西南大学电子信息工程学院，重庆 400715

摘要：傅里叶变换的实质就是将信号分解成不同频率复指数信号的叠加，由于复指数信号在LTI系统中的响应十分简单，且傅里叶变换具有多种极其有用的性质使得傅里叶变换在信号分析中得以广泛运用。信号的傅里叶变换有多种形式，且各种变换间具有很强联系：如非周期信号的周期性扩展，其傅里叶级数是原信号傅里叶变换的等间隔采样；若离散序列由连续信号周期取样得到，则离散序列的DTFT是连续信号FT以取样频率进行周期性扩展后的尺度变换。为了用计算机对信号进行傅里叶分析，而引入DFT，它是对信号时域和频域的采样。各种FFT算法的提出大大减少了DFT的运算次数，使DFT得以广泛应用，并极大促进了数字信号处理技术的发展。

关键字：LTI系统；卷积；傅里叶变换；DFT

Analysis of Fourier Transform

LIU Chaoyuan

School of Electronic and Information Engineering, Southwest China University, Chongqing 400715, China

Abstract: The essence of the Fourier transform to signal is decomposed into different frequency of complex exponential signals, due to the response of complex exponential signals in LTI system is very simple, and the Fourier transform has many useful properties make Fourier transform can be widely used in signal analysis. Signal Fourier transform has many forms, and has a strong link between each other: such as periodic extension of non-periodic signal, the Fourier series(FS) is the original signal Fourier transform(FT) interval sampling; if the discrete sequence obtained by continuous signal sampling, discrete sequence of DTFT is the scale transform of the continuous signal FT periodic extension by the sampling frequency. In order to use the computer to Fourier analysis of the signal, then introduction the DFT, which is the sampling of the signal in time domain and frequency domain. A Variety of FFT algorithms proposed greatly reducing the number of DFT calculations, so DFT can be widely used, and greatly promote the development of digital signal processing technology.

Key words: LTI systems;Convolution;Fourier Transform;DFT

目录

第一章 引言 1

1.1 历史背景 1

1.2 本文所研究内容 2

第二章 线性时不变系统（LTI系统） 3

2.1 线性系统 3

2.2 时不变系统 3

2.3 LTI系统对信号的响应 4

2.3.1 卷积 4

2.3.2 LTI系统对复指数信号的响应 6

第三章 傅里叶变换 7

3.1 连续与离散 7

3.1.1 离散时间序列 8

3.1.2 连续时间复指数信号与离散时间复指数信号 8

3.2 连续时间周期信号与离散时间周期信号的傅里叶级数(FS) 10

3.3 连续时间傅里叶变换（FT）与离散时间傅里叶变换（DTFT） 12

3.3.1 连续时间傅里叶变换 12

3.3.2 离散时间傅里叶变换 14

3.4 连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系 16

3.5 连续信号的离散化处理过程 18

3.6 离散时间信号的采样与抽取 20

第四章 数字信号处理 24

4.1 周期序列的离散傅里叶级数 24

4.2 离散傅里叶变换（DFT） 24

4.2.1 频率域采样 26

4.2.2 循环卷积 28

4.2.3 基于DFT的信号频谱分析 31

4.3 快速傅里叶变换FFT 32

第五章 总结 36

参考文献： 37

致谢： 37

第一章 引言

1.1 历史背景

傅里叶变换是大家所熟悉的一种变换，又是一种令人感到陌生的变换！随着信号从模拟信号到数字信号，信号处理从模拟信号处理到数字信号处理，18世纪末和19世纪初诞生的傅里叶变换发生了巨大的变化。傅里叶变换的丰富和发展，极大地促进了信息科学的丰富和发展。现代的信息科学和技术也离不开傅里叶变换的理论和方法[1]。

关于傅里叶分析方法的建立有过一段漫长的历史[2]，它涉及到很多人的工作和许多不同物理现象的研究。1753年D·伯努利曾经声称：一根弦的实际运动都可以用标准振荡模式的线性组合来表示。但是，他并没有继续从数学上进行深入探讨；同时，在当时他的想法也并未被广泛接受。1759年J.L.拉格朗日也曾强烈批评使用三角级数来研究振动弦运动的主张。他反对的论据是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。

在1807年J.B.J.傅里叶完成了一项研究，他发现在表示一个物体的温度分布时，成谐波关系的正弦函数级数是非常有用的。另外，他还断言：任何周期信号都可以用这样的级数来表示！？当然这一断言存在一定的缺陷也并未给出完善的数学证明，但他洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动了傅里叶级数问题的深入研究。后来于1829年P.L.狄里赫利给出了若干精确的条件，在这些条件下，一个周期信号才能用其傅里叶级数表示。

当时，1807年傅里叶的那篇论文并未公开露面。这是由于拉格朗日顽固地坚持50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的观点，强烈反对这篇论文的发表。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。当然，拉格朗日也并非全错，因为对于含有间断点的周期信号，傅里叶级数的表示并不能完全等价于原信号，但却能做到无能量上的差别。直到傅里叶的晚年，他才得到某种应有的承认，但是，对他而言最有意义的称赞应该是他的研究成果已经在数学、科学、工程等诸多领域内产生了巨大影响。

如今，傅里叶分析的基本理论已经得到很大的发展。按信号类型的不同，我们可以得到各种不同的傅里叶变换表现形式。然而，也正是由于理论的拓展我们往往很容易就混淆与各种不同的概念之间也很难把握各种傅里叶变换之间的关系。

