2013年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(安徽卷)

一、单项选择题，共 10 题，每题5分

1、设i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则a的值为 （ ）

(A) -3(B) -1(C) 1(D) 3

【答案】D;

2、如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）

(A) (B)

(C) (D)

【答案】C;

3、“(2x-1)=0”是“x=0”的（ ）

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件

【答案】B;

4、已知A={x|x+1＞0}，B={-2,-1,0,1},则 （ ）

(A) (B)

(C) (D)

【答案】A;

5、若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）

(A) (B)

(C) (D)

【答案】D;

6、直线x+2y-5+ =0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（ ）

(A) 1(B) 2

(C) 4(D)

【答案】C;

7、设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=-2，则a9=（ ）

(A) (B)

(C) (D) 2

【答案】A;

8、函数y=f（x）的图像如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）

(A) (B)

(C) (D)

【答案】B;

9、设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若b+c=2a，3sinA=5sinB,则角 =（ ）

(A) (B)

(C) (D)

【答案】B;

10、已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（ ）

(A) 3(B) 4

(C) 5(D) 6

【答案】A;

二、填空题，共 5 题，每题5分

1、函数y=ln 的定义域为_____________.

【答案】;

2、若非负数变量x,y满足约束条件 ，则x+y的最大值为__________.

【答案】4;

3、若非零向量a,b满足 ，则 夹角的余弦值为_______.

【答案】;

4、定义在R上的函数f(x)满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时。 ，则当 时， =________________.

【答案】;

5、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当 时， 为四边形

②当 时， 为等腰梯形

③当 时， 与 的交点 满足

④当 时， 为六边形

⑤当 时， 的面积为

【答案】①②③⑤ ;

三、解答题，共 6 题，每题5分

1、设函数f（x）=sinx+sin .

（Ⅰ）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数 的图像可由 的图象经过怎样的变化得到.

【解析】（1）因为

所以当X+π6 =2k - π2 , 即x=2k -2π3 (k∈Z )时，

的最小值为 ，此时x 的集合{x| x=2k -2π3 (k∈Z )}

先将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），得 的图象；再将 的图象上所有的点向左平移 个单位，得y=f(x)的图象。

2、为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；

（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 ，估计 的值.

【解析】（1）设甲校高三年级学生总人数为n,由题意知，

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 。

（2）设甲、乙两校样本平均分别为 ，根据样本茎叶图可知。

因此 故 的估计值为0.5分

3、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°.已知 .

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若 为 的中点，求三菱锥 的体积.

【答案】因为E是PA的中点，所以 由 知， 因为 , 所以 .又 . 故 . 由（1）知， ;

【解析】（1）证明：连接AC,交于BD于 点，连接PO.

因为底面ABCD是菱形，所以

由 知， 。再由 知，

（2）

4、设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 满足

(Ⅰ)求数列 的通项公式；

（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 .

【解析】（1）由题设可得， 对任意 ，

，即 故 为等差数列。

由 ，解得 的公差d=1，所以， 。

（2）由 知，

5、设函数 ，其中 ，区间 .

（Ⅰ）求l的长度（注：区间 的长度定义为 ；

（Ⅱ）给定常数k∈(0,1)，当 时，求 长度的最小值.

【解析】（1）因为方程 ＝0（ ）有两个实根 ，故 的解集为 因此区间 ，区间长度为

（2）设 ，令 ，得 ，由于 ，故 当 时， 单调递增；

当 时， 单调递减；

因此当 ， 的最小值必定在 或 处取得。

而 ，故 。

因此当 时， 在区间 上取得最小值 。

6、已知椭圆 的焦距为4，且过点 .

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点 ,连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 。点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】（1）因为焦距为4，所 ，又因为椭圆C过点 ，所以 ，故 ， ，从而椭圆C的方程为 。

（2）由题意，E点坐标为 ,设 ，则 ， ，再由 知， ,即 。由于 ，故 。因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点 。

故直线 的斜率 。

又因 在椭圆C上，所以 。 ①

从而

故直线 的方程为 ②

将②代入椭圆C方程，得：

③

再将①代入③，化简得：

解得 ，即直线 与椭圆C一定有唯一的公共点。

2013年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（安徽卷）