高考数学（文）三轮复习专题练习--数列

1．数列的前项和记为，，．

（1）当为何值时，数列是等比数列;

（2）在（I）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求．

解：（I）由，可得，

两式相减得，

∴当时，是等比数列，

要使时，是等比数列，则只需，从而．

（II）设的公差为d，由得，于是，

故可设，又，

由题意可得，ks5u

解得，

∵等差数列的前项和有最大值，∴

∴．

2．已知数列的首项的等比数列，其前项和中，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求

解：（Ⅰ）若，则不符合题意，∴， ……………………………2分

当时，由得

∴ ………………………………………… 6分

（Ⅱ）∵ ……………………………………7分

∴ ………………………………………9分

∴＝＝ (19) (本题满分14分) 设数列{an}中，a1＝a，an＋1＋2an＝2n＋1（n∈N*）．

（Ⅰ）若a1，a2，a3成等差数列，求实数a的值；

（Ⅱ）试问数列能否为等比数列.若是等比数列，请写出相应数列{an}的通项公 式；若不能，请说明理由解．（Ⅰ），

因为，所以，得 4分

（Ⅱ）方法一：因为，所以，6分

得：，故若是以为首项，－1为公比的等比数列，则必须.

故时，数列为等比数列，此时，否则当时，数列的首项为0，该数列不是等比数列.

3．已知数列的首项，且满足

（1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和

解：

（Ⅰ），，，.

数列是以1为首项，4为公差的等差数列．……………………………………3分

，则数列的通项公式为．………………… 6分

（Ⅱ）……………①

……………… ②

②①并化简得．

4． 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项

（Ⅰ）求的通项公式。

（Ⅱ）令的前n项和

解：(Ⅰ)设公差为，公比为，则

,，

是单调递增的等差数列，d>0.

则,,………………6分

(Ⅱ) ………………8分

当n是偶数，

………………10分

当n是奇数，

………………12分

综上可得

5．已知数列的前n项和为，若

（1）求证：为等比数列；

（2）求数列的前n项和。

(1)解：由 得：

∴，即

∴ 4分

又因为，所以a1 =－1，a1－1 =－2≠0，

∴是以－2为首项， 2为公比的等比数列． 6分

(2)解：由(1)知，，即 8分

∴ 10分

故

6．在数列中，已知

（I）求数列的通项公式；

（II）令，若恒成立，求k的取值范围。

解析：（1）解：因为，所以，

即，………………………………………………2分

令，故是以为首项，2为公差的等差数列。

所以，………………………………………………4分

因为，故。…………………………………………6分

（2）因为，

所以，……………………8分

所以

，………………………………10分

因为恒成立，故。

8．已知数列中，，，（1）求证：数列为等比数列。

（2）设数列的前项和为，若，求正整数列的最小值。

解：因为

所以

所以数列为等比数列。

（2）

可知时满足条件。

9．已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值.

解：解：（Ⅰ）因为,所以

当时，，，

即以为a首项，a为公比的等比数列．

∴； …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

若为等比数列，则有，

而，，

故，解得

再将代入得成等比数列， 所以成立

10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

解：（1）设公差为。由已知得……………………3分

解得或 (舍去) 所以，故 ……………………………6分

（2）因为

所以 ……………………9分

因为对恒成立。即，，对恒成立。

又

所以实数的最小值为

11.在各项均为正数的数列中,已知点在函数的图像上,且.

