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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）

数学理

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设复数z满足=i，则|z|=

（A）1 （B） （C） （D）2

【答案】A

考点：1.复数的运算；2.复数的模.

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A） （B） （C） （D）

【答案】D

【解析】

试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

（3）设命题P： nN， >，则P为

（A）nN, > （B）nN,≤

（C）nN,≤ （D）nN, =

【答案】C

【解析】

试题分析：:，故选C.

考点：特称命题的否定

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

【答案】A

【解析】

试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.

考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式

（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是

（A）（-，） （B）（-，）

（C）（，） （D）（，）

【答案】A

考点：向量数量积；双曲线的标准方程

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

【答案】B

考点：圆锥的体积公式

（7）设D为ABC所在平面内一点，则（ ）

（A） (B)

（C） (D)

【答案】A

【解析】

试题分析：由题知=，故选A.

考点：平面向量运算

(8) 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为

(A)（）,k (b)（）,k

(C)（）,k (D)（）,k

【答案】D

【解析】

试题分析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.

考点：三角函数图像与性质

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

【答案】C

【解析】

试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，

执行第2次，S=S-m=0.25, =0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

执行第3次，S=S-m=0.125, =0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

执行第4次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

执行第5次，S=S-m=0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

执行第6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

执行第7次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.

考点：程序框图

（10）的展开式中，的系数为

（A）10 （B）20 （C）30（D）60

【答案】C

【解析】

试题分析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.

考点：排列组合；二项式定理

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=

（A）1（B）2（C）4（D）8

【答案】B

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式

12. 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）

A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）

【答案】D

【解析】

试题分析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.

因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时， =，

当时， =-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.

考点：导数的综合应用

第卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a=

【答案】1

考点：函数的奇偶性

（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。

【答案】

【解析】

试题分析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.学优高考网[来源:学优高考网]

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

（15）若x,y满足约束条件，则的最大值为 .

【答案】3

【解析】

试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

考点：线性规划解法

（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

【答案】（，）

【解析】

试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

为数列{}的前n项和.已知＞0， =.

（Ⅰ）求{}的通项公式：

（Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和. 学优高考网

试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，

当时， ==，即，因为，所以=2，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =，

所以数列{}前n项和为= =.

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。[来源:学优高考网]

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

[来源:学优高考网]

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分

故.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ……12分

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

表中w1 =1, ， =

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）46.24

∴关于的回归方程为.……6分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.

∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为

，即.

故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为

，即.

故所求切线方程为或. ……5分

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；

（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.

因此，当时，轴是曲线的切线. ……5分

（Ⅱ）当时，，从而，

∴在（1，+∞）无零点.

当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.

当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.

(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.

(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.学优高考网

1 若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.

2 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；

3 若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分

综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. ……12分

考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E

（I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（Ⅱ）若，求∠ACB的大小. 

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°

考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I） 求，的极坐标方程；

（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为，

∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分

（Ⅱ）将代入，得，解得=， =，|MN|=－=，

因为的半径为1，则的面积=.

考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.学优高考网[来源:学优高考网gkstk]

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法[来源:学优高考网gkstk]

2015年高考试题数学理（新课标1卷） 解析版