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甘肃省兰州市2014年初中毕业生学业考试数学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.在下列绿色食品、循环回收、节能、节水的四个标志中,属于轴对称图形的是 (　　)

2.下列说法中错误的是 (　　)

A.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后6点朝上是必然事件

B.了解一批电视机的使用寿命,适合用抽样调查的方式

C.若为实数,则是不可能事件

D.甲、乙两人各进行10次射击,两人射击成绩的方差分别为, ,则甲的射击成绩更稳定

3.函数中,自变量的取值范围是 (　　)

A. B.

C. D.

4.期中考试后,班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩,小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”,小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”.上面两位同学的话能反映出的统计量是 (　　)

A.众数和平均数 B.平均数和中位数

C.众数和方差 D.众数和中位数

5.如图,在中, , , ,那么的值等于 (　　)

A. B.

C. D.

6.抛物线的对称轴是 (　　)

A. 轴 B.直线

C.直线 D.直线

7.下列命题中正确的是 (　　)

A.有一组邻边相等的四边形是菱形

B.有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.对角线垂直的平行四边形是正方形

D.一组对边平行的四边形是平行四边形

8.两圆的半径分别为, ,圆心距为,则这两个圆的位置关系是 (　　)

A.外切 B.相交 C.内切 D.内含

9.若反比例函数的图象位于第二、四象限,则的取值可能是 (　　)

A.0 B.2 C.3 D.4

10.一元二次方程有两个不相等的实数根.下列选项中正确的是 (　　)

A. B.

C. D.

11.把抛物线先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为 (　　)

A. B.

C. D.

12.如图,在中, , , .将绕直角顶点逆时针旋转得,则点转过的路径长为 (　　)

A. B.

C. D.

13.如图, 是的直径,弦于点,连接,.下列结论中不一定正确的是 (　　)

A. B.

C. D.

14.二次函数的图象如图所示,其对称轴为,下列结论中错误的是 (　　)

A.

B.

C.

D.

15.如图,在平面直角坐标系中,四边形是边长为4的正方形.平行于对角线的直线从出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线与正方形没有交点为止.设直线扫过正方形的面积为,直线运动的时间为 (秒).下列能反映与之间函数关系的图象是 (　　)

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.请把答案填在题中的横线上)

16.在四个完全相同的小球上分别写上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀.从口袋内任取出一个球记下数字后作为点的横坐标,放回袋中搅匀,然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点的纵坐标,则点落在直线上的概率是　　　　.

17.如果菱形的两条对角线的长为和,且,满足,那么菱形的面积等于　　　　.

18.如图, 为的内接三角形, 为的直径,点在上, ,则的度数等于　　　　.

19.如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.设道路宽为米,根据题意可列出方程为　　　　.

20.为了求的值.可令,则,因此,所以,即.仿照以上推理计算的值是　　　　.

三、解答题(本大题共8小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

21.(本小题满分10分,每小题5分)

(1)计算：；

(2)当为何值时,代数式的值等于1.

22.(本小题满分5分)

如图,在中,先作的角平分线交于点；再以边上的一点为圆心,过,两点作.(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)

23.(本小题满分6分)

兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制,规定每天完成家庭作业的时间不超过小时.该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查,并绘制出频数分布表(如图1)和频数分布直方图(如图2)的一部分.

(1)在图1中, 　　　　, 　　　　；

(2)补全频数分布直方图；

(3)请估计该校1 400名初中学生中,约有多少学生在小时以内完成了家庭作业.

24.(本小题满分8分)

如图,在电线杆上的处引拉线,固定电线杆.拉线和地面成角,在离电线杆6米处安置测角仪,在处测得电线杆上处的仰角为.已知测角仪的高为米,求拉线的长(结果保留根号).

25.(本小题满分9分)

如图,直线与双曲线相交于,两点, 点的坐标为.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)根据图象直接写出当时, 的取值范围；

(3)计算线段的长.

26.(本小题满分10分)

如图, 是的直径,点是上的一点, .

(1)求证：是的切线；

(2)已知, ,求的长.

27.(本小题满分10分)

给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称；

(2)如图,将绕顶点按顺时针方向旋转得到,连接, ,.已知.

①求证：是等边三角形；

②求证：,即四边形是勾股四边形.

28.(本小题满分12分)

如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,抛物线的对称轴交轴于点.已知,.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点,使是以为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出点的坐标；如果不存在,请说明理由；

(3)点是线段上的一个动点,过点作轴的垂线与抛物线相交于点,当点运动到什么位置时,四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标.

甘肃省兰州市2014年初中毕业生学业考试数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】A

【解析】A图形中存在着条竖直的对称轴，是轴对称图形；B，C，D不存在对称轴使图形两部分析叠后重合，故选A

【提示】确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分析叠后可重合.

【考点】轴对称图形的概念.

2.【答案】A

【解析】掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是随机事件，A错误；了解一批电视机的使用寿命，具有破坏性，适合用抽样调查的方式，B正确；若a为实数，则，所以是不可能事件，C正确；方差较小的数据较稳定，D正确，故选A.

