课时训练(二十五)圆的基本概念与性质

|夯 实 基 础|

一、选择题

1．如图K25－1，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是(　　)

A．26° B．30° C．32° D．64°

图K25－1

　　　图K25－2

2．如图K25－2，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(　　)

A．20° B．40° C．50° D．70°

3．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)

A．正三角形 B．正方形

C．正五边形 D．正六边形

4．如图K25－3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(　　)

A. B．2 C．6 D．8

图K25－3

　　　图K25－4

5．如图K25－4，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是(　　)

A．AB＝AD B．BC＝CD

C.＝ D．∠BCA＝∠ACD

图K25－5

6．如图K25－5，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为(　　)

A．5 B.

C．5 D．5

7．如图K25－6，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为(　　)

A. B．2 C．2 D．8

图K25－6

　　　图K25－7

8．]如图K25－7，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　)

A．2＜r＜

B.＜r＜3

C.＜r＜5

D．5＜r＜

二、填空题

9．如图K25－8，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝________°.

图K25－8

　　　图K25－9

10．如图K25－9，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD的度数为________．

11．如图K25－10，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________．

图K25－10

12．如图K25－11所示，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.

图K25－11

　　　图K25－12

13．如图K25－12，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝6，BD＝5，则BC的长为________．

三、解答题

14．如图K25－13，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．

图K25－13

15．如图K25－14，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.

(1)求证：四边形AECD为平行四边形；

(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.

图K25－14

|拓 展 提 升|

图K25－15

16．如图K25－15，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以1 cm/s的速度从点A出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t s(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．(填出一个正确的即可)

17．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.

(1)如图K25－16①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

(2)如图K25－16②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

　　　　　　　　　　　　　　图K25－16

参考答案

1．C

2．C　[解析] ∠D＝40°，根据圆周角性质则有∠B＝∠D＝40°.

又AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°－40°＝50°.

3．A　[解析] 正三角形的边所对的圆心角是120°；正方形的边所对的圆心角是90°；正五边形的边所对的圆心角是72°；正六边形的边所对的圆心角是60°.故选A.

4．B　[解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3，在Rt△OCE中，CE＝＝＝.因为AB⊥CD，所以CD＝2CE＝2.

5．B　[解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．

6．D　[解析] 连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D，由题意可知OB⊥AP；易知△OAB为等边三角形，再运用解直角三角形的知识可求出AP的长为5.故选D.

7．C　[解析] 作OH⊥PD于H，AP＝2，BP＝6，则AO＝BO＝4，则PO＝2，又∠HPO＝∠APC＝30°，∴OH＝1，OD＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2.

8．B　[解析] 根据图形中网格与勾股定理可知，AD＝2，AE＝AF＝，AB＝3，∴AB＞AE＞AD.以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则必须满足＜r＜3.

9．70

10．90°　[解析] 根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，得到∠EOD＝2∠A＝2×45°＝90°.

11．58°　[解析] 连接OB.在△OAB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵∠OAB＝32°，∴∠OBA＝32°.∴∠AOB＝180°－2×32°＝116°.

而∠C＝∠AOB，∴∠C＝58°.

12．8　[解析] 设钢珠的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.在Rt△AOD中，利用勾股定理得AD＝＝＝4(mm)，所以AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．

13．8　[解析] 连接DA，因为∠ACB＝90°，所以AB为直径，所以∠ADB＝90°，因为CD平分∠ACB，所以BD＝AD，在△ABD中AB＝＝＝10，在△ABC中BC＝＝＝8.

14．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠CDE＝∠C.

又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，

∴∠CDE＝∠B，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC.

(2)连接AE，则AE⊥BC，

∴BE＝EC＝BC.

在△ABC与△EDC中，

∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，

∴△ABC∽△EDC，

∴＝，∴DC＝＝.

由AB＝4，BC＝2，

∴DC＝＝.

15．证明：(1)根据圆周角定理知∠E＝∠B，

又∵∠B＝∠D，

∴∠E＝∠D，

又∵AD∥CE，

∴∠D＋∠DCE＝180°，

∴∠E＋∠DCE＝180°，

∴AE∥DC，

∴四边形AECD为平行四边形．

(2)如图，连接OE，OB，由(1)得四边形AECD为平行四边形，

∴AD＝EC，

∵AD＝BC，∴EC＝BC，

∵OC＝OC，OB＝OE，∴△OCE≌△OCB(SSS)，

∴∠ECO＝∠BCO，即CO平分∠ECB.

16．答案不唯一，如4　[解析] ∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°.

∵∠ABC＝60°，BC＝4 cm，

∴AB＝2BC＝8 cm.

∵F是弦BC的中点，

∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，

此时E为AB的中点，即AE＝AO＝4 cm，

∴t＝4÷1＝4(s)，

或t＝＝12(s)．

当FE⊥AB时，∵FB＝BC＝2(cm)，

∠B＝60°，∴BE＝FB＝1(cm)，

∴AE＝AB－BE＝8－1＝7(cm)，

∴t＝＝7(s)．

或t＝＝9(s)．

17．解：(1)如图①，连接OQ，∵PQ∥AB，PQ⊥OP，

∴OP⊥AB，∵tan30°＝，∴OP＝3×＝，由勾股定理得PQ＝＝.

(2)如图②，连接OQ，由勾股定理得PQ＝＝，要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC，∵∠ABC＝30°，∴OP＝OB＝，此时PQ最大值＝＝.

中考数学复习 第6单元圆第25课时圆的基本概念与性质检测（湘教版）