1.2 本文所研究内容

关于傅里叶变换的推导研究有很多错综复杂的数学公式和概念之间的联系。从傅里叶级数到傅里叶变换再到离散傅里叶变换，人们在学习过程中总很难明确把握各种变换的概念及其相互之间的关系，而且在学习中也很难剖析出傅里叶变换的本质和它广泛应用的原因。本文从基础出发，简化数学推导，注重概念间的联系，向读者呈现傅里叶变换的内涵及各种变换间的内在联系。

本论文的组织结构如下：

第1章，引言。简要介绍傅里叶变换的历史背景和发展情况。阐述本论文的出发点和体系结构。

第2章，线性时不变系统（LTI系统）。本章介绍线性时不变系统的基本概念；并以离散信号为例，说明信号通过LTI系统后的响应，即响应为输入和系统函数的卷积。最后，简要介绍了LTI系统对复指数信号的响应，其响应以一个简单的形式呈现，特别强调复指数信号的原因是傅里叶变换的实质就是将信号表示成复指数信号的叠加。

第3章，傅里叶变换。以连续和离散相对应的方式介绍傅里叶变换的基本内容。包括连续复指数信号和离散复指数信号、连续周期信号和离散周期信号的傅里叶级数、连续时间信号和离散时间信号的傅里叶变换、各傅里叶变换之间的联系。并介绍信号的离散化处理过程和离散信号的采样与抽取以加深对傅里叶变换的认识。

第4章，数字信号处理。为了用计算机对信号进行傅里叶分析而引入离散傅里叶变换DFT。本章介绍了DFT的引入和其基本内容，它的物理意义是对信号傅里叶变换的有限取样。并介绍了它的一种快速算法。

第5章，总结。总结本文的工作。

第二章 线性时不变系统（LTI系统）

在了解傅里叶变换之前，我们必须先了解线性时不变系统（LTI系统），它的重要性在于很多理论研究都是基于线性时不变系统而展开；在实际应用中，很多非线性系统都可化简为线性系统的叠加[3][4]。故对LTI系统的研究具有普遍意义。LTI系统作为傅里叶分析中的基本系统对傅里叶变换的研究具有重要意义。

设时域离散系统的输入序列为x(n)，系统输出序列为y(n)，运算关系用T[•]表示，则输出与输入之间的关系可用下式表示：

（2.1.1）

其框图如图2.1所示。

图2.1 时域离散系统

Figure 2.1 Discrete time-domain system

2.1 线性系统

线性即为线性叠加，它包含可加性和齐次性。

设和分别作为系统的输入序列，对应系统输出分别为和，则线性系统一定满足下面两个公式：

（2.1.2）

（2.1.3）

（2.1.2）表征线性系统的可加性；（2.1.3）表征线性系统的齐次性，式中为常数。把定义一个线性系统的两个性质结合起来，可以简单地写成：

（2.1.4）

式中和为任意常数。

对于线性系统来说，叠加性质的一个直接结果是：零输入产生零输出，即：在全部时间输入为零，则其输出也恒为零。

2.2 时不变系统

对于时不变系统的描述可以用输入时移，输出产生同样的时移来描述，换句话说就是系统的特性行为不随时间而变。用公式表示为：

（2.2.1）

其中假设。

同时满足线性和时不变的系统便是线性时不变系统，它是信号分析里最为基础的系统。

2.3 LTI系统对信号的响应

2.3.1 卷积

卷积[5]在傅里叶分析中是一个极其重要的一个概念，它是时域运算和频域运算勾通起来的桥梁。这里也通过卷积的推导过程来加深对LTI系统的了解。

我们知道一个时域离散信号可以表示成一串移位的单位脉冲序列的线性组合。即：

（2.3.1）

对于线性系统，若记为移位单位脉冲的响应，根据线性系统的可加性和齐次性，线性系统的输出可表示为

（2.3.2）

若系统为时不变的，则与之间存在一定的关系，即：

（2.3.3）

定义系统的单位脉冲序列响应，表示是LTI系统当输入为时的输出。则由可完全表征系统的特性。结合（2.3.2）与（2.3.3）式，得：

（2.3.4）

定义（2.3.4）式为卷积运算，用符号记作：

（2.3.5）

所以，综上，可以通俗的表述为：对于LTI系统，在已知系统的单位脉冲响应的情况下，可直接通过计算系统输入与的卷积，便能得出系统输出。用公式表示为：

（2.3.6）

傅里叶变换的一个好处就是化卷积运算为乘积运算，简化运算过程。根据卷积定理可得，对于LTI系统，若、和分别是系统输入序列、系统单位脉冲响应和系统输出的离散时间傅里叶变换。则

（2.3.7）

对比（2.3.6）与（2.3.7）式，可得出另外一种求系统响应的方法[6]：如图2.2所示，分别求出系统系统输入与单位脉冲响应的离散时间傅里叶变换与，根据（2.3.7）求出并对求傅里叶反变换便可求出系统输出响应。该方法中，将两个信号的卷积转化为它们的傅里叶变换相乘这种简单的代数运算，这一点既方便与信号与系统的分析，又大大深化了一个LTI系统对施加于它的输入信号响应这一问题的理解。

图2.2 利用卷积定理计算系统响应原理框图

Figure 2.2 The principle frame graph of calculation system response by using convolution theorem

式（2.3.6）所示的卷积运算也是通常所说的线性卷积，在离散傅里叶变换（DFT）中要有还将定义一种卷积，为循环卷积。在满足一定条件下可借助计算机，用计算循环卷积的方式计算线性卷积。

