2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高二（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数310d079805fb03ff945852eaa9f8c7f1.png分别为300539b405a5af0c5023a5ee1d268470.png，bca7ba75caac67b75fa8c9a101f25bf1.png，136ba81d3813591cdcc15fcb924b9437.png，10efc2614821dcf1b1ebc941ebd6ce1f.png，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数310d079805fb03ff945852eaa9f8c7f1.png的值是00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 300539b405a5af0c5023a5ee1d268470.png B. bca7ba75caac67b75fa8c9a101f25bf1.png C. 136ba81d3813591cdcc15fcb924b9437.png D. 10efc2614821dcf1b1ebc941ebd6ce1f.png

2. 函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域为R，导函数a458df71efc19067d1752bf2206f93cc.png的图象如图所示，则函数a6bc374b04cfbe8a6208e53398b7407f.png

A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点

3. 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．

附表：

由38d79e151ab46e0e3340f1206ab8bd49.png算得，dd2789b0c78ac3fcef3c48d95eeb2532.png参照附表，得到的正确结论是00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 在犯错误的概率不超过db69a14c8eada1eb99f9f43830fd2fcd.png的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 在犯错误的概率不超过db69a14c8eada1eb99f9f43830fd2fcd.png的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C. 有052dc876aab54eb67279c4bb23f10aed.png以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D. 有052dc876aab54eb67279c4bb23f10aed.png以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

4. 已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png表示，那么8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的取值为00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 0，1 B. 1，2 C. 0，1，2 D. 0，1，2，3

5. 已知X的分布列为

且a98aee0ab7167ce6983316bafa69dea3.png，fc4d7554174bb1f1b425df328179fac7.png，则a为00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 设两个正态分布d03a21ae7bd6250f4f301c7161f5d888.png和42ac4613a8d2fcd73e5c86a3b31086a4.png的密度曲线如图所示，则有00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 3456941905bf15e752d1e274f6b16d34.png，4e50d16ef775e9bc82187db2896c04c0.png
B. 3456941905bf15e752d1e274f6b16d34.png，08d0854a4b47a3aa894b2a5da79558d7.png
C. 1f9cb224dacd199a85dd6a6c1a7ddda9.png，4e50d16ef775e9bc82187db2896c04c0.png
D. 1f9cb224dacd199a85dd6a6c1a7ddda9.png，08d0854a4b47a3aa894b2a5da79558d7.png

7. 从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 68bade7151c02e1faf2763fb629da842.png B. 63ac04a7050d8a1986144491e7e74ff3.png C. 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png D. 6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png

8. 设函数09ac5a295a68323a8e074ef1d8cbb755.png，8ee8fbc01a2f990111557511df67ac44.png若实数a，b满足6478abd42793e6f5a29a811892cd0e8d.png，72ca583eb28a6c58c2acd6154a09fbd3.png，则00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png．

A. 2a73d85930bd4fdd5e5b69c71160bea2.png B. 1ceac2d500cd583fa35ed189ba729949.png
C. 6de07a671c11bf22a30951eb1ed06943.png D. 166b40d6981c8392e02cc0e23a0ffc75.png

9. 4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 81 B. 64 C. 24 D. 16

10. 0215ec7d99ea0b6c0e1fd6c3f5f43d24.png的展开式中dc3f694196c8835b0f074d1d82889d16.png的系数为84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.png  9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png

A. 12 B. 16 C. 20 D. 24

11. 已知函数716e1fbdd77030fe4bf97ed07c371ca4.png的图象为曲线C，若曲线C存在与直线1513b4823debad06c69564d3346aecb9.png垂直的切线，则实数m的取值范围是00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. b3f6ff1dcd4c36135337cc5ac39debca.png B. d4dc197bdd2ac0a2dddc095050ddce9c.png C. 01db524505ba6238c94b98a8419845c7.png D. d181a0091b13e7149aca2626f3923f27.png

12. 若函数bcfb1c05685e8896e0aa6f898856822a.png，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是00c57d957de5ef0477b0bbfd8683b100.png

A. 82a2d3646998b80552965f9919d183c5.png B. 762f8eb6241165bb0eaad798fc2059ff.png C. 1ab2efce193be94000f86b60c9051129.png D. 5282690558ac5003bd6f9b3fae57d9ce.png

