中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练

word/media/image1_1.png阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：
已知平面上两定点C、B，则所有满足6f16c19722bcc1e51371f1b61e95cf73.png (k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆A上运动时，PC、PB的长在不断的发生变化，但8643b48722c27fee3c37b2949921187e.png的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△APB的边AB上找一点C，使得8859edb7609a1f16f3b8b5ffc43ad174.png，则此时△APC∽△ABP。

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那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:

例：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.

(1) 求0de8eda439976cfdb5ee6505a6db41f7.png的最小值为

(2) 求42827bffbda205b562091c991e8f6548.png的最小值为

第（1）问解题基本步骤：构造△OPC∽△OBP,则8954148b93cf4f9bfdb4ddaed8c1a4c5.png（相似比）

word/media/image9.gif分别连接圆心O与系数不为1的线段BP的两端点，即OP，OB;

word/media/image10.gif计算21bef421e6b6f00775c99976dd8fff04.png的值，则48ea0a62ff10fa2f7104fd746ebdcf6a.png（ed877ff4ab26b69df5f29790bb8affe4.png）

word/media/image14.gif计算OC的长度，由aaf768e432331006bb32023f08e919d0.png得：ec4721c010638f6e989495fc7e8c1bfe.png（相似比×半径）

word/media/image17.gif连接AC，当A、P、C三点共线时，b3da4ec9f98e10122a7a4101c5f674b3.png

word/media/image19.gif计算AC的长度即为最小值.

word/media/image20_1.png实战练习：

1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，

试求29dea57ee1b84d0c6eac7a069cf75d14.png的最小值

2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求0fa8203a9f49cfd1ef452a08f249fa69.png的最小值

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3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，

word/media/image24_1.png（1）59175e022d548465202239876a6ccb89.png的最小值;

（2）98b5f24b2c2b114fc110f8216462b0c5.png的最小值.

4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7.

(1)求OD的长；

（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.

word/media/image9.gif求证：△OPQ∽△ODP;

word/media/image10.gif是否存在点P，使7bba98a789eb86bf5f41ce9524526f5e.png有最小值，若存在，试求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求241f18cae6bb83872220c2e05f95e65c.png的最小值和8a7cc4c293415fed980b968442700178.png的最大值.

(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么4085b7f3bb091c48c9e2bcbf88d01a56.png的最小值为 ；72d753cba1fe462e5a41c2aa78612728.png的最大值为

（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么241f18cae6bb83872220c2e05f95e65c.png的最小值为 ；8a7cc4c293415fed980b968442700178.png的最大值为

6、（2016年＊ 济南28题）如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若e59fafad98d862eedad1b15e998e9e38.png＝0c4209a8faecbcee233e5df1e1751e24.png，求m的値；

（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋6b947573d14816876763af57c7a89b2e.pngE′B的最小值．

word/media/image36.gifword/media/image37.gif

7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=0cce42a3431b1eaa8259a6af2e08470a.pngx+dae2e19eb75eab9e71ee927742c6d2fe.png．

（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，326dd1f7ed6eaf4a001561fb4694699c.png始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

ii：试求出此旋转过程中，（NA+9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.pngNB）的最小值．

（完整word版）阿氏圆