【考点】事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质.

3.【答案】B

【解析】根据题意得，解得，故选B.

【考点】函数自变量的取值范围.

4.【答案】D

【解析】在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选D.

【考点】众数及中位数的定义.

5.【答案】D

【解析】在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，难度较小在中，，故选D.

【考点】锐角角函数的定义

6.【答案】C

【解析】抛物线的对称轴是直线，故选C

【提示】解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方.

【考点】二次函数的性质.

7.【答案】B

【解析】有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，如同底、腰不同的两个等腰三角形组成的四边形，A错误；有一个角是直角的平行四边形，根据平行线的性质知其余三个角也是直角，B正确；对角线垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，C错误；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，D错误，故选B.

【考点】特殊四边形的判定.

8.【答案】B

【解析】两个圆的半径分别是3cm和2cm，圆心距为2cm，又，这两个圆的位置关系是相交，故选B.

【考点】圆，圆的位置关系

9.【答案】A

【解析】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，即，故选A.

【知识拓展】对于反比例函数，（1）反比例函数图象在第一、三象限内；（2），反比例丽数图象在第二、四象限内.

【考点】反比例函数的图象.

10.【答案】B

【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，，故选B.

【提示】一元二次方程根的情况与判别式的关系:（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根.

【考点】一元二次方程根的判别式.

11.【答案】C

【解析】把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为，故选C.

【考点】二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是:左加右域，上加下减.

12.【答案】B

【解析】在中，，，，

将绕直角顶点C逆时针旋转得点B转过的路径长为，故选B.

【考点】旋转的性质以及弧长公式的应用.

13.【答案】C

【解析】CD是的直径，，不能导出，故选C.

【考点】垂径定理和圆周角定理.

14.【答案】D

【解析】因为二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，所以，由对称轴知所以，A正确；抛物线的对称轴是直线，故，B正确；由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有，C正确；直线与抛物线交于x轴的下方，即当时，，即，D错误，故选D.

【考点】二次函数的图象与系数的关系.

15.【答案】D

【解析】①当时，，即，该函数图象是开口向上的抛物线的一部分，B，C错误；②当时，，即，该函数图象是开口向下的抛物线的一部分，A错误，故选D

.

【考点】动点问题的函数图象考查分类讨论的思想、函数的知识和等腰直角三角形.

第Ⅱ卷

二、填空题

16.【答案】

【解析】列表得

共有16种等可能的结果，数字x，y满足的有，，，，数字x，y满足的概率为

【提示】注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件:树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，

【考点】用列表法或树状图法求概率.

17.【答案】2

【解析】由题意得，解得，菱形的两条对角线的长为1和4，菱形的面积.

【考点】非负数的性质，菱形的性质.

18.【答案】

【解析】与是AC所对的圆周角，；为的直径

【考点】圆周角定理与直角三角形的性质.

19.【答案】或，只要方程合理正确均可得分

【解析】设道路的宽应为x米，由题意得

【考点】由实际可题抽象出一元次方程.

20.【答案】

【解析】设①，两边都乘以3，得②，②-①得，两边都除以2，得

【考点】有理数的乘方和等式的性质.

三、解答题

21.【答案】（1）原式=

（2）由题意可知，

整理得

【考点】实数的运算，零指数幕，解一元二次方程——公式法，特殊角的三角函数值.

22.【答案】解：作出角平分线AD；

作出.

为所求作的圆.

【考点】复杂的尺规作图、角平分线、线段中垂线及圆.

23.【答案】（1）12，0.2

（2）如图.

（3）910人.

【考点】频数（率）分布直方图、频数（率）分布表以及用样本估计总体.

24.【答案】解:过点A作，垂足为M.

.

在中，

（4分）

在中，

答:拉线CE的长为m

【考点】解直角三角形的应用--仰角俯角问题.

25.【答案】（1）把代人中，解得.

反比例函数的表达式为

（2）或

（3）过点A作轴，垂足为C.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

26.【答案】（1）证明: 是的直径

BC是的切线

（2）

即

【考点】切线的判定相似三三角形的判定和性质.

27.【答案】（1）正方形、矩形、直角梯形（任选两个均可）.

（2）①证明:

是等边三角形.

②证明:

是等边三角形，

在中，

即四边形ABCD是勾股四边形

【考点】直角三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质，综合性较强.

28.【答案】（1）；

（2）；

（3）当时，的最大值为.

此时.

【解析】解:（1）经过点，

把代人，可得，

抛物线的表达式.

（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形.

.

（3）当时，

解得.

设直线BC的表达式为

把B，C两点坐标代人

解得

直线BC的表达式为

过点C作垂足为M，

当时，的最大值为.

此时.

【考点】待定系数法求一次函数的解析式的运用、二次函数的解析式的运用、勾股定理的运用、等腰三角的性质的运用、四边形的面积的运用.

2014年甘肃省兰州市中考数学试卷及答案