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

13. 409947f5f18fed794aca5cc030f31f1a.png，若b79b2cca149c614fbc14394aeb211a37.png，则73583bb987c3421be163ba0f76cd768b.png______．

14. 已知随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png服从正态分布ac75afb379a56bf75ed0675850b89044.png，且536795cf9d097618fa18fc8467a3d3f3.png，则ba4dad371ffe8d30cf6a8033700a4b28.png______．

15. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是______．

16. 69c9648010d8eb6a4035580813b882be.png的展开式中常数项是______．

17. 若函数c8bedd41836e26b2c085481a10b5d860.png恰在75088b46132fb25afe18309c5681c320.png上单调递减，则实数a的值为______．

18. 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是______．

19. 已知54decc194306de302aa40d9f9999ca3f.png，2442cc4eacf2ae046380bca8812af151.png，直线l与函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的图象都相切，且与函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象的切点为a609785fe5346b1dcb9dcbe70bc202e9.png，则m的值为______．

20. 已知函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在R上的奇函数，当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，84729ae2c66fbcea8580309996b4971f.png，且d3216dd84b496e6d2cb794119abcd813.png，则不等式69f7e37ae2e40b9d48768a40b013cb84.png的解集是______．

三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）

21. 每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.png每道题被选中的概率相等9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png，设随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png求随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的分布列及数学期望．

22. 甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png和463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png，每次投篮相互独立互不影响．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅢ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png甲投篮5次，投中次数为8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png，求bc96982f3b6425aa6df139668318d7fb.png的概率和随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的数学期望．

23. 已知函数6bece0278cad786734180020c6c4d7ec.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png当83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png时，求曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点433e183a43239f1fdabbb62e886fd210.png处的切线方程；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，设727787d9d9efcf86da0ddf9d422dd6ad.png．
ec679f15073b718baac49d374fb821de.png求函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的极值；
0aff6a0421e79365ab8fcc70d0385828.png若函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在f79408e5ca998cd53faf44af31e6eb45.png上的最小值是252e691406782824eec43d7eadc3d256.png，求实数a的值．

24. 已知函数f99842e8f07b7166d3703bc04aaee6da.png，de134a9eb899d658d8eab6cea48ef019.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png求函数ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png的单调区间；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png若d7d99da7a678b8964b971312649964a1.png，1891a5dbb88a8028718682ff36a90615.png，且542c5ed64e3ce3cba7351c5633dc3364.png，使得57c531ebb4885a7c497330cedaf0dbf7.png成立，求a的取值范围；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅢ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有两个不同的极值点622e6791f4a3c1b1864314a54f39fe77.png，fc14f6ecdfbb50bd16db8a8981b07d18.png，求证：c49834e6beb7aa67d207ffafa0fb43fb.png．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：四种模型的相关指数310d079805fb03ff945852eaa9f8c7f1.png分别为300539b405a5af0c5023a5ee1d268470.png，bca7ba75caac67b75fa8c9a101f25bf1.png，136ba81d3813591cdcc15fcb924b9437.png，10efc2614821dcf1b1ebc941ebd6ce1f.png，
则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数310d079805fb03ff945852eaa9f8c7f1.png的值是300539b405a5af0c5023a5ee1d268470.png．
故选：A．
在回归分析中，模型的相关指数310d079805fb03ff945852eaa9f8c7f1.png越接近于1，其拟合效果就越好．
本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，是基础题．
2.【答案】C

【解析】解：因为导函数的图象如图：
可知导函数图象中有4个函数值为0，即75861758aac5da9df9fdeb9529261687.png，7eae2b36072e59c41a26399c5f7c6d7e.png，234e5ea72a67a1bfebd3aa64cf6af3e1.png，19f484471eaea638bd910aa5d4d76e75.png．
d9c99a803d4b1ba21942260c18768ffa.png，函数是增函数；ad46407214646ed3b0b126f965d26f2d.png函数是减函数；b1e12a4cf35b536cd6ed9f0f7cb1659b.png，函数是增函数；9b167d71cbcfa296966c339efd40a30d.png函数是减函数；4a6c22f3aa2701f06d8e5610b68cd065.png，函数是增函数，
可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．
故选：C．
利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．
本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用．
3.【答案】C

