期权价格计算公式

股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下

式中：dz的差分满足如下条件的正态分布

在一般情况下，ds 可用下式表示：

----------- （1）

或表示为：

式中：股票价格的期望漂移率， 为一个恒定参数；为股票价格波动的方差， 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。

如果存在一个变量 G ，它是股票S的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S和G都受到同一个基本的不确定性因素的影响。根据ITO定理，函数G的行为遵循如下微分方程描述的过程：

-------------（2）

函数G的漂移率为

方差为

如果G代表股票S的一种期权，我们想用S和G构造一组风险中性的证卷组合。为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：

---------------（3）

----------（4）

由于公式（3）、（4）中的）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除。

恰当的证卷组合是：

-1； 卖空一个期权

；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。定义这个证卷组合的价值为，表达式为

---------（5）

时间后，这个证卷组合的价值变化为：

-----------（6）

将（3）、（4）带入（6），消去，得：

---------（7）

由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是

---------（8）

将（5）、（7）带入（8），得：

将上式进一步化简，得：

--------（9）

这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes微分方程。这个微分方程的解，与它的边界条件有关。

欧式看涨期权的边界条件是，

G=max(S-X,0) 当 t=T时

欧式看跌期权的边界条件是：

G=max(X-S,0) 当t=T时

在风险中性世界中，欧式看涨期权到期日的期望价值是：

Black-Scholes证明，欧式看涨期权的价格c是这个数学期望值的贴现结果，解析表达式为

------（10）

其中：

式中，N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数，所有小于x的随机变量出现的机会的总和。

同理，看跌期权价格的计算公式如下：

------（11）

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