卷积运算中还有三个重要的性质：交换律、分配律和集合律[7]。用式子分别表示为：

（2.3.8）

掌握这几种性质与利于加深对LTI系统的了解。例如，交换律和集合律结合，我们得出对于多个LTI系统级联而成的系统，级联次序无关紧要。

2.3.2 LTI系统对复指数信号的响应

傅里叶变换的实质就是将信号分解为不同频率复指数信号的叠加，而LTI系统对复指数信号有着怎样的响应特性呢？这是本节讨论的内容。

在LTI系统中，若输入离散时间序列，其中z为复数，单位脉冲响应为。由卷积和可以确定系统输出为：

（2.3.9）

观察式（2.3.9）发现：一个LTI系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号。也就是说：

离散时间： （2.3.10）

其中， （2.3.11）

这里，对于每个给定的z值，为常数。称为该LTI系统的系统函数，即为单位脉冲响应的Z变换。

从特征值的角度可理解为，复指数信号是离散时间LTI系统的特征函数；对于某一给定的z值，常数就是与特征函数有关的特征值。

由上述讨论得，LTI系统对复指数信号的响应有一个简单的形式，即复指数信号通过LTI系统其响应仍是相同频率的复指数信号，不同的只是幅度上的变话[8]。也正是由于这种特性，使得复指数信号便于在LTI系统中进行分析研究。也基于此，在信号分析中我们更乐于将信号分解为不同频率的复指数信号的叠加（傅里叶变换）而不是分解其他形式的级数。

第三章 傅里叶变换

在上一章的结尾我们曾得出结论，LTI系统对于复指数信号的响应有一个简单的形式，这使得复指数信号便于在LTI系统中进行分析，这也是傅里叶变换具有强大生命力的关键所在。因为傅里叶变换的内容简言之就是对于各种不同类型信号，如何将它表示成复指数信号的叠加。如在引言中我们曾介绍过，在满足狄里赫利条件下，周期信号可以表示成它的级数形式，即成谐波关系的复指数形式。关于为什么能够这样表示？这是纯粹的数学问题，本文不做详细介绍，但会简要介绍收敛条件。

傅里叶变换的形式和内容有很多，就连续信号而言，其傅里叶变换内容包括连续周期信号的傅里叶级数（FS）、连续非周期信号的傅里叶变换（FT）与连续信号傅里叶变换的的推广——拉普拉斯变换等；就离散信号而言，其傅里叶变换内容包括离散时间信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散周期信号的离散傅里叶级数（DFS）、有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）、离散傅里叶变换DFT的快速算法（FFT），还有离散信号DTFT的推广——z变换等[9]。且随着理论研究的不断深入，傅里叶变换所涉及的内容也将不断延伸。

当然，对于同一种类型的信号可以有几种不同的傅里叶表现形式。例如，连续时间的周期信号通常用傅里叶级数（FS）表示，但引入冲击函数后连续周期信号同样可以用傅里叶变换（FT）表示。另外，对于具有一定联系的信号，它们的傅里叶变换间也具有一定的关系。例如，连续时间信号的脉冲采样信号，其连续时间傅里叶变换（FT）是原信号FT的周期性延拓。

本章并不打算涉及傅里叶变换的所有内容，而是立足于连续信号与离散信号之间的对应关系，分析讨论几种基本的傅里叶变换并着重阐述这几种傅里叶变换之间的联系。

3.1 连续与离散

在很多应用中，在对一个连续时间信号进行信号处理时，通常将连续时间信号转换为一个离散时间信号，用离散时间系统对转换后的离散信号进行信号处理后再转换为连续信号。这是由于离散信号的处理可以借助于某一通用或专用计算机，借助于各种微处理器，或任何面向离散时间信号处理而专门设计的各种装置来实现，相比连续时间信号的处理具有显著优势[10]。

该处理方法可以看作是如图3.1所示的三个环节的级联，其中和都是连续时间信号，而和都是对应于和的离散时间信号。当然，就图3.1所示的整个系统而已，仍是一个连续时间系统，因为系统的输入、输出都是连续时间信号。

图3.1 连续时间信号的离散时间处理

Figure 3.1 The discretization of continuous time signal processing

正是由于图3.1所示的信号处理方式和连续时间系统与离散时间系统组合的混合系统在很多场合都得以应用。所以我们在学习傅里叶变换的过程中要把握好连续与离散之间的关系，不能隔离它们之间的联系。在下文中为了加深对傅里叶变换的认识我们将具体介绍这种处理过程。

3.1.1 离散时间序列

离散时间序列是自变量取值离散，函数值取值连续的一类信号，也可以表示成一串有序数字的集合。它与连续时间信号是两种不同类型的信号，但是当离散时间序列是由连续时间信号等间隔采样得到时，它们之间具有一定的联系[11]。

（3.1.1）

图3.2 连续时间信号的离散采样

Figure 3.2 Discrete sampling of continuous time signals

其中，为连续信号，为采样间隔。图3.2直观的反映了这种对应关系。通常也通过（3.1.1）式建立连续信号与离散信号之间的联系。

3.1.2 连续时间复指数信号与离散时间复指数信号

由于傅里叶变换的本质就是将信号分解为不同频率的复指数信号的叠加[12]。所以在涉及傅里叶变换时，我们更关注的是连续时间复指数信号和离散时间复指数序列及它们间的关系。