【解析】解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
cced9ee32f4f73395faac89c63bb02fe.png，
95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png有052dc876aab54eb67279c4bb23f10aed.png以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，
故选：C．
根据cced9ee32f4f73395faac89c63bb02fe.png，有052dc876aab54eb67279c4bb23f10aed.png以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案．
本题考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查了离散型随机变量的取值的判断，基本知识的考查．利用已知条件直接推出8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的取值即可．
【解答】
解：8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png表示，那么8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的取值可以是0，1，2．
故选：C．
5.【答案】B

【解析】解：先求出1e7ab6483c2b9521f56af37f0878596e.png．
再由a98aee0ab7167ce6983316bafa69dea3.png得ee7a6901c7c9b65313f780014b0bb908.png．
a5f6f8f3c64066b591537ef450ff7dd4.png，解得83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png．
故选：B．
利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，a98aee0ab7167ce6983316bafa69dea3.png，ee7a6901c7c9b65313f780014b0bb908.png求出a即可．
本题考查离散型随机变量的期望及期望的性质，属基本运算的考查，基础题．
6.【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查了正态曲线及其性质．
从正态曲线关于直线a5cdf17220f1f7a204fc9809038fcbe3.png对称，看a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．
【解答】
解： 从正态曲线的对称轴的位置看，显然3456941905bf15e752d1e274f6b16d34.png，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png越小，
0e809081d7ad67256655675a996b37e0.png故选A．
7.【答案】C

【解析】解：因为共有3个红球2个白球，所以先后取2个球，取后不放回，第一次取到红球的取法数为：f0d20795c81c74b0e5c2e9e84a22f3eb.png，
第一、二次都取到红球的取法数为：32e429cc6ebc835cefc404d78088aa35.png，
故所求的概率b0de8f7f3a021f8b379fdb2c8d4deb94.png．
故选：C．
根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二次都取得红球的取法数，代入公式计算即可．
本题主要考查条件概率的计算方法以及计数原理的应用，要注意对条件概率的理解，属于基础题．
8.【答案】A

【解析】解：aba1dd9afd994bc383f5259806be7bb4.png由于d7740c3fd9d16b8adb47943a720f7ba4.png及b51e428b761c86f11ade9122a597279b.png关于x是单调递增函数，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png函数09ac5a295a68323a8e074ef1d8cbb755.png在R上单调递增，
分别作出d7740c3fd9d16b8adb47943a720f7ba4.png，4586735358bd931ff38bb37de5106ea5.png的图象，9fbf113a75ce6bb68b5fa2d96b360df2.png，70131de130ff3e63d61d282bf543fd7b.png，6478abd42793e6f5a29a811892cd0e8d.png，4ecdceed93f5ce9d55cdc32ab7183eb9.png．
同理0b3a9023028497260a16bdac508c47c1.png在41f780aca8754d12cbd3f449c4d5fefa.png上单调递增，1a9e084ef7699a39f804a4b343fdcfd1.png，7d423f8f17c54ab06f1e145aa20aaa3d.png，72ca583eb28a6c58c2acd6154a09fbd3.png，1c9cd01c7c20c9a8cab4b7d305aa9ec9.png．
8a25b5135015fdf9b942f05c2550c39a.png，
2baacb7d10dd3e8174977251d33718cb.png．
3444ff178f8927762b3c9662d2f0c12a.png．
故选：A．
先判断函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在R上的单调性，再利用6478abd42793e6f5a29a811892cd0e8d.png，72ca583eb28a6c58c2acd6154a09fbd3.png判断a，b的取值范围即可．
熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A

【解析】解：f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png每名同学都有3种报名方案，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png四名同学共有05033e8d73892795f66bc8d4329e4ea0.png种报名方案．
故选：A．
利用排列、组合中的乘法原理求得结果．
本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题．
10.【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查二项式定理，以及二项展开式的特定项系数，属于基础题．
利用二项展开式的通项直接求解即可．
【解答】
解：aeccccfc22e2140e3dc2b2217e738034.png的展开式的通项为8c125e3d8eaed19c3bbbd4084a884882.png，
则0215ec7d99ea0b6c0e1fd6c3f5f43d24.png的展开式中dc3f694196c8835b0f074d1d82889d16.png的系数为：
b56c3ba1121ac3460f53af2bf3ba294a.png．
故选：A．
11.【答案】B

