江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=　 　．

2．（5分）函数y=3tan（2+）的最小正周期为　 　．

3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为　 　．

4．（5分）若指数函数f（）=a（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为　 　．

5．（5分）cos240°的值等于　 　．

6．（5分）函数f（）=的定义域是　 　．

7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=　 　．

8．（5分）若偶函数f（）满足f（+π）=f（），且f（﹣）=，则f（）的值为　 　．

9．（5分）设函数f（）=则f（log214）+f（﹣4）的值为　 　．

10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（）=4+loga（+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为　 　．

11．（5分）将函数f（）=sinω（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（）的图象，若对于满足|f（1）﹣g（2）|=2的1，2，有|1﹣2|min=，则f（）的值为　 　．

12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=　 　．

13．（5分）设函数f（）=，若函数f（）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　 　．

14．（5分）已知不等式（m+5）（2﹣n）≤0对任意∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为　 　．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．

（1）若a=﹣1，求A∪B；

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．

（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；

（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．

17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（）的解析式；

（2）若将函数f（）的图象上所有点的横坐标变为原的2倍，纵坐标不变，得到函数g（）的图象，求当∈[﹣，]时，函数g（）的值域；

（3）若将y=f（）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（）的图象，若=h（）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．

18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）

（1）若m=﹣，求与的夹角θ；

（2）设．

①求实数m的值；

②若存在非零实数，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣+t），求的最小值．

19．（16分）某市居民自水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5，3吨．

（1）求y关于的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．

20．（16分）已知函数f（）=2+4+a﹣5，g（）=m•4﹣1﹣2m+7．

（1）若函数f（）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；

（2）当a=0时，若对任意的1∈[1，2]，总存在2∈[1，2]，使f（1）=g（2）成立，求实数m的取值范围；

（3）若y=f（）（∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（注：区间[p，q]的长度q﹣p）

江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=　{0，1}　．

【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，

∴A∩B={0，1}．

故答案为：{0，1}．

2．（5分）函数y=3tan（2+）的最小正周期为　　．

【解答】解：由正切函数的周期公式得T=，

故答案为：

3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为　（2，1）　．

【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），

则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．

故答案为：（2，1）．

4．（5分）若指数函数f（）=a（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为　　．

【解答】解：指数函数f（）=a（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），

∴8=a3，

解得a=2，

∴f（）=2，

∴f（﹣1）=2﹣1=，

故答案为：．

5．（5分）cos240°的值等于　﹣　．

【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．

故答案为：﹣．

6．（5分）函数f（）=的定义域是　[e，+∞）　．

【解答】解：要使原函数有意义，则﹣1+ln≥0，即ln≥1，解得≥e．

∴函数f（）=的定义域是[e，+∞）．

故答案为：[e，+∞）．

7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=　　．

【解答】解：由题意可得||====，

故答案为：．

8．（5分）若偶函数f（）满足f（+π）=f（），且f（﹣）=，则f（）的值为　　．

【解答】解：由题意，f（+π）=f（），可知函数的周期T=π，则f（）=f（）

∵f（﹣）=，f（）是偶函数．

∴f（）=

即f（）的值为．

故答案为：．

9．（5分）设函数f（）=则f（log214）+f（﹣4）的值为　6　．

【解答】解：∵函数f（）=，

∴f（log214）=7，

f（﹣4）=﹣1，

∴f（log214）+f（﹣4）=6，

故答案为：6．

10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（）=4+loga（+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为　　．

【解答】解：函数f（）=4+loga（+4）的图象恒过定点P，即+4=1，解得：=﹣3，则y=4

故P的坐标为（﹣3，4），

角α的终边经过点P，

则cosα=．

故答案为：．

11．（5分）将函数f（）=sinω（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（）的图象，若对于满足|f（1）﹣g（2）|=2的1，2，有|1﹣2|min=，则f（）的值为　1　．

【解答】解：将函数f（）=sinω（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（）=sinω（﹣）的图象，

若对于满足|f（1）﹣g（2）|=2的1，2，有|1﹣2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，

f（）=sin2，

则f（）=sin=1，

故答案为：1．

12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=　9　．

【解答】解：∵=3，=2，

∴，，==．

∴==，==﹣．

∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．

故答案为：9．

13．（5分）设函数f（）=，若函数f（）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　1≤a＜2，或a≥4　．

【解答】解：∵y=2，＜2，0＜2＜4，

∴0＜a＜4时，2﹣a=0，有一个解，

a≤0或a≥4，2﹣a=0无解

∵2﹣3a+2a2=（﹣a）（﹣2a），

∴当a∈（0，1）时，

方程2﹣3a+2a2=0在[1，+∞）上无解；

当a∈[1，2）时，

方程2﹣3a+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；

当a∈[2，+∞）时，

方程2﹣3a+2a2=0在∈[1，+∞）上有且仅有两个解；

综上所述，函数f（）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4

故答案为：1≤a＜2，或a≥4

14．（5分）已知不等式（m+5）（2﹣n）≤0对任意∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为　{﹣4，24}　．