连续时间复指数信号具有如下形式：

（3.1.2）

式中和一般为复数。一种重要的复指数信号是将限制为纯虚数，特别考虑如下信号：

（3.1.3）

利用欧拉公式，（3.1.3）式复指数信号可以用正弦信号来表示，即：

（3.1.4）

容易求得，对于任意，复指数信号为周期信号，基波周期

离散时间复指数信号具有如下形式：

（3.1.5）

这里和一般均为复数。若令，则有另一种表示形式：

（3.1.6）

同连续时间情况一样，我们更关心的是复指数信号是局限为纯虚数的情形，特别考虑：

（3.1.7）

观察频率为的离散时间复指数信号，我们发现：

（3.1.8）

这表明离散时间复指数信号是以频率的周期信号，而连续时间复指数信号，对于不同的，表示不同频率的复指数信号，不具备频率上的周期性。所以我们在讨论离散时间复指数信号时，仅需考虑某一间隔内的信号就已足够。把握这种频率的周期性有利于我们理解离散时间傅里叶变换（DTFT）的周期性，因为离散信号的DTFT就是将信号表示成对的积分形式。

连续时间复指数信号是以的周期信号，离散时间复指数信号是否具有同样的周期性呢？

我们设：

N为周期，N>0。这就等效于要求：

（3.1.9）

为使（3.1.9）式成立，必须是的整数倍，也就是说必须有一个整数m，满足，或者。所以若为一有理数，就是周期信号，否则就不是周期的。

总结上述两点，可以得出连续时间复指数信号与离散时间复指数信号之间的显著区别：对于连续时间复指数信号，不同的对应着不同的信号，越大，信号振荡的速率就越高，且对任何值都是周期的；对于离散时间复指数信号，，仅需考虑在某一间隔内的就足够，若为有理数，则为周期信号。

若离散时间复指数信号是有连续时间复指数信号等间隔采样得到，则二者之间将存在一定联系。根据式（3.1.1）有：

（3.1.10）

式中，称为数字频率，单位是弧度（rad），它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间相位变化的弧度数；称为模拟角频率，单位是弧度每秒（rad/s），它表示没秒经历多少弧度。通过（3.1.10）式的推导，得到，在对连续时间复指数信号的等间隔采样下得到的离散时间复指数信号，其模拟角频率与数字频率之间的关系为：

（3.1.11）

在下文中介绍FT与DTFT的关系时，尺度变换过程就是该关系式的体现。

3.2 连续时间周期信号与离散时间周期信号的傅里叶级数(FS)

信号的傅里叶级数（FS）表示，就是将周期信号表示成一组成谐波关系的周期复指数信号的线性组合[1]。所谓谐波关系就是一类信号的集合，集合内所有信号都有一个公共周期。

对于连续时间复指数信号而言，若公共周期为，则成谐波关系的的复指数信号可表示成：

(3.2.1)

k的取值可以是任何整数，对于不同的k，表示不同的周期复指数信号。

对于离散时间复指数信号而言，设公共周期为N，那么成谐波关系的复指数信号可表示成：

（3.2.2）

由于（3.1.8）式的原因：

（3.2.3）

故离散时间情况下与连续时间有一点很大的不同是：成谐波关系的离散时间复指数信号仅有N个互不相同的。

所以，若信号用其傅里叶级数形式表示时：

连续： （3.2.4）

离散： （3.2.5）

它们之间有一点明显的不同是：连续时间周期信号的傅里叶级数是无限级数，而离散时间周期信号的傅里叶级数是有限项级数。式中系数往往称为傅里叶级数系数或频谱系数，它可由信号确定：

连续： （3.2.6）

离散： （3.2.7)

对于连续时间周期信号，存在一个收敛问题，我们有如下结论：对于连续时间周期信号，在满足狄里赫利条件[2]下，除了在某些不连续的孤立t值外，等于它的傅里叶级数表示；而在那些不连续的点上，无穷级数收敛于不连续点两边值的平均值。

由于离散时间周期信号的傅里叶级数表示是由有限项构成，故不存在收敛问题，离散时间周期信号用傅里叶级数的表示与原信号完全等价。

3.3 连续时间傅里叶变换（FT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）

由于傅里叶级数只能对周期信号进行表示，为了对非周期信号进行推广，我们在周期信号傅里叶级数的基础上引入连续时间傅里叶变换（FT）和离散时间傅里叶变换（DTFT）。而他们之间的联系是我们可以将非周期信号当做周期为无限大的周期信号进行处理。

3.3.1 连续时间傅里叶变换

为了对非周期信号引入傅里叶变换，我们将非周期信号看成是周期无限大的周期信号，观察周期无限大周期信号的傅里叶级数表达式的极限特性。如图3.3所示，为非周期信号，对于由周期扩展而成的周期信号，当周期时，趋于，对任何有限时间t值而言，就等于。

图3.3为非周期信号；为由为一个周期构成的周期信号

Figure 3.3 (a) Non-periodic signal; (b)The periodic signalfor one cycle with

我们来观察周期信号的傅里叶级数，将（3.2.4）式和（3.2.6）式重写如下，并将（3.2.6）式中的积分区间取为，就有：

（3.3.1）

（3.3.2）

由于在内，，且在其余地方所以式（3.3.2）可以写成：

（3.3.3）

发现对于不同的周期，的包络不变，故定义为的包络：

（3.3.4）

这时，频谱系数可以写为

（3.3.5）

当周期，趋近于，结合（3.3.1）可得：

（3.3.6）

由此，我们得出了非周期信号的傅里叶变换，将（3.3.4）式和（3.3.6）式称为傅里叶变换对。通常称为的频谱，它告诉我们将表示成不同频率正弦信号的线性组合（就是积分）所需要的信息。同时，式（3.3.5）向我们揭示了周期信号频谱系数与非周期信号傅里叶变换之间的关系，即：一个周期信号的傅里叶系数能够利用的一个周期内信号的傅里叶变换的等间隔采样来表示。