【解析】解：函数的50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的导数872e68a3d7ed1ad5c7845bf6140ff254.png，
若曲线C存在与直线1513b4823debad06c69564d3346aecb9.png垂直的切线，
则切线斜率4e69e063c8b5fd8da8322f2bca78cce9.png，
满足a88e51a7a7d0ecd99978e2843f8a5737.png，
即1e16379dcedb03eb92a3bacddac54dcf.png有解，
即3686746b16fe72daba7a024a24c3e05a.png有解，
1f921abcfb85c6599cd0329f8c732dcb.png，
af9fa199185975a8c0228b2551049483.png，
故选B．
求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为a88e51a7a7d0ecd99978e2843f8a5737.png有解，即可得到结论．
本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．
12.【答案】C

【解析】解：当e54e5ec6ebe0d78e64c134099fbf0aa4.png时，d76f9a5e113770b5d3448d11d3b50eb2.png，
a38572b95964e9a2f986750ea5a28a27.png且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png，d41065a3727d5b17450679f87a0841ad.png一定有两个根，由4a3fc52d7e6d57bcf9bad4287f7c9ad0.png得004c30f59c8812a11c89d38ec663ef97.png或7b0d4fe25e1e808c10ac347d63f149eb.png舍9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png，
则当004c30f59c8812a11c89d38ec663ef97.png时，函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，取得极小值也是最小值99a0b44893b15d40a38e6b1e27d9e0de.png，
即当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png最多有两个零点，cde23886cc819d83a2562e765d21cd33.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png此时547c50825b79e0ee5458c2731f0adfee.png，
得b2b098d3ffe26daad77ada660a8d261f.png，即6b0d3f91ca1b8f929b877f0e4ec3e13f.png，8ba7f4de2d393acdf6242f296583c4bb.png，即b24c5599d6fb301cd0ae4e8df3267b50.png，
则当b69be4243d6ec076204065a5b2034375.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为单调增函数，则此时只有一个零点，
f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png当b69be4243d6ec076204065a5b2034375.png时，83f28e23015d3aa451e80eb084478bbf.png，
95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png要使50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有三个零点，则220b5e490e87af42909fa1af56c25554.png得77cd42058b11054263551247138b65dd.png得d92cfccb61dd63c0919c4f830b413cfe.png，
综上57db62c2bb6da7e91050d4f7e6b9374c.png，
即实数a的取值范围是1ab2efce193be94000f86b60c9051129.png，
故选：C．
根据分段函数的表达式，先判断当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，函数的极值，结合函数极值与0的关系，建立不等式进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的解析式，结合函数极值和零点关系是解决本题的关键．
13.【答案】1

【解析】解：由已知得873358045ec1c51560805fbba9a19d03.png，
令42de835c673b3716a33fba02b636c5ea.png，8642051c0d68c8c9e9d743bcba7da780.png，
b849aedbd38d589a85786f72ddd7fcae.png．
故答案为：1．
先求导数，然后令b79b2cca149c614fbc14394aeb211a37.png，解出b57899cdb003a4427061fb8108ba83e8.png即可．
本题考查导数的运算，属于基础题．
14.【答案】8ce3fac7e23a02ab4e00cf0f1e03310a.png

【解析】解：f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png服从正态分布ac75afb379a56bf75ed0675850b89044.png，b58e53f37e4179d33d9dbbddcf2de1a6.png，
26f0bf611a4c6df88f644c1d77892ac9.png，c2fbdc7e9d94d8f0d8daa3afbf83ec44.png，
则e99bb857beb5871b327dea38aadb9038.png，
故答案为：8ce3fac7e23a02ab4e00cf0f1e03310a.png．
由已知求得a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png，再由正态分布曲线的对称性求得7939d89e647e0233f53138d49b905cb1.png，则答案可求．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量a1155692e3f69913320174f980c7eaf1.png和3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】60

