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第2课时　极坐标和直角坐标的互化

学习目标　1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．

知识点　极坐标和直角坐标的互化

思考1　平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？

答案　可以．

思考2　要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？

答案　①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．

梳理　互化的条件及互化公式

(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．

(2)互化公式

①极坐标化直角坐标：word/media/image6.gif

②直角坐标化极坐标：word/media/image7.gif

类型一　点的极坐标化直角坐标

例1　把下列点的极坐标化为直角坐标．

(1)Aword/media/image9.gif；(2)Bword/media/image10.gif；(3)Mword/media/image11.gif.

解　由公式word/media/image12.gif得

(1)x＝2cosword/media/image13.gif＝－word/media/image14.gif，y＝2sinword/media/image13.gif＝－1，

∴点A的直角坐标为(－word/media/image14.gif，－1)．

(2)x＝3cosword/media/image15.gif＝word/media/image16.gif，y＝3sinword/media/image15.gif＝－word/media/image16.gif，

∴点B的直角坐标为word/media/image17.gif.

(3)x＝6cosword/media/image18.gif＝－3word/media/image14.gif，y＝6sinword/media/image18.gif＝3，

∴点M的直角坐标为(－3word/media/image14.gif，3)．

反思与感悟　由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式word/media/image19.gif惟一确定．

跟踪训练1　已知点的极坐标分别为Aword/media/image20.gif，Bword/media/image21.gif，Cword/media/image22.gif，求它们的直角坐标．

解　根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得A(－1，word/media/image14.gif)，Bword/media/image23.gif，C(0，－4)．

类型二　点的直角坐标化极坐标

例2　分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)．

(1)(－2,2word/media/image14.gif)；(2)( word/media/image24.gif，－word/media/image25.gif)；(3) word/media/image26.gif.

解　(1)∵ρ＝word/media/image27.gif＝word/media/image28.gif＝4，

tanθ＝word/media/image29.gif＝－word/media/image14.gif，θ∈[0,2π)．

由于点(－2,2word/media/image14.gif)在第二象限，∴θ＝word/media/image30.gif.

∴点的直角坐标(－2,2word/media/image14.gif)化为极坐标为word/media/image31.gif.

(2)∵ρ＝word/media/image27.gif＝word/media/image32.gif＝2word/media/image25.gif，tanθ＝word/media/image29.gif＝－word/media/image33.gif，θ∈[0,2π)，由于点(word/media/image24.gif，－word/media/image25.gif)在第四象限，

∴θ＝word/media/image34.gif.

∴点的直角坐标(word/media/image24.gif，－word/media/image25.gif)化为极坐标为word/media/image35.gif.

(3)∵ρ＝word/media/image27.gif＝word/media/image36.gif＝word/media/image37.gif，tanθ＝word/media/image29.gif＝1，θ∈[0,2π)．

2018 - 2019学年高中数学第一讲坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化学案新人教A版选修4 - 4