当然，由于连续时间信号的傅里叶变换是由周期信号的傅里叶级数推导而来，故也存在与傅里叶级数表示相同的收敛问题，我们有如下结论：一个稳定的LTI系统就有与之对应的频率响应。虽然，这只是三个狄里赫利条件中的其中一个，但所有物理上或实际上有意义的信号都满足另外两个条件。

以上讨论的是非周期信号的傅里叶变换，其实在引入奇异函数后对于周期信号也能够建立傅里叶变换表示，这样一来就可以在一个统一的框架内考虑周期信号与非周期信号。

我们有：

（3.3.7）

而周期信号：

（3.3.8）

故可得出周期信号的傅里叶变换：

（3.3.9）

（3.3.9）式就是周期信号的傅里叶表示形式，它在频域上是由一串冲击所组成，各冲击的面积正比于傅里叶级数系数。

3.3.2 离散时间傅里叶变换

对于离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，可以用与连续时间傅里叶变换完全类似的方法进行讨论。

设离散时间非周期信号，它具有有限的持续期，以外，。对信号进行周期性扩展，扩展周期为N，建立周期信号。与连续时间情况相同，当周期时，趋于，也就是说，对任何有限时间n值而言，就等于。

我们讨论的傅里叶级数，将（3.2.5）式和（3.2.7）式重写，有：

（3.3.10）

（3.3.11）

式中，因为在包括区间的一个周期上，所以（3.3.11）可写成：

（3.3.12）

对于不同的周期N，的包络不变，定义的包络为：

（3.3.13）

可见，频谱系数正比于的各个样本，即：

（3.3.14）

当周期时，趋近于，对于任何有限的n值，有，所以结合（3.3.10）可得：

（3.3.15）

经过与连续时间情况完全并行的推导，我们得到离散时间非周期信号的傅里叶变换，将（3.3.13）式和（3.3.15）式称为离散时间傅里叶变换对。通常称为的频谱，它告诉是怎样由这些不同频率的复指数序列组成的。当然我们会发现连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换之间一个明显的不同就是，离散时间信号的傅里叶变换是以为周期的，而连续时间信号的傅里叶变换不具备这种周期性。

同时，式（3.3.14）也向我们揭示了周期序列频谱系数与离散时间非周期信号傅里叶变换之间的关系，即：一个周期信号的傅里叶系数能够利用在一个周期内的序列的傅里叶变换的等间隔采样来表示。

离散时间信号的傅里叶变换也存在关于收敛的问题，这是由于（3.3.13）式信号的傅里叶变换的求和区间是无限长所致。我们有：若序列绝对可和或能量有限，则一定收敛。

关于周期序列的傅里叶变换，因为：

（3.3.16）

而一周期为N的周期序列可表示为：

（3.3.17）

故该周期序列的傅里叶变换为：

（3.3.18）

这样，一个周期序列的傅里叶变换就表示成频域中的冲击串，若知道该周期序列的傅里叶系数便可直接求出其傅里叶变换。同连续情况一样，周期序列傅里叶变换的引入，就能在统一的框架内对离散序列进行分析。

3.4 连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

在3.1节我们曾提到连续时间信号的离散化处理方法，在现实应用中我们也常会碰到连续、离散相互转换的系统，即混合系统。连续时间与离散时间之间建立起联系的关键是式（3.3.1）。重写如下：

（3.4.1）

我们关心的是连续信号的连续时间傅里叶变换（FT）与离散信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）之间的关系。可以借助采样定理来探讨他们这种关系。

式（3.4.1）实际上所反映的就是C/D转换的过程，如图3.4所示：

图3.4 C/D转换过程

Figure 3.4 C/D conversion process

其中为采样冲击串，是对连续信号的冲击采样。根据我们熟知的采样定理有，的连续时间傅里叶变换是原信号连续时间傅里叶变换的周期性扩展，其扩展周期为。所对应关系如图3.5所示。

图3.5 采样定理各信号间的对应关系

Figure 3.5 The corresponding relationship between the signals of the sampling theorem

是从冲击到序列的转换，它们间傅里叶变换的对应关系可以用尺度变换表示，或者说是归一化的过程。讨论如下

在图3.4中， （3.4.2）

根据的傅里叶变换是，所以有

（3.4.3）

考虑的离散时间傅里叶变换，利用（3.4.1）式得：

（3.4.4）

对比（3.4.3）式和（3.4.4）式可见：

（3.4.5）

式（3.4.5）表明可由进行尺度变换得到，这种频率域尺度的伸缩变换是数字频率与模拟频率的体现。如图3.6所示

图3.6 C/D转换过程中、与之间的关系

Figure 3.6 The relationship between,andin C/D conversion process

值得注意的是，对于连续信号，其频谱分析是对信号进行连续时间傅里叶变换FT；而对于离散信号，则进行离散时间傅里叶变换DTFT，两种信号所使用的是不同的变换。但当信号间具有式（3.4.1）所示关系时，我们可以从图形上直观了解两种变换间的关系。可以简单表述为：若离散时间信号由连续时间信号进行周期采样得到，则离散时间信号的DTFT就是连续时间信号FT进行周期扩展后的尺度变换[1]。

