2017届高三数学理阶段测试（5月模拟）试题(太原市附答案）

太原2016—2017学年第二学期阶段性检测

高三数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知全集，则

A.B.c.D.

2.如果复数，则

A.的共轭复数为B.的实数为c.D.的实数为

3.假设有两个分类变量和的列联表：

对同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组为

A.B.c.D.

4.正项等比数列中的是函数的极值点，则

A.1B.2c.D.-1

5.已知o是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的最大值为

A.3B.2c.1D.0

6.我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND内的任何一个实数，它能随机产生内的任何一个实数）.若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为

A.B.c.D.

7.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，且，则直线AB的斜率为

A.B.c.或D.或

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.5B.c.7D.

9.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同的坐法的总数为

A.60B.72c.84D.96

10.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为

A.B.c.D.

11.已知双曲线的焦距为，直线，若，则与的左、右两支各有一个交点，若，则与的右支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围是

A.B.c.D.

12.已知函数，若在区间上存在个不同的的数，使得比值成立，则的取值集合是

A.B.c.D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，与的夹角为，则.

14.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为.（用数字作答）

15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）契合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为.（容器壁的厚度忽略不计）.

16.对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.（本题满分12分）

如图，在平面四边形中，已知在边上取点，使得，连接，若

（1）求的值；

（2）求的长.

18.（本题满分12分）

随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司m的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测m公司2017年4月份的占有率；

（2）为了进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A,B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是m公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策的依据，你会选择采购哪款车型？

19.（本题满分12分）

如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，且

（1）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图的痕迹，但不要求证明；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不交点时，能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

21.（本题满分12分）已知函数

（1）过点且与曲线相切的直线方程；

（2）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为.以坐标原点o为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于A,B两点，求.

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）求不等式的解集；

（2）设均为正数，，证明：.

太原五中高三数学一模理答案

选择题：cDAcBBcDcAcB

填空题：13.14.12015.4116.2017

17.解：

（1）在中，据正弦定理，有.

∵，，，

∴.

（2）由平面几何知识，可知，在中，∵，，

∴.

∴.

在中，据余弦定理，有

18.

19.解：（Ⅰ）取线段的中点，连结，直线即为所求．

如图所示：

（Ⅱ）以点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，得

取，得平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

∴．

20.解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，

因为在椭圆上，所以，

因此，，

故椭圆的方程为．

(Ⅱ)椭圆上不存在这样的点,证明如下:

设直线的方程为,

设,,,,的中点为,

由得,

所以,且,

故,且

由知四边形为平行四边形,

而为线段的中点,因此,也是线段的中点,

所以,可得,

又,所以,

因此点不在椭圆上．

21.解：（Ⅰ）

设切点为，则切线的斜率为

点在上，

，解得

切线的斜率为，切线方程为

（Ⅱ）

当时，即时，在上单调递增；

当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.

当时，有两个极值点，即，

，由得，

由

，即证明

即证明

构造函数，

在上单调递增，

又，所以在时恒成立，即成立

.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

（1）曲线的普通方程为，

则的极坐标方程为，

由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标为（或）

（2）由得：，故，，

∴.

23.选修4-5：不等式选讲

23.解：（Ⅰ）记

由，解得，则不等式的解集为．

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