(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求出其通项；

(Ⅱ)若数列的前项和为,且,求．

.【解】(Ⅰ)因为点在函数的图像上,

所以,…………………………1分

且,所以,

故数列是公比的等比数列.……………………3分

因为,所以,

即,则,……………… ……………4分

所以…………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以.…………………7分

所以……①………………9分

……②…………………10分

①-②式得…………………11分

即

12．数列中，已知

（I）求数列的通项公式；

（II）令，若恒成立，求k的取值范围。

解析：（1）解：因为，所以，

即，………………………………………………2分

令，故是以为首项，2为公差的等差数列。

所以，………………………………………………4分

因为，故。…………………………………………6分

（2）因为，

所以，……………………8分

所以

，………………………………10分

因为恒成立，故。

13．已知数列的前n项和为，若

（1）求证：为等比数列；

（2）求数列的前n项和。

(1)解：由 得：

∴，即

∴ 4分

又因为，所以a1 =－1，a1－1 =－2≠0，

∴是以－2为首项， 2为公比的等比数列． 6分

(2)解：由(1)知，，即 8分

∴ 10分

故．

14．在数列中，， 且．

（1）求，的值；

（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（3）求数列的前项和．

（1）解：∵， 且，

∴，

．…………2分

（2）证明：

∵，

∴数列是首项为，公比为的等比数列．

∴，即，

∴的通项公式为．…………8分

（3）∵的通项公式为，

∴

．…………12分

15．已知数列满足

(Ⅰ)求数列的通项；

(Ⅱ)若求数列的前项和。

解：（Ⅰ）

(1) (2)

(1)-(2)得即(n)又也适合上式

（Ⅱ）

（1）-（2）

16．已知正项数列的前项和为，且．

(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求解关于的不等式；

(Ⅲ)记数列，，证明：．

解：(Ⅰ) ．．当时，，化简得．由，得．数列是等差数列． …

(Ⅱ)由(I)知，又由，

得．，即．．

又，不等式的解集为．

(Ⅲ)当时，

．

．

，

故

17，已知递增的等比数列满足是的等差中项。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若是数列的前项和，求

解：（1）设等比数列的公比为q，有题意可得解答：q=2（舍去）

，∴等比数列的通项公式为：

（2）∵ ∴anbn=（n+1）2n，用错位相减法得：

19．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，

（1）求数列的通项公式及前项和；w.w.w.zxxk.c.o.m

（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。

解：（1）设公差为，则，由性质得，

因为，所以，即，

又由得，解得，,

（2）=，设，

则=，所以为8的约数。

20．已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令bn=（），求数列的前n项和。

解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，

所以；==。………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，

所以==，

即数列的前n项和=。

20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn(n＝1,2,3，…)．

(1)求证：数列{}为等比数列，并由此求出Sn；

(2)若数列{bn}满足：b1＝，＝(n∈N*)，试求数列{bn}的通项公式．

解：(1)证明：由nan＋1＝(n＋2)Sn，得n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，即＝2·，∴数列{}是首项为＝a1＝1，公比为2的等比数列，∴＝2n－1，Sn＝n2n－1.

(2)由条件得＝＝＋2n－1.设cn＝，则c1＝，当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝2－1＋20＋21＋…＋2n－2＝(2n－1)，当n＝1时，也满足上式．

∴cn＝(2n－1)(n∈N*)，从而bn＝ncn＝(2n－1)．

21．已知数列的首项，，

（1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；

（2）若对一切都成立，求的取值范围。

22．已知在与处都取得极值。

（I）求，的值；

（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。

（1） 由题意知，， ，

， ……………………………… 4分

所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分

， ……………………8分

（2）由（1）知， ……………10分

由知，故得 ……………11分

即 得，又，则

23．在数列中，为其前项和，满足．

（）若，求数列的通项公式；

（）若数列为公比不为1的等比数列，且，求．

解：（）当时，所以

即，所以当时，；

当时，

所以数列的通项公式为．…………7分

（）当时，，所以， . ，，，

由题意得，，所以．

此时，，从而

因为所以，从而为公比为3的

等比数列,得,,

24．已知数列的首项，，

（1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；

（2）若对一切都成立，求的取值范围。

（1） 由题意知，， ，

， ……………………………… 4分

所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分

， ……………………8分

（2）由（1）知， ……………10分

由知，故得 ……………11分

即 得，又，则18．（本题满分14分）

等比数列为递增数列，且，数列(n∈N※)