3.5 连续信号的离散化处理过程

现在来观察连续信号离散化处理的整个过程，将图3.1的整个系统用图3.7来表示。采样序列经过离散时间系统处理后进行D/C转换。就整个系统而言还是连续系统，其频率响应为。

图3.7 利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统

Figure 3.7 the system by using discrete-time filters processing continuous time signal

图3.8 图3.7系统的频域说明

Figure 3.8 The description of the system in frequency domain

图3.8是以一个代表性的例子来说明图3.7的整个系统特性。该图的左边是某一具有代表性的频谱，和，与图3.6完成相同，其中假定，所以没有频谱混叠。相应于离散时间滤波器输出的频谱就是和的乘积，图中将与重合画在一起。变换到就相当于对进行频率域的尺度变换，然后进行低通滤波。观察整个变换过程，对比与的频谱，显而易见

（3.5.1）

这样，对于输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图3.7的整个系统事实上就等效于一个频率响应为的连续时间系统，与离散时间频率响应的关系为

（3.5.2）

这个等效的连续时间滤波器的频率响应就是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有一个线性尺度变换。

3.6 离散时间信号的采样与抽取

离散信号与连续信号有很多相对应的性质，连续时间信号的采样定理是连续信号就行傅里叶分析的一个极其重要的定理，而离散时间信号是否具有类似的采样定理呢？

离散信号的采样过程如图3.9所示

图3.9 离散时间信号的采样

Figure 3.9 Discrete time signal sampling

其中

（3.6.1）

所以，在频域内就有

（3.6.2）

采样序列的离散时间傅里叶变换为

（3.6.3）

式中采样频率，所以得

（3.6.4）

其频谱特性如图3.10所示

图3.10 一个离散时间信号经脉冲串采样的频谱特性

Figure 3.10 The spectrum characteristics of a discrete time signal by pulse sequence sampling

由式（3.6.4）可知，当采样频率大于2倍最大数字频率时，不产生频谱混叠。此时可用低通滤波器恢复原信号。

在对离散信号进行脉冲采样是，采样点间间隔多个零点，这使得直接表示、传输和存储序列时将带来不必要的浪费。所以在应用中通常用序列的抽取序列来替代。对应关系如图3.11

（3.6.5）

图3.11 序列采样与抽取间的关系

Figure 3.11 The relationship between the sequence of sampling and extraction

为了确定抽取在频域中的效果，希望能求得的傅里叶变换和之间的关系。为此，有

（3.6.6）

如果令，那么

（3.6.7）

而的傅里叶变换

（3.6.8）

对比（3.6.7）式与（3.6.8）式可得

（3.6.9）

式（3.6.9）表明，已采样序列和抽取序列的频谱差别只在频率尺度上或归一化上。如果原来序列的频谱被适当的带限，以至于在中不存在混叠，那么就如图3.12所示，抽取的效果就是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带部分。

图3.12 采样与抽取之间的关系在频域中的说明

Figure 3.12 Description the relationship between the sampling and extraction in the frequency domain

与之间的关系可以从另一个角度进行理解。我们知道对连续信号进行采样，其离散时间傅里叶变换的频谱就是原连续信号频谱周期扩展后的尺度变换，换句话说就是对脉冲采样信号频谱的归一化过程。可以将原序列和抽取序列都看成是对连续时间信号的采样，从而序列与的关系是，序列的采样间隔是的倍。故的频谱和的频谱间存在一种伸缩变换的关系。

第四章 数字信号处理

在傅里叶变换和信号分析中，我们总希望能运用数值运算的方法对信号进行分析[13]。然而以上讨论的信号处理方式都是连续函数或者以积分的形式出现，这样不利于计算机进行处理。为了便于数值计算，我们期望有一种变换对，能够使其时域是离散、有限长的，频域同样是离散、有限长的。基于此，我们引入离散时间傅里叶变换（DFT），它是为了适应利用计算机分析傅里叶变换而规定的一种专门运算, 是对连续时间信号频谱分析的逼近[14]。

4.1 周期序列的离散傅里叶级数

我们先从周期序列的离散傅里叶级数（DFS）说起。周期信号可以看成非周期信号的周期性扩展。设是以周期为N的周期序列，在3.2节中曾讨论了周期序列的傅里叶级数表示形式，将求和区间限定在主值序列内，有：

（4.1.1）

（4.1.2）

表示周期序列的频谱系数。为了与离散傅里叶变换（DFT）相对应，定义，称为周期序列的离散傅里叶级数系数，用DFS表示。于是有：

（4.1.3）

（4.1.4）

将（4.1.3）式和（4.1.4）式称为一对DFS，、都以N为周期且都为离散序列。

4.2 离散傅里叶变换（DFT）

在离散傅里叶级数的变换中，我们已知与都是以N为周期的序列。对于周期信号而言，只要截取一个周期内的内容就能完全反映该信号的全部信息，即，只要对该截取周期内的信号进行周期扩展就可以得到原来的周期信号。基于此，我们定义长度为M的有限长序列的N点离散傅里叶变换：

（4.2.1）

（4.2.2）

式中，，N称为DFT变换区间长度，，可证的具有唯一性[15]。若是以周期为N的拓展序列，将（4.2.1）、（4.2.2）式与（4.1.3）、（4.1.4）式进行对比，将发现、分别是、的主值序列，即：

（4.2.3）

（4.2.4）

因此，可以说反映了的周期拓展序列的频谱特性。

序列的离散时间傅里叶变换为：

所以有： （4.2.5）

式（4.2.5）表明了离散傅里叶变换的物理意义[15]，即为的离散时间傅里叶变换在区间上的N点等间隔采样。由此可见，对于不同的变换区间长度N，DFT对在区间上的采样点数和采样间隔是不同的。图4.1所示的是的8点DFT和16点DFT与FT幅度特性的关系。