【解析】解：由题意，
根据排列的定义，可知一共有543203eda555d4a0c54104d4a85b93b2.png种．
故答案为：60．
本题根据排列的定义可列出组合式，计算可得结果．
本题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属基础题．
16.【答案】345cecac65b3f7d10ebd76b035960502.png

【解析】解：展开式的通项为767a834490e621254c4674d1b496070f.png
令fb43230e00a1936c23f68eb6366feeeb.png得27f31ebb9d94ab3f0fa68afe9ef3eba7.png
所以展开式的常数项为83c15e96f86f5777055ad489a2d10c65.png
故答案为：345cecac65b3f7d10ebd76b035960502.png．
据二项展开式的通项公式求得第ec0428d427e238f3a688fa4fc5b20edb.png项，令x的指数为0得常数项．
二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．
17.【答案】0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.png

【解析】解：先求出9d05ce6d24b9d153fb047aa8020772f4.png，
f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png函数c8bedd41836e26b2c085481a10b5d860.png，恰在75088b46132fb25afe18309c5681c320.png上递减，
95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png不等式08f30d0b796dd3aad5f0ce7678c587ff.png的解集恰好是75088b46132fb25afe18309c5681c320.png，
也就是说：方程7f6371049c058123038fce9fc72581c9.png的根是d4c63b0b513d346e3c80227197fb239d.png，ee3df8dc42a3dbed3085033f0a3ac9ef.png
用一元二次方程根与系数的关系，得：97d2cf00818210b1a8a17ced465a01ba.png
所以ec4813201d54837a97eb255b9c70ea6c.png
故答案为：0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.png
原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出9d05ce6d24b9d153fb047aa8020772f4.png，函数c8bedd41836e26b2c085481a10b5d860.png，恰在75088b46132fb25afe18309c5681c320.png上递减，说明08f30d0b796dd3aad5f0ce7678c587ff.png的解集恰好是75088b46132fb25afe18309c5681c320.png，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值范围．
本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键．
18.【答案】71c6241a2c97ec08e21d572fbd8ac78a.png

【解析】解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，
每次取到黄球的概率均为463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png，
4e5c1c5424e03075ff7cb8a60dbe968b.png次中恰有2次抽到黄球的概率为：
f92592dab562f36864ff4b5870efb898.png．
故答案为：71c6241a2c97ec08e21d572fbd8ac78a.png．
每次取到黄球的概率均为463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率．
本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】5d7b9adcbe1c629ec722529dd12e5129.png

【解析】解：由题意，8fea13a93abe1989d62859a1af8be3d8.png，ff1dc0ef323d6ed38535567d6b3fde96.png，
故直线l的斜率为3128774ec2333e12761a7b58ec950252.png，切点为ec6014ffc3d92709aa6a4fea11bb3788.png；
故直线l的方程为138680a7f9ffdad2bb1dfd50395a21e7.png；
即4a5b888b5a559c437b0c7d3e35a5ea87.png；
由fd29eaf95365dd2703e41ea73d5f6ef5.png，138680a7f9ffdad2bb1dfd50395a21e7.png消y得，
5ae7ec8574d3becd5ee2ef9e18a426c5.png；
故f2d57830add2f12fd3066a8b0c67fb45.png，
解得，5f3dfe7e97d0b8f4f565ccec1f276166.png；
故答案为：5d7b9adcbe1c629ec722529dd12e5129.png．
由题意，8fea13a93abe1989d62859a1af8be3d8.png，ff1dc0ef323d6ed38535567d6b3fde96.png，从而可得直线l的斜率为3128774ec2333e12761a7b58ec950252.png，切点为ec6014ffc3d92709aa6a4fea11bb3788.png；从而求出直线方程，联立令7b0af226acea36fd6edd66a4f44d6539.png求m；
本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】15d2847c7416dfd03dcd95e9f5f928ef.png