（1）求数列的前项和；

（2），求使成立的最小值．

解：（1）是等比数列，，两式相除得：

，为增数列，，-------4分

--------6分

，数列的前项和---8分

（2）==

即：-------12分

--------14分

（只要给出正确结果，不要求严格证明）

25． 已知数列的首项，，

（1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；

（2）若对一切都成立，求的取值范围。

（1） 由题意知，， ，

， ……………………………… 4分

所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分

， ……………………8分

（2）由（1）知， ……………10分

由知，故得 ……………11分

即 得，又，则12在数列中，为常数，，且成公比不等

于1的等比数列.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，求数列的前项和

解：（Ⅰ）∵为常数，∴. ………………2分

∴.

又成等比数列，∴，解得或.…4分

当时，不合题意，舍去. ∴. …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………8分

∴ …………10分

∴

…………………………………………12分

26．已知数列满足：；。数列的前n项和为,且。

⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n项和为。

解：

（1）由已知得数列为等差数列，首项为1，公差为1.所以其通项公式为

····················3分

因为，所以，所以数列为等比数列，

又 所以

（2）由已知得：，

所以

所以

所以

27．已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).

设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N )是首项为m2，公比为m的等比数列.

(1)求证：数列{an}是等差数列；

(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；

(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.

解：(1)由题意f(an)＝m2·mn＋1，即man，＝mn＋1.

∴an＝n＋1，(2分)

∴an＋1－an＝1，

∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)

(2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，

当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1

∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1　①(6分)

①式两端同乘以2，得

2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2　②

②－①并整理，得

Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2

＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋1)·2n＋2

＝－22－＋(n＋1)·2n＋2

＝－22＋22(1－2n)＋(n＋1)·2n＋2＝2n＋2·n.(9分)

(3)由题意cn＝f(an)·lgf(an)＝mn＋1·lgmn＋1＝(n＋1)·mn＋1·lgm，

要使cn<cn＋1对一切n∈N*成立，

即(n＋1)·mn＋1·lgm<(n＋2)·mn＋2·lgm，对一切n∈N*成立，

①当m>1时，lgm>0，所以n＋1<m(n＋2)对一切n∈N*恒成立；(11分)

②当0<m<1时，lgm<0，所以等价使得>m对一切n∈N*成立，

因为＝1－的最小值为，所以0<m<.

综上，当0<m<或m>1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.(13分)

28．已知数列{ }、{ }满足：.

(1)求;

(2)求数列{ }的通项公式；

(3)设，求实数为何值时恒成立

解：（1)

∵ ∴ ……………4分

（2）∵ ∴

∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分

∴ ∴ ……………8分

(3)

∴

∴ ……………10分

由条件可知恒成立即可满足条件设

a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立

a ……………13分

f(n)在为单调递减函数．

∴ ∴a<1时恒成立 ……………15分

综上知：a≤1时，恒成立

29．已知等比数列中，公比，且，，分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求数列的前项和．

解：⑴由条件知． 即，

又∴，又．∴

∴． …………………………7分

⑵前项和

∴当时，，∴

当时，，

∴

30．已知数列的首项

（1）求的通项公式；

（2）证明：对任意的．

解：(1) ∵ ∴ ∴

又 ∵ ∴ 是以为首项，为公比的等比数列

∴ ∴ 6分

(2) 由 (1) 知

∴ 原不等式成立 13分

31．设函数，数列满足。

⑴求数列的通项公式；

⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。

解：⑴因为，

所以．………………………………………………………………2分

因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．

所以。…………………………………………………………4分

⑵①当时，

……………………………………………………………………6分

②当时，

………………………………………8分

所以

要使对恒成立，

同时恒成立，

即恒成立，所以。

故实数的取值范围为。…………………………………………………10分

⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．

①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，

此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分

②当时，显然不存在这样的数列．

当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．

则，，，。……………………16分

所以满足条件的数列的通项公式为。

数列