图4.1的FT与DFT的幅度特性关系

Figure 4.1 The relationship with amplitude characteristics between FT and DFT

4.2.1 频率域采样

在时域中，在一定条件下可由连续时间信号的采样值恢复原连续信号。那么在频域中是否也有类似的规律[16]？

我们设任意序列的DTFT：

对在上N点等间隔采样：

（4.2.6）

将看做是长度为N的有限长序列的DFT，即

由DFT与DFS之间的关系可知，是以N为周期的周期扩展信号的离散傅里叶级数系数的主值序列，是的主值序列。

将（4.2.6）式代入上式化简得：

（4.2.7）

所以： （4.2.8）

式（4.2.8）说明，在上的N点等间隔采样的N点IDFT是原序列以N为周期进行周期扩展后的主值序列。若的长度为M，当时，。这就是频域采样定理的内容。

图4.2 频域采样定理的验证

Figure 4.2 Verification of the frequency domain sampling theorem

如图4.2，(b)与(a)分别为原序列及其DTFT，序列长度为26。当对信号进行16点DFT时，其IDFT将产生混叠失真（如(d)所示）；但对信号进行32点DFT时，其IDFT与原信号相同，顺利恢复原序列。

对恢复出的信号进行DTFT可得到。所以，当时，序列的离散时间傅里叶变换在上的N点等间隔采样信号可恢复。

4.2.2 循环卷积

在DFT中有个及其重要的概念：循环卷积，并有循环卷积定理[17]。循环卷积与线性卷积具有一定的关系使得循环卷积定理具有很强的实用性，在计算系统输出以及用FFT实现FIR滤波器等都是以该定理为基础。

设序列和的长度分别为N和M，定义与的L点循环卷积为

（4.2.9）

式中，L称为循环卷积区间长度，。用表示循环卷积，表示L点循环卷积，所以上式表示为。直接计算循环卷积比较麻烦，在计算机中通常采用矩阵相乘或通过循环卷积定理利用离散傅里叶变换进行计算。

观察（4.2.9）式，我们可以建立一个的L点“循环卷积矩阵”：

并可得：

（4.2.10）

上式，就是在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积。由于，所以构造循环卷积矩阵和进行矩阵相乘时需要按情况进行补零。

在线性卷积中，对于给定序列，其线性卷积结果确定；而在循环卷积中，由于卷积结果受卷积长度L影响，故对给定序列，不同的卷积长度可能有不同的卷积结果。如图4.3所示，对给定序列进行4点和8点循环卷积，其卷积结果是不同的。

图4.3 序列及其循环卷积波形

Figure 4.3 Sequence and its cyclic convolution waveform

循环卷积定理表明，对于式（4.2.9）所示卷积，的L点DFT为：

（4.2.11）

其中，，。这是DFT中关键的一个定理。

关于线性卷积与循环卷积之间的关系，我们对比线性卷积和循环卷积的定义式，假设与的长度分别为N和M，有：

（4.2.12）

（4.2.13）

其中，。

所以： （4.2.14）

式（4.2.14）说明，对于有限长序列和的L点循环卷积是其线性卷积的以L为周期的周期扩展信号的主值序列，由于的长度为N+M-1，所以当时，的周期扩展不产生时域混叠，故此时。图4.4所示，它说明了线性卷积与循环卷积之间的关系。

图4.4 线性卷积与循环卷积

Figure 4.4 Linear convolution and cyclic convolution

图4.5 用DFT计算循环卷积的原理框图

Figure 4.5 The principle frame graph of calculating cyclic convolution

如图4.5所示，因为有循环卷积定理，我们可以用计算DFT的方式计算循环卷积，这与在第一章中介绍的可以用计算序列的DTFT来计算系统响应的方法类似。在L很大的情况下，这种算法将大大提高计算速度。

（4.2.12）式说明了循环卷积与线性卷积之间的关系，在的情况下，循环卷积等于线性卷积。由于可以用矩阵法和利用DFT计算循环卷积，故在满足时，我们也可以用相同的方法计算线性卷积。从而可以借助计算机计算线性卷积。

4.2.3 基于DFT的信号频谱分析

所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换，获得信号的频谱函数，研究信号的频谱特性。由于工程中遇到很多信号都为连续非周期信号，这种信号在时域和频域均是连续的，因此无法利用计算机直接对其进行频谱分析。而DFT是对连续信号时域和频率的采样，是离散的傅里叶变换，适合数值运算。故我们想到可以利用DFT对连续信号进行近似的频谱分析。

图4.6表示出信号相互转换及其对应傅里叶变换之间的关系[18]，并直观的理解用DFT对连续非周期信号进行频谱分析的方法。

图4.6 信号及其傅里叶变换之间的相互转换关系

Figure 4.6 the conversion relationship between signal and its Fourier transform

在傅里叶变换理论中我们知道对有限持续时间的信号其频谱是无限宽的，同样对频谱有限宽的信号其持续时间为无限长。而DFT对应的是有限长序列和有限点频域采样，故对连续非周期信号进行DFT处理时通常先对信号进行预滤波和截取处理，使信号满足DFT的要求，当然这也必然引入误差，这不是本文所要讨论的内容。