【解析】解：令6bf69399144a42e98bd559874d993fc8.png，
c1df6e0d837524030e4840e53a04a829.png，
当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，84729ae2c66fbcea8580309996b4971f.png，
9cb7b49e121f4c629b355e8622ae58e8.png上，函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png单调递增．
d3216dd84b496e6d2cb794119abcd813.png，1fbee8a90f82664aa27e8ac4beb77650.png．
f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在R上的奇函数，
95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png是定义在R上的偶函数．
由b6fa958d8af7eb64904510f15e90871d.png，即93640091ae711d27b0de7ef100facbf2.png，
ef2bb5022f884fe3fc6c9096105f1ca7.png，
解得70bd59c13dc73bf9bd6d754179e97497.png，或8da97ece5431cf5a02c6b3e63301c2b9.png．
95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png不等式69f7e37ae2e40b9d48768a40b013cb84.png的解集是15d2847c7416dfd03dcd95e9f5f928ef.png．
故答案为：15d2847c7416dfd03dcd95e9f5f928ef.png．
令6bf69399144a42e98bd559874d993fc8.png，c1df6e0d837524030e4840e53a04a829.png，当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，84729ae2c66fbcea8580309996b4971f.png，可得03a701ad75b944b688fc49694f7dc8a1.png上，函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png单调递增．由d3216dd84b496e6d2cb794119abcd813.png，可得f0809f4fec4960b7a623a015f5528a4e.png由函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在R上的奇函数，可得函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png是定义在R上的偶函数．进而得出不等式的解集．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A，则2c7bc697263e4fd84acfac0a6a20244b.png，
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ59585cf2c299d928a3455c965e9cdbb7.png，1，2；e7bd3192827b8348c9f204276042a2dd.png；0c020e8f8abc88127c033382b145e8d2.png，2f098ce6d4750790ae60bba2f1769d5c.png，所以8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的分布列为：

故X的期望3e2ae16e68e037f4a61924d5236120ba.png．

【解析】84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A，利用古典概型求解即可．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ59585cf2c299d928a3455c965e9cdbb7.png，1，2；求出概率，得到8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的分布列，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查，基础题．
22.【答案】解：84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则2eed93b04000a93f2953eb82073cf305.png，
c35a044bc1982aad0d0301dc18b3b50c.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png随机变量X的可能取值为0，1，2，
b0501e8fdc522630f71b0e007f95f839.png，de56de077edf4a18b7706799fc4b7bd7.png，7f014fef5f05d48b177e8607b29b5160.png，
c71e20dada9eb25a7fd02960a1b533a6.png的分布列为

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png数学期望1cd9351b9bcc7677308b19939620034c.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅢ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png随机变量bb3a1ebb62226a35ac0c3419c2cfc997.png，
055c5ba9aaf6ce00ca4e0c8fc778cf30.png，
数学期望4152df3ff04a495e5e9068e823fca695.png．

【解析】84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png从对立面的角度，先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png随机变量X的可能取值为0，1，2，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值即可得分布列，进而求出数学期望；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅢ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png随机变量bb3a1ebb62226a35ac0c3419c2cfc997.png，根据二项分布的性质求概率和数学期望即可．
本题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，还有二项分布的数学期望，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．
23.【答案】解：84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png当83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png时，af31505ac69ee11d18d2e747d4f8f4f9.png，6521c64d862afff3b6069be9d299d8fc.png，
1eccefae8f1b2b89b1ea0f8cf1752e68.png，d7af69b40d6cedacc5f81230dfffefe0.png，故切线方程为2222d33d37a618c188013b2232016021.png，即：785790ce7ee3bbb78f7e43c5a43a3e0a.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ63d8ee5f6f3cb7f426a77cdb00930a29.png，cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png，
95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png令1c5a0b8ed0ca32e4c93c07476201ab21.png得b202b0436f542d16541befcf4250f14c.png，3cc115b43792bf34875f38e01fe13d64.png．
随着x的变化，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png和a1627a9956cf861e19c02dbeed3126c2.png的变化如下：

所以e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的极大值是a36a15da499b934b6d741985008076ac.png；极小值为82a4e162d5fd04080dc73a1e94bc75fb.png．
076948346f663f033141f63a771e521f.png，
7acce3193127d4b71a6c2b140c22dc95.png当b19405fd0a6b218c414e90b914397aab.png时，7c8e8f022417227f355372fea2ce444a.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在f79408e5ca998cd53faf44af31e6eb45.png内递增，851508df5c4dff4b46fc07ea4c135825.png．
e4b00b4a65a415cf9ebaa9f83719c071.png当5d10801215688df360542fe26c139cee.png时，则x，a1627a9956cf861e19c02dbeed3126c2.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png关系如下：