【解答】解：当n≤0 时，由（m+5）（2﹣n）≤0，得到m+5≤0 在∈（0，+∞） 上恒成立，则m不存在；

当n＞0 时，由（m+5）（2﹣n）≤0，可设f（）=m+5，g（）=2﹣n，

那么由题意可知：，

再由m，n是整数得到或 ，

因此m+n=24或﹣4．

故答案为：{﹣4，24}．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．

（1）若a=﹣1，求A∪B；

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），

∴A∪B=[﹣1，3）；

（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，

∴，

解得：0≤a≤1．

16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．

（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；

（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．

【解答】（本题满分为14分）

解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，

∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，

∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．

（2）∵，

∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，

∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，

∴sin（π﹣α）•sin（）=sinα•cosα=﹣．

17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（）的解析式；

（2）若将函数f（）的图象上所有点的横坐标变为原的2倍，纵坐标不变，得到函数g（）的图象，求当∈[﹣，]时，函数g（）的值域；

（3）若将y=f（）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（）的图象，若=h（）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．

【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，

数据补全如下表：

函数表达式为f（）=3sin（2+）．

（2）将函数f（）的图象上所有点的横坐标变为原的2倍，纵坐标不变，

得到图象对于的函数解析式为：g（）=3sin（+）．

由∈[﹣，]，可得：+∈[﹣，]，可得：sin（+）∈[﹣，1]，

可得：函数g（）=3sin（+）∈[﹣，3]．

（3）若将y=f（）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（）的图象，若h（）图象的一个对称中心为（），

由（Ⅰ）知f（）=3sin（2+），得g（）=3sin（2+2θ+）．

因为y=sin的对称中心为（π，0），∈．

令2+2θ+=π，解得=﹣θ，∈．

由于函数y=g（）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，

解得θ=﹣，∈．由θ＞0可知，当=1时，θ取得最小值．

18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）

（1）若m=﹣，求与的夹角θ；

（2）设．

①求实数m的值；

②若存在非零实数，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣+t），求的最小值．

【解答】解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，

则有cosθ===﹣，∴θ=．

（2）①设，则=﹣=0，∴m=．

②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，

若存在非零实数，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣+t）=0，

∴﹣+[﹣（t2﹣3）+t]+t（t2﹣3）=﹣•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4=t（t2﹣3），

∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，

故的最小值为﹣．

19．（16分）某市居民自水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5，3吨．

（1）求y关于的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．

【解答】解：（1）由题意知，≥0，令5=5，得=1；令3=5，得=．

则当0≤≤1时，

y=（5+3）×2.6=20.8

当1＜≤时，

y=5×2.6+（5﹣5）×4+3×2.6=27.8﹣7，

当＞时，

y=（5+5）×2.6+（5+3﹣5﹣5）×4=32﹣14；

即得y=

（2）由于y=f（）在各段区间上均单增，

当∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；

当∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；

令27.8﹣7=34.7，得=1.5，

所以甲户用水量为5=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元

乙户用水量为3=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元

20．（16分）已知函数f（）=2+4+a﹣5，g（）=m•4﹣1﹣2m+7．

（1）若函数f（）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；

（2）当a=0时，若对任意的1∈[1，2]，总存在2∈[1，2]，使f（1）=g（2）成立，求实数m的取值范围；

（3）若y=f（）（∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（注：区间[p，q]的长度q﹣p）

【解答】解：（1）由题意得：f（）的对称轴是=﹣2，

故f（）在区间[﹣1，1]递增，

∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，

故有，即，解得：0≤a≤8，

故所求实数a的范围是[0，8]；

（2）若对任意的1∈[1，2]，总存在2∈[1，2]，使f（1）=g（2）成立，

只需函数y=f（）的值域是函数y=g（）的值域的子集，

a=0时，f（）=2+4﹣5，∈[1，2]的值域是[0，7]，

下面求g（），∈[1，2]的值域，

令t=4﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，

①m=0时，g（）=7是常数，不合题意，舍去；

②m＞0时，g（）的值域是[7﹣m，2m+7]，

要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，

只需，解得：m≥7；

③m＜0时，g（）的值域是[2m+7，7﹣m]，

要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，

只需，解得：m≤﹣，

综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；

（3）由题意得，解得：t＜，

①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，

∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，

即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；

②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，

∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；

③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，

∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，

即t2=6，解得：t=或t=﹣，

故此时不存在常数t满足题意，

综上，存在常数t满足题意，

t=﹣4﹣3或t=﹣．

2019-2020年江苏省徐州市高一上册期末数学试卷（有答案）[精美本]