假设连续非周期信号是经过预滤波和截取处理后的有限长带限信号。

对连续时间信号以采样间隔进行等间隔脉冲采样，则其频谱以进行周期性延拓，当采样频率大于两倍的最高频率时，将不产生频谱混叠，于是对采样信号进行低通滤波处理便可恢复原信号。这说明在满足一定条件下连续信号的等间隔采样可恢复原信号。

对于从等间隔取样的序列，其N点DFT就是对的离散时间傅里叶变换在上的等间隔采样，用表示，在前边的讨论中我们知道，当变换区间长度N大于序列的长度时，对进行IDFT变能还原序列。

所以在满足采样定理的条件下对连续时间信号的等间隔脉冲采样信号可通过低通滤波器恢复原连续信号；在变换区间长度N大于采样序列长度的条件下，对序列傅里叶变换在主值区间内的等间隔采样可通过IDFT恢复原序列。这就是可以用离散傅里叶变换DFT来拟合连续信号频谱的基本思路。

4.3 快速傅里叶变换FFT

有限长序列的N点DFT为：

（4.3.1）

根据定义式发现计算N点的DFT需要进行次复数乘法和次复数加法运算，当N较大时，计算量太大。这大大限制了DFT算法的使用。为了快速计算 DFT，近半个世纪以来，人们对离散傅立叶变换的计算进行了大量的研究，提出了很多有效的快速计算 DFT 的方法。这些算法，称之为快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。快速博里叶变换并不是与DFT不同的另外一种变换，而是为减少DFT计算次数的一种快速有效的算法[19]。其突出的优点在于能快速高效地和比较精确地完成 DFT 的计算。

如上所述，N点DFT的复数乘法次数为。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为

（4.3.2）

其对称性表现为

（4.3.3a)

（4.3.3b）

FFT算法就是不断把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。目前，已经研究出了多种不同的FFT算法，但基本原理都是相同的。在此，我们仅以时域抽取基2FFT算法（简称DIT-FFT）为例进行讨论。

设序列的长度为N，且满足，M为自然数。按n的奇偶将分解为两个点的子序列

则的DFT为

因为：

所以

（4.3.4）

其中和分别为和的点DFT。由于和均以为周期，且，因此又可表示为

（4.3.5）

（4.3.6）

这样，就将N点的DFT分解为两个点的DFT和（4.3.5）与（4.3.6）式。（4.3.5）和（4.3.6）式的运算可用图4.7所示的流图符号表示，称为蝶形运算符号。

图4.7 蝶形运算符号

Figure 4.7 The butterfly computation symbols

采样这种图示法，经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.8表示，图中，N=8，由（4.3.5）式给出，而则由（4.3.6）式给出。

图4.8 8点DFT一次时域抽取分解运算流图

Figure 4.8 The flow diagram of one time decomposition operation in 8 point DFT

依照上述方法，对信号进行M次分解最后将N点DFT分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而一点DFT就是时域序列本身。一个完整的8点DIT-FFT运算流图如图4.9所示。

图4.9 8点DIT-FFT运算流图

Figure 4.9 The flow diagram of 8 point DIT-FFT

由DIT-FFT算法的分解过程及图4.9可见，时，其运算流图应有M级蝶形，每一级由N/2个蝶形运算构成。所以，M级运算总的复数乘法次数为

lb （4.3.7）

复数加法次数为

lb （4.3.8）

所以对比直接计算N点DFT，DIT-FFT大大减少了运算次数。

图4.10 DIT-FFT算法与直接计算DFT所需复数乘法次数的比较曲线

Figure 4.10 The comparison curve of complex multiplications required for DIT-FFT algorithm and direct DFT calculation

图4.10是运用DIT-FFT算法与直接计算DFT所需复数乘法次数与变换点数N的比较曲线，在图中我们能直观的看出FFT算法的优越性。也正是由于各种快速算法的提出，大大提高了DFT的运算速度，使得DFT能够在信号处理中得到广泛的应用，并极大促进了数字信号处理技术的发展。

第五章 总结

由于不同频率的复指数信号可叠加成相当广泛的一类有用信号，且对于LTI系统，复指数对系统的响应十分简单，其输出有一个很方便的表达式，所以我们可以运用傅里叶变换，从频率域对信号进行分析，并且傅里叶变换有多个极其有用的性质。使得傅里叶变换在信号分析领域得以广泛运用的原因。对比时域分析，它具有简化计算、便于分析等优势。

本文从基本概念出发，介绍了傅里叶变换的基本内容，并分析讨论了各种傅里叶变换的概念及其相互间的关系。如非周期信号的周期性延拓，其傅里叶级数是原信号傅里叶变换的等间隔采样；若离散序列由连续信号周期取样得到，则离散序列的离散时间傅里叶变换是连续时间信号傅里叶变换以取样频率进行周期性延拓后的尺度变换。然后对信号的离散化处理和离散信号的采样与抽取进行了简要介绍以加深对傅里叶变换的认识。

为了使傅里叶变换能够利用计算机进行分析计算。我们对信号及其频谱进行有限长取样，从而引入离散傅里叶变换DFT，这是对信号频谱分析的逼近。并且有多种快速算法，使得离散傅里叶变换得到广泛使用。

限于篇幅，关于傅里叶分析理论中两个极其重要的概念拉普拉斯变换和Z变换本文并不涉及。拉普拉斯变换是连续时间信号傅里叶变换的推广，Z变换是离散时间信号离散时间傅里叶变换的推广，引入拉普拉斯变换和Z变换可将傅里叶分析推广到更广泛的信号，并都有其特定的分析理论和方法。

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解析傅里叶变换