262c1295891d76949b604d09c4a8496e.png舍9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png．
38560d3d403d928e8b6a1e4e8f9e93e1.png当1cebeb44b675773e9f75b1d5b8ad781c.png时，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在f79408e5ca998cd53faf44af31e6eb45.png内单调递减，0aea6f2e6c6d3f42a577980c07acf5b2.png，61c04d8cb8715370f49e5cfa5f56b3a1.png．
综上可知，61c04d8cb8715370f49e5cfa5f56b3a1.png．

【解析】84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png求出导数，再求出44f2886de47a6ed1bd8d3b95c3125295.png，5884ff48cf37c2361c867cd9fc00ba47.png，然后代入直线的点斜式，求出切线方程；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ8d6566a9ce35c9e92ff1e4ff5521c94c.png求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况；
0aff6a0421e79365ab8fcc70d0385828.png因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究单调性、极值、最值是最常见的考查模式．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力．属于中档题．
24.【答案】解：84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠc229c50045018b06e32ccbc6891a802a.png，c9d0a20d71275e131058efd2634157e5.png，
当e20376bb297c23dfe53dabf3b6aa2278.png时，fb896f2cd237a2ff94052b38bef41621.png，ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png的增区间是c109c8adf5d3c89494d6c7b527b036f1.png，b921db311612fd3665c51872c7a83455.png；
当b984c8933755cae11e18f7ac3d3ab269.png时，0769398d3b94035571317869d9a9a58d.png，所以ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png的减区间是a80dca1cac9c2b1ab9574b1bde8dcdb9.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png依题意，函数47be2a9188ddd594784927621fec8bb8.png在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png上不是单调函数，
因为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是连续函数，所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png上需有极值，
由于b3e31d5deea99f689788d74801202f12.png，即151e1f4c3ce2f18718a712a6bbe35ec0.png在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png内有变号根，
令0a79db7b43ea533f0d38364ec86378eb.png，显然该函数在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png上递增，故需f71785cd546b80648d3d4b199bbd3465.png，即07a94d8cfcaf88f837eca03d3d352e68.png，解得3d8d77c879d8fa6779b533815d6a5d43.png．
所以a的范围是e777fde6319284ba3d037f41c9348a7d.png．
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅢ52a6ddc84e1a8b57e6004caa95b290e0.png，设方程8bac9e2f23154f15fda961e6ab9f4e35.png的两个不等实根是622e6791f4a3c1b1864314a54f39fe77.png，fc14f6ecdfbb50bd16db8a8981b07d18.png，
则首先满足253bc530af18273bfda56a8b6ab13db4.png，即：73e6fcf628a4d29d771dde3d865572a6.png．
又由c6d24032c48fb4a6d593a839fc5b29c4.png解得，e05bd2758f958e9792fe77233c917a49.png，此时d3120158da1d98c8bcf14425ef428506.png，cca54e5a392abc370a9e19d5d0fdd596.png．
随着x的变化，74caf4d1ec90d3a36ea7c7bbfe65b516.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的变化如下：

所以622e6791f4a3c1b1864314a54f39fe77.png是函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极大值点，fc14f6ecdfbb50bd16db8a8981b07d18.png是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极小值点．所以0a9ccddf10923678768df19cc3d7ffcb.png是极大值，a9c8e3ed4b645dc39f5e405c6cfe09ad.png是极小值．
e466034d569839f028a3b584cdbcb185.png09327d80d4b4edab90c2f2dbe81a08ce.png，又因为73e6fcf628a4d29d771dde3d865572a6.png，所以2d2c84f5e090c335d38989caedaa04d3.png．
所以c49834e6beb7aa67d207ffafa0fb43fb.png．

【解析】84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅠ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png研究函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png导数的符号，然后确定原函数的单调性；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅡ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png要满足题意，只需函数在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png内存在变号根即可；
84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.pngⅢ9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png先求出50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论．
本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于较难的题目．

2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高二（